Kompleks sonlar tekisligi

Mavhum birlik yoki $i$‍ bu quyidagi ekvivalent xossalarga ega boʻlgan sondir:

Kompleks son deb $a+bi$‍ koʻrinishida yozilishi mumkin boʻlgan har qanday songa aytiladi, bu yerda $i$‍ mavhum birlik, $a$‍ va $b$‍ esa haqiqiy sonlardir.

$a$‍ sonning $\text{haqiqiy}$‍ qismi, $b$‍ esa sonning $\text{mavhum}$‍ qismi deyiladi.

Haqiqiy sonlar toʻplamini tasvirlash uchun sonli toʻgʻri chizigʻidan foydalanganimiz kabi kompleks sonlar toʻplamini tasvirlash uchun kompleks sonlar tekisligidan foydalanishimiz mumkin.

Kompleks sonlar tekisligi $(0,0)$‍ nuqtada toʻgʻri burchakda kesishuvchi ikkita sonli toʻgʻri chiziqdan tashkil topgan.

Gorizontal sonli toʻgʻri chiziq (Dekart koordinata tekisligidagi $Ox$‍ oʻqi deb bilamiz) haqiqiy oʻqdir.

Vertikal sonli toʻgʻri chiziq (Dekart koordinata tekisligidagi $Oy$‍ oʻqi) mavhum oʻqdir.

Har bir kompleks son shu sonlar tekisligidagi nuqta orqali ifodalanishi mumkin.

Jumladan, $3-5i$‍ sonni olaylik. Bu son $3+(-5)i$‍ tarzida ham ifodalanib, uning haqiqiy qismi $3$‍ va mavhum qismi $-5$‍ boʻladi.

Bu sonning kompleks sonlar tekisligida joylashuvi haqiqiy oʻqda $3$‍ va mavhum oʻqda $-5$‍ sonlarga toʻgʻri keladi.

Shunday qilib, $3+(-5)i$‍ son $(3,-5)$‍ nuqtaga mos. Umumiy holda, $a+bi$‍ kompleks son kompleks sonlar tekisligidagi $(a,b)$‍ nuqtaga toʻgʻri keladi.

Pifagor davrida irratsional sonlarning mavjudligi hayratlanarli kashfiyot boʻlgan! Ular $\sqrt{2}$‍ kabi sonlar hech qanday oʻnlik kasrga aniq teng emasligiga ajablangan.

Haqiqiy sonlar toʻplami ikkilanishni toʻgʻrilashga yordam beradi. Nega? Sababi shuki, $\sqrt{2}$‍ soni haqiqiy sonlar toʻgʻri chizigʻida maxsus oʻringa ega boʻlib, u haqiqatan haqiqiy son ekanini koʻrsatadi. (Agar siz birlik kvadrat diagonalini olib, uchini $0$‍ ga qoʻyadigan boʻlsangiz, boshqa uchi $\sqrt{2}$‍ nuqtaga toʻgʻri keladi)

Shunga oʻxshab, har bir kompleks son haqiqatan ham mavjud, chunki u kompleks sonlar tekislikda aniq joylashuvga ega! Ehtimol, ushbu sonlarni tasavvur qilish orqali ularni "mavhum" deb atashimiz notoʻgʻri boʻlishi mumkin.

Kompleks sonlar mavjud va ular matematikaning muhim qismidir. Haqiqiy sonlar toʻgʻri chizigʻi kompleks sonlar tekisligida haqiqiy oʻqdir, ammo ushbu yagona toʻgʻri chiziq ortida koʻp narsa yotadi!