Kompleks sonlar tekisligi

Mavhum birlik yoki $i$i bu quyidagi ekvivalent xossalarga ega boʻlgan sondir:

Kompleks son deb $\greenD{a}+\blueD{b}i$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i koʻrinishida yozilishi mumkin boʻlgan har qanday songa aytiladi, bu yerda $i$i mavhum birlik, $\greenD{a}$start color #1fab54, a, end color #1fab54 va $\blueD{b}$start color #11accd, b, end color #11accd esa haqiqiy sonlardir.

$\greenD a$start color #1fab54, a, end color #1fab54 sonning $\greenD{\text{haqiqiy}}$start color #1fab54, start text, h, a, q, i, q, i, y, end text, end color #1fab54 qismi, $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd esa sonning $\blueD{\text{mavhum}}$start color #11accd, start text, m, a, v, h, u, m, end text, end color #11accd qismi deyiladi.

Haqiqiy sonlar toʻplamini tasvirlash uchun sonli toʻgʻri chizigʻidan foydalanganimiz kabi kompleks sonlar toʻplamini tasvirlash uchun kompleks sonlar tekisligidan foydalanishimiz mumkin.

Kompleks sonlar tekisligi $(0,0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis nuqtada toʻgʻri burchakda kesishuvchi ikkita sonli toʻgʻri chiziqdan tashkil topgan.

Gorizontal sonli toʻgʻri chiziq (Dekart koordinata tekisligidagi $Ox$O, x oʻqi deb bilamiz) haqiqiy oʻqdir.

Vertikal sonli toʻgʻri chiziq (Dekart koordinata tekisligidagi $Oy$O, y oʻqi) mavhum oʻqdir.

Har bir kompleks son shu sonlar tekisligidagi nuqta orqali ifodalanishi mumkin.

Jumladan, $3-5i$3, minus, 5, i sonni olaylik. Bu son $\greenD{3}+(\blueD{-5})i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i tarzida ham ifodalanib, uning haqiqiy qismi $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 va mavhum qismi $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd boʻladi.

Bu sonning kompleks sonlar tekisligida joylashuvi haqiqiy oʻqda $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 va mavhum oʻqda $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd sonlarga toʻgʻri keladi.

Shunday qilib, $\greenD{3}+(\blueD{-5}) i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i son $(\greenD{3}, \blueD{-5})$left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, comma, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis nuqtaga mos. Umumiy holda, $\greenD a+\blueD bi$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i kompleks son kompleks sonlar tekisligidagi $(\greenD a,\blueD b)$left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, comma, start color #11accd, b, end color #11accd, right parenthesis nuqtaga toʻgʻri keladi.

Pifagor davrida irratsional sonlarning mavjudligi hayratlanarli kashfiyot boʻlgan! Ular $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root kabi sonlar hech qanday oʻnlik kasrga aniq teng emasligiga ajablangan.

Haqiqiy sonlar toʻplami ikkilanishni toʻgʻrilashga yordam beradi. Nega? Sababi shuki, $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root soni haqiqiy sonlar toʻgʻri chizigʻida maxsus oʻringa ega boʻlib, u haqiqatan haqiqiy son ekanini koʻrsatadi. (Agar siz birlik kvadrat diagonalini olib, uchini $0$0 ga qoʻyadigan boʻlsangiz, boshqa uchi $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root nuqtaga toʻgʻri keladi)

Shunga oʻxshab, har bir kompleks son haqiqatan ham mavjud, chunki u kompleks sonlar tekislikda aniq joylashuvga ega! Ehtimol, ushbu sonlarni tasavvur qilish orqali ularni "mavhum" deb atashimiz notoʻgʻri boʻlishi mumkin.

Kompleks sonlar mavjud va ular matematikaning muhim qismidir. Haqiqiy sonlar toʻgʻri chizigʻi kompleks sonlar tekisligida haqiqiy oʻqdir, ammo ushbu yagona toʻgʻri chiziq ortida koʻp narsa yotadi!