Asosiy kontent

Bernulli tenglamasi nima uchun kerak?

Bu tenglama sizga ixtiyoriy oʻlchamdagi nayda harakatlanayotgan suyuqlik harakatini tahlil qilish imkonini beradi.

Bernulli qonuni nima?

Bernulli qonuni – suyuqlik tezligining suyuqlik bosimiga bogʻliqligi haqidagi fikrlarning aksi. Koʻpchilik Bernulli qonuni notoʻgʻri boʻlsa kerak deb oʻylashadi, ammo bu Bernulli qonuni aslida nima deganini tushunmaslikdan boʻlishi mumkin. Bernulli qonuni quyidagicha:

Bernulli qonuni: gorizontal oqayotgan suyuqlikning tezroq oqayotgan nuqtalarida bosim sekinroq oqayotgan nuqtalarga nisbatan kichik boʻladi.

U gorizontal boʻlishi shart emas, lekin oqim paytida suyuqlikning balandligi keskin oʻzgarishi mumkin emas, aks holda potensial energiya ahamiyatli boʻlib, Bernulli qonuni oʻrinli boʻlmay qoladi.

Agar siz gravitatsion potensial energiyasini hisobga olsangiz, Bernulli qonuni yanada umumiyroq boʻladi. Buning natijasi Bernulli tenglamasi deb ataladi (keyinroq uni ushbu maqolada koʻrib oʻtamiz).

Shunday qilib, diametri oʻzgaradigan gorizontal suv quvurining suv tez harakatlanadigan qismi suv sekin harakatlanadigan qismiga qaraganda kichikroq bosim ostida boʻladi. Bu koʻpchilikka erish tuyuladi, chunki odamlar yuqori tezlikni yuqori bosim bilan bogʻlaydi. Ammo biz keyingi boʻlimda haqiqatan ham suv ortida oldiga nisbatan kattatoq bosim boʻlsa, u tezroq harakatlanishini koʻrsatamiz. Quyidagi boʻlimda biz Bernulli tenglamasini keltirib chiqaramiz va uni tushunishga harakat qilamiz.

Bernulli tenglamasi qanday keltirib chiqariladi?

Siqilmaydigan suyuqliklar oʻzgarmas hajmiy oqimni ushlab turishi uchun quvurning ingichka qismiga yetib kelganda tezlashishi kerak. Shu sababli ingichka joʻmrak quvurdagi suvning tezlashishiga olib keladi. Ammo bir narsa sizni oʻyga solayotgan boʻlishi mumkin. Agar suv siqilish paytida tezlashsa, u qoʻshimcha kinetik energiya oladi. Bu qoʻshimcha kinetik energiya qayerdan keladi? Joʻmrakdanmi? Quvurdanmi?

Biror jismga kinetik energiya berish uchun uning ustida ish bajarilishi kerak. Buni ish-energiya qonuni bilan tushuntirish mumkin.

W_{t a s h q i} = Δ K = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} - \frac{1}{2} m v_{i}^{2}

Shunday qilib, agar suyuqlikning biror qismi tezlashayotgan boʻlsa, suyuqlikning bu qismi uchun tashqi kuch ish bajarishi kerak. Suyuqlik ustida qanday kuch ish bajaryapti? Hayotda suyuqlik ustida manfiy ish bajarayotgan kuchlar juda koʻp, biroq biz sistemani mukammal va suyuqlik toʻliq laminar oqmoqda deb tasavvur qilamiz. Laminar (qatlamli) oqim suyuqlikning parallel qatlamlarda (oʻzaro kesishmasdan) oqishini anglatadi. Laminar oqayotgan suyuqlikda girdoblar yoki burilishlar boʻlmaydi.

Yaxshi savol. Suyuqlikni laminar, mutlaqo yopishqoq emas, turbulentlik yoʻq va dissipativ energiya yoʻqolishisiz deb olish, shubhasiz, juda katta yaxlitlash boʻlib, endi sizni qiyinligi va hayotda qoʻllanishi murakkabligi bilan mashhur suyuqliklar dinamikasi boʻlimi bilan tanishtirish vaqti keldi. Hayotiy vaziyatlarda turbulentlik, qovushqoqlik, ichki ishqalanish va burilishlar yuzaga keladi. Bu har qanday holatda suyuqlik dinamikasini aniq modellashtirishni qiyinlashtiradi.

Horase Lamb 1895-yilda “Gidrodinamika” nomli taʼsirchan maqola yozdi. Unda olim suyuqlik dinamikasi fizikadagi boshqa mavzularga nisbatan murakkabligini tan olgan. Keyinchalik u

^{[1]}

quyidagi soʻzlarni aytgan: “Men qari odamman. Olamdan oʻtib, jannatga borganimda, men yoritilishiga umid qilayotgan ikkita mavzu bor: biri – kvant elektrodinamikasi, ikkinchisi esa suyuqliklarning turbulent harakati va men birinchisiga nisbatan optimistman”.

Qisqasi, ideal suyuqliklar harakatlarini oʻrganish koʻplab murakkab real holatlarda ham oʻrinli boʻlmasligi mumkin, ammo ushbu sodda taxminlardan kelib chiqqan nazariyalar murakkab vaziyatlarni sifatli tahlil qilish va baholashda foydali vosita hamda yaxshi boshlanish nuqtasi boʻlishi mumkin.

^{[1]}

Davronson, P. A. (2004). Turbulentlik: olimlar va muhandislar uchun kirish. Oxford universiteti matbuoti

Shuning uchun biz dissipativ kuchlar tufayli energiya yoʻqotilmaydi deb olamiz. Xoʻsh, qaysi nodissipativ kuchlarning ishi suyuqlikning tezlashishiga sabab boʻlmoqda? Atrofdagi suyuqlikning bosimi suyuqlik ustida ish bajaradi va tezlashtiruvchi kuch hosil qiladi.

Quyidagi chizmada chapdan oʻngga qarab oqayotgan suv nayi koʻrsatilgan. Belgilangan suv hajmi cheklangan hududga kirishi bilan u tezlashadi. Belgilangan suvning chap tomonidagi

P_{1}

bosimidan kelib chiqqan kuch uni oʻng tomonga itaradi va musbat ish bajaradi, chunki kuchning yoʻnalishi suyuqlik harakati bilan ustma-ust. Belgilangan suyuqlikning oʻng tomonidagi

P_{2}

bosimidan chapga yoʻnalgan kuch hosil boʻladi va u manfiy ish bajaradi, chunki kuchning yoʻnalishi suyuqlik harakatiga qarama-qarshi.

Biz bilamizki, suv tezlashishi kerak (oqim uzluksizlik tenglamasidan) va shu sababli uning ustida musbat ish bajarilishi zarur. Demak, chap tarafdagi bosim kuchi tomonidan bajarilgan ish oʻng tarafdagi bosim kuchi bajargan manfiy ishdan kattaroq boʻlishi kerak. Bu shuni anglatadiki, kengroq/sekinroq qismdagi

P_{1}

bosim tor/tez qismdagi

P_{2}

bosimdan kattaroq boʻlishi kerak.

Aslida u bundan-da nozikroq. Ish

W = F d

formula, kuch esa

F = P A

formula bilan berilgan. Bundan biz quyidagicha yozishimiz mumkin,

W = F d = P A d

Endi siz chap tomondagi

P_{1}

bosim suvni koʻndalang kesim yuzi

A

kattaroq soha boʻylab surayotgani sababli bosimlar teng boʻlsa ham, uning ishi kattaroq boʻladi deb oʻylashingiz mumkin. Ammo kuchlar taʼsir qiladigan

d

masofalar ham har xil. Suv koʻndalang kesim yuzi kichik sohaga kirganda choʻzilib ketadi va oʻng tomondagi bosim

P_{2}

chap tomondagi bosim

P_{1}

ga nisbatan uzoqroq masofaga taʼsir qiladi. Ushbu ikkita omil bir-birini qisqartiradi, chunki suvning umumiy hajmi butun harakat davomida oʻzgarmas boʻlib qoladi. Shunday qilib, kattaroq koʻndalang kesim yuzasiga ega boʻlish musbat natijaviy ish bajarishni anglatmaydi. Suyuqlikning chap tomonidagi suv bosimi

P_{1}

P_{2}

dan katta boʻlsa, suyuqlik ichida musbat ish bajariladi.

Bundan tashqari, agar suyuqlik oʻngdan chapga, kengroq sohaga oqib chiqsa, nima boʻlishi mumkinligi haqida savol tugʻilishi mumkin. Bu holda suvning

P_{1}

evaziga bajargan ishi manfiy boʻladi, chunki u oqim yoʻnalishiga qarama-qarshi yoʻnalishga ega. Ushbu manfiy ish

P_{2}

tomonidan qilingan musbat ishdan kattaroq boʻladi va kengroq sohaga kirganda suyuqlik sekinlashadi. Bu haqiqatan ham shunday, suyuqliklar kengroq sohaga kirganda sekinlashadi.

Suyuqlikdagi bosim va tezlik oʻrtasidagi teskari proporsionallik Bernulli qonuni deb ataladi.

Bernulli qonuni: gorizontal joylashgan nay boʻylab oqayotgan suyuqlik kichik bosimli joylarda tez, katta bosimli joylarda sekin harakatlanadi.

Bernulli qonuni toʻgʻrisida fikr yuritishning eng oddiy yoʻli – suyuqlik bosim katta sohadan bosim kichik sohaga oʻtganda tezlashadi, chunki natijaviy kuch harakat yoʻnalishi bilan ustma-ust tushadi.

Suyuqlik tez harakat qiladigan hududlarda past bosim boʻladi degan fikr gʻalati tuyulishi mumkin. Shubhasiz, sekin harakatlanadigan suyuqlikdan koʻra tez harakatlanayotgan suyuqlik tanangizga urilganda koʻproq bosim his qilasiz, toʻgʻrimi? Ha, bu toʻgʻri. Ammo hozir gap ikki xil bosim haqida ketyapti. Bernulli qonunidagi bosim bu oqim davomida barcha yoʻnalishlarga, shu jumladan, trubaning yon tomonlariga koʻrsatiladigan ichki suyuqlik bosimi hamdir. Bu siz suyuqlikning oldiga chiqib, uning harakatini toʻxtatganingizda his qiladigan bosimdan farq qiladi.

Eʼtibor bering, Bernulli qonuni tez harakatlanuvchi suyuqlik yuqori bosim hosil qila olmaydi demayapti. U shunchaki suyuqlikning sekin oqayotgan qismi xuddi shu nayda suyuqlikning tez oqadigan qismidan koʻproq bosim hosil qilishini aytgan.

Bernulli tenglamasi nima?

Bernulli tenglamasi asosan Bernulli qonunining yanada umumiy va matematik shakli boʻlib, u potensial energiyaning oʻzgarishini ham hisobga oladi. Biz ushbu tenglamani keyingi boʻlimda keltirib chiqaramiz, lekin undan oldin Bernulli tenglamasini koʻrib chiqib, unda nima deyilgani va uning qanday ishlatilishini tushunib olaylik.

Bernulli tenglamasi har qanday ikki nuqtadagi (1 va 2) toʻxtovsiz oqayotgan suyuqlikning zichligi

ρ

, bosimi, tezligi va balandligini oʻzaro bogʻlaydi. Bernulli tenglamasi odatda quyidagicha yoziladi:

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}

Rasmdagi

P_{1}

v_{1}

h_{1}

oʻzgaruvchilar 1-nuqtadagi bosim, tezlik, va balandlikni,

P_{2}

v_{2}

h_{2}

oʻzgaruvchilar esa 2-nuqtadagi bosim, tezlik va balandlikni bildiradi. Quyidagi diagrammada suyuqlikdagi ikkita nuqta (1 va 2) tasvirlangan, ammo Bernulli tenglamasi suyuqlikdagi ixtiyoriy ikki nuqta uchun oʻrinli.

Bernulli tenglamasida nuqtalarni qayerdan tanlashni qanday bilasiz? Nuqtalardan biri nomaʼlum oʻzgaruvchi topilishi kerak boʻlgan joydan boʻlishi shart. Aks holda, nomaʼlumni qanday topasiz? Siz odatda ikkinchi nuqta sifatida maʼlumotlar berilgan yoki ochiq nuqtani tanlaysiz, chunki bosim atmosferaga teng ekani maʼlum

P_{a t m} = 1, 01 \times 10^{5} P a

Shuni esda tutingki,

h

suyuqlikning tanlangan nuqtadan erkin sirtigacha balandlikni anglatadi, siz nuqtani istalgan joydan tanlashingiz mumkin. Odatda balandlik

h = 0

sifatida ikkita nuqtadan (1 yoki 2) pastdagisini tanlash hisoblashni osonlashtiradi.

P

bu nuqtadagi bosimni anglatadi. Siz manometrik yoki mutlaq bosimni tanlashingiz mumkin, ammo qaysi bosimni tanlasangiz (gidrostatik yoki absolyut), tenglamaning boshqa tomonida ham shuni ishlatish kerak. Siz 1-nuqtada manometrik bosim va 2-nuqtada absolyut bosimni qoʻya olmaysiz. Xuddi shunga oʻxshab, agar 1-nuqtaga gidrostatik bosimni qoʻyib, 2-nuqtada bosimni topsangiz, siz qoʻlga kiritgan qiymat 2-nuqtadagi gidrostatik bosim oʻlchovi boʻladi (absolyut bosim emas).

Bernulli tenglamasidagi

\frac{1}{2} ρ v^{2}

ρ g h

hadlari xuddi kinetik energiya

\frac{1}{2} m v^{2}

va potensial energiya

m g h

kabi faqat massa

m

zichlik

ρ

bilan almashtirilgan. Shu sababli Bernulli tenglamasi oqayotgan suyuqlik uchun energiyaning saqlanish qonuni qoʻllanishidan kelib chiqishi ajablanarli emas. Keyingi boʻlimda energiyaning saqlanish qonuni yordamida Bernulli tenglamasini keltirib chiqaramiz.

Bernulli tenglamasi qanday keltirib chiqariladi?

Quyidagi koʻndalang kesim yuzi va balandligi oʻzgaradigan quvurda chapdan oʻngga harakatlanayotgan suyuqlik bilan bogʻliq holatni koʻrib chiqing. Yuqorida kuzatganimizdek, quvur kichraygan qismda suyuqlik tezlashadi va kinetik energiya

K

oladi, siqilgan qismlar yuqoriga qarab harakat qilsa ham, siqib boʻlmaydigan suyuqlik uchun hajmiy oqim oʻzgarmas qolishi kerak. Ammo endi siqishga intilish suyuqlikning yuqoriga qarab harakatlanishiga olib kelgani sababli suv potensial energiya

U_{g}

va kinetik energiya

K

oladi. Suyuqlik olgan energiyani suyuqlik ustida bajarilgan tashqi kuchlar ishiga tenglashtirib Bernulli tenglamasini keltirib chiqaramiz.

Aytaylik, biz koʻrib chiqayotgan sistema 1 va 2 suv hajmidan va shu hajmlar orasidagi suyuqlikdan iborat. Agar suyuqlik laminar, yopishqoq boʻlmagan va suyuqlik oqimiga taʼsir qiladigan hech qanday qarshi kuchlar mavjud emas deb olsak, tizimga

Δ (K + U)_{s i s t e m a}

dan tashqari qoʻshilgan ixtiyoriy energiya

(W_{t a s h q i})

atrofidagi bosim kuchlari suyuqlik ustida bajargan tashqi ishi tufayli yuzaga keladi.

Bu keltirib chiqarish haqida ikki xil oʻylash mumkin. Siz ogʻirlik kuchi suyuqlik ustida tashqi ish bajaradi deyishingiz mumkin, bunda siz sistema va Yer orasida potensial energiya mavjud emas deb hisoblaysiz.

Yoxud sistemamiz suv va Yer orasidagi potensial energiyani oʻz ichiga oladi deyishimiz mumkin, bu holda tortishish kuchi yordamida bajariladigan ish tashqi emas, ichki ish boʻladi. Ogʻirlik kuchining ishi ichki boʻlgani uchun u umumiy energiya

(K + U_{g})

ga taʼsir qilmaydi.

Biz buni matematik nuqtayi nazardan quyidagicha ifodalashimiz mumkin,

W_{t a s h q i} = Δ (K + U)_{s i s t e m a}

Dastlab biz suv ustida bajarilgan tashqi ish

W_{t a s h q i}

ni topishga harakat qilamiz. 1- va 2-nuqtalar orasidagi suv tashqi ish bajara olmaydi, chunki bu sistemamizning tarkibiy qismidir. Sistemada ustida tashqi ish bajara oladigan bosim chizmada koʻrsatilganidek

P_{1}

P_{2}

bosimdir. 1-nuqtadagi suvning chap tomonida joylashgan

P_{1}

bosim musbat ish bajaradi, chunki bosim kuchi suyuqlik harakati bilan bir xil yoʻnalgan. 2-nuqtadagi suvning oʻng tomonidagi

P_{2}

bosim manfiy ish bajaradi, chunki uning taʼsir kuchi suyuqlikning harakatiga qarama-qarshi.

Chapdan taʼsir qilayotgan bosim kuchi 1-nuqtadagi suvni

d_{1}

masofa boʻylab surdi deb olaylik. Suyuqlik siqilmaydigan boʻlgani sababli quvurdagi barcha suv xuddi shu hajmga koʻchadi, shunda 2-nuqtadagi suv

d_{2}

masofaga siljiydi.

Bunda bajarilgan ishni

W = F d

bilan topish mumkin. Bosim kuchi formulasi

F = P A

ni qoʻyib quyidagi formula

W = P A d

ni hosil qilishimiz mumkin. Shunda 1-nuqtadagi suv tomonidan bajarilgan musbat ish

W_{1} = P_{1} A_{1} d_{1}

ga va ikkinchi nuqtadagi suv tomonidan bajarilgan ish

W_{2} = - P_{2} A_{2} d_{2}

ga teng boʻladi.

1-nuqtadagi bosim kuchi

F_{1} = P_{1} A_{1}

ning yoʻnalishi suyuqlik harakati yoʻnalishi bilan ustma-ust tushadi, shuning uchun u musbat ish bajaradi.

Xuddi shunga oʻxshab, 2-nuqtadagi bosim kuchi

F_{2} = P_{2} A_{2}

ning yoʻnalishi suyuqlik harakatiga qarama-qarshi, shuning uchun u manfiy ish bajaradi.

Shuningdek, sizda ish formulasi

W = F d c o s θ

dagi

c o s θ

qayerga ketgani haqida savol tugʻilishi mumkin. Bizning bosimlarimiz harakat yoʻnalishida yoki harakatga qarama-qarshi yoʻnalishda taʼsir etayotgani sababli

c o s θ

hadi

c o s (0) = + 1

yoki

c o s (180) = - 1

ga teng boʻladi. Biz formulamizda musbat va manfiy belgilarini

c o s θ

atamasi oʻrniga toʻgʻridan toʻgʻri kiritdik.

Ushbu formulalarni tenglamamiz

W_{t o ʻ l a} = Δ (K + U)_{s i s t e m a}

ning chap tomoniga keltirib qoʻysak,

P_{1} A_{1} d_{1} - P_{2} A_{2} d_{2} = Δ (K + U)_{s i s t e m a}

Ammo

A_{1} d_{1}

A_{1} d_{1}

hadlar bir-biriga teng boʻlishi kerak, chunki ular 1- va 2-nuqta yaqinidagi siljigan suyuqlikning hajmini ifodalaydi. Agar suyuqlikni siqilmas deb olsak, barcha joyda teng hajmlar siljishi kerak, jumladan, yuqori qismda ham. Demak,

V_{1} = A_{1} d_{1} = A_{2} d_{2} = V_{2}

boʻlgani uchun biz bu hadni shunchaki

V

sifatida yozishimiz mumkin. Bu tenglamaning chap tarafini soddalashtirishda foydali,

P_{1} V - P_{2} V = Δ (K + U)_{s i s t e m a}

Tenglamaning chap tarafi qisqartirildi. Endi tenglamaning oʻng tomonini soddalashtirishimiz kerak. Bu keltirib chiqarishning muhim va nozik qismidir. Yodda tuting, sistemamizga nafaqat 1 va 2-qismlardagi suv, balki shu ikki nuqta orasidagi suv ham kiradi. Katta yopiq sistema qismlarining kinetik va potensial energiyasidagi barcha oʻzgarishlarni qanday qilib hisoblaymiz?

Keltirib chiqarishni tugatish uchun yana bir taxminiy faraz qilishimiz kerak. Biz suyuqlik oqimi bir tekis deb olamiz. “Bir tekis” deganda suyuqlikning quvurdagi maʼlum bir nuqtadan oʻtayotgan tezligi oʻzgarmasligi nazarda tutiladi. Boshqacha qilib aytganda, agar shaffof quvurning biron-bir qismiga tikilib qarasangiz, har lahzada koʻzingiz oldidan oʻtib ketayotgan yangi suvni koʻrasiz, lekin oqim bir tekis boʻlsa, u holda oldingizdan oʻtayotgan suvning mos nuqtalari bir xil tezlikda harakat qiladi.

Yoʻq, unday emas. Suv molekulalarining tezligi quvur boʻylab oʻzgarib turadi. Shunchaki bir tekis oqimda ushbu oʻzgarishlar quvurda qatlam boʻlib oqayotgan suvning ixtiyoriy kesimi uchun bir xil boʻladi.

Agar oqim bir tekis boʻlmasa, quvurdan oʻtayotgan suv molekulalarining tezligi vaqt oʻtishi bilan oʻzgaruvchan boʻladi. Bunday suyuqlik oqimi vaqt ichida oʻzgarib turadigan bosim hosil qiladigan nasos tufayli yuzaga keladi.

Shunday qilib, bir tekis oqish tushunchasi suyuqlik sistemasidagi energiya oʻzgarishini aniqlashga qanday yordam beradi? Quyidagi rasmni koʻrib chiqing. Bizning sistemamiz kulrangga boʻyalgan suyuqlikdan iborat (1-hajm, 2-hajm va ular orasidagi suyuqlik). Birinchi rasmda sistema qandaydir

(K + U)_{b o s h l a n g ʻ i c h}

umumiy energiyaga ega. Ikkinchi rasmda sistema ustida ish bajariladi, natijada u energiya oladi, oʻng tomonga siljiydi va sistema har xil umumiy energiya

(K + U)_{o x i r g i}

ga ega boʻladi. Ammo suyuqlik energiyasi uning ustida ish bajarilishidan oldin va keyin bir xil boʻladi. Chizilgan chiziqlar orasidagi sohada suvning joylashishi va tezligi oʻzgaradi, lekin u shunday oʻzgaradiki, oldingi suv bilan bir xil balandlikda va tezlikda (masalan,

v_{a}

v_{b}

) boʻlgandek tuyuladi. Bizning sistemamizda farq qiladigan narsa shuki, 2-qism endi quvurning oldingi suyuqlik boʻlmagan qismiga oʻtadi va hozir bizning sistemada hech narsa 1-qismning orqasidagi sohani egallamaydi.

Demak, bu tizim energiyasining umumiy oʻzgarishini shunchaki oxirgi nuqtalarning energiyasini hisobga olgan holda topish mumkinligini anglatadi. Xususan, ish bajarilgandan soʻng, 2-qismda mavjud boʻlgan kinetik va potensial energiyani

(K_{2} + U_{2})

deb olishimiz mumkin va endi undan 1-qism ortida mavjud boʻlmagan

(K_{1} + U_{1})

energiyani ayirishimiz mumkin. Boshqacha aytganda,

Δ (K + U)_{s i s t e m a} = (K_{2} + U_{2}) - (K_{1} + U_{1})

Bu haqida oʻylashning yana bir usuli. Sistemani oʻrab turgan suv ham sistema ustida ish bajaradi. Bu sistemaning toʻla energiyasini oʻzgartiradi. Ammo siz suyuqlikning yakuniy konfiguratsiyasini koʻrib chiqsangiz, sistema shtrixlangan ikkita qismining energiyasi

E_{0}

ish bajarilishidan oldingi energiyaga teng. Ushbu

E_{0}

energiya boshlangʻich va oxirgi toʻla energiyalarning farqini topganda qisqarib ketadi.

Agar bu sizga matematik sehrgarlik kabi tuyulsa, shuni bilishingiz kerakki, Bernulli tenglamasini umuman energiyasiz, faqat Nyuton qonunlaridan foydalanib keltirib chiqarish mumkin. Hisoblashlar biroz chalkash tuyulishi mumkin, biroq bunda siz nazariy qonunlarga kam duch kelasiz.

Buni ish energiya formulasi

P_{1} V - P_{2} V = Δ (K + U)_{s i s t e m a}

ning oʻng tarafiga keltirib qoʻyamiz.

P_{1} V - P_{2} V = (K_{2} + U_{2}) - (K_{1} + U_{1})

Endi kinetik energiya

K = \frac{1}{2} m v^{2}

va potensial energiya

U_{p} = m g h

formulalarini keltirib qoʻyamiz,

P_{1} V - P_{2} V = (\frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + m_{2} g h_{2}) - (\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + m_{1} g h_{1})

Ushbu tenglamada

P_{1}

P_{2}

mos ravishda 1- va 2-hajmli suyuqlik bosimini ifodalaydi.

v_{1}

bilan

v_{2}

mos ravishda 1- va 2-hajmdagi suyuqliklarning tezligini hamda

h_{1}

bilan

h_{1}

mos ravishda 1- va 2-hajmdagi suyuqliklarning balandligini ifodalaydi.

Suyuqlikni siqilmaydigan deb olganimiz sababli 1- va 2-hajmdagi siljigan suyuqliklarning massasi

m_{1} = m_{2} = m

bir xil boʻlishi kerak. Bundan

m

ning indekslarini tashlab yuboramiz,

P_{1} V - P_{2} V = (\frac{1}{2} m v_{2}^{2} + m g h_{2}) - (\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h_{1})

Ikkala tarafni

V

ga boʻlamiz va qavslarni ochib chiqamiz,

P_{1} - P_{2} = \frac{\frac{1}{2} m v_{2}^{2}}{V} + \frac{m g h_{2}}{V} - \frac{\frac{1}{2} m v_{1}^{2}}{V} - \frac{m g h_{1}}{V}

Biz siljigan suyuqlik massasining hajmiga nisbati uning zichligiga tengligi

ρ = \frac{m}{V}

dan ifodani soddalashtiramiz.

\frac{m}{V}

ρ

bilan almashtirsak, quyidagi hosil boʻladi,

P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} - ρ g h_{1}

Endi oddiygina algebra yordamida bitta nuqtaga tegishli hadlarni tenglikning bir tomoniga va ikkinchi nuqtaga tegishli hadlarni tenglikning ikkinchi tomoniga olib oʻtamiz,

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}

Nihoyat. Bu Bernulli tenglamasi! U sizga laminar (qatlam-qatlam) oqimda bosim

P

kinetik energiya zichligi

\frac{1}{2} ρ v^{2}

va potensial energiya zichligi

ρ g h

ning yigʻindisi ixtiyoriy ikki nuqta uchun bir xil boʻlishini aytmoqda.

Energiya zichligini biz

\frac{1}{2} ρ v^{2}

ρ g h

hadlarni nomlashda qoʻllaymiz, chunki ular energiyaning jism egallagan hajmiga nisbatidir. Energiya zichligi va energiya formulasining matematik farqi shuki, siz energiya zichligida

m

massa oʻrniga

ρ

zichlikdan foydalanasiz.

kinetik energiya zichligi = \frac{\frac{1}{2} m v^{2}}{V} = \frac{1}{2} ρ v^{2}

potensial energiya zichligi = \frac{m g h}{V} = ρ g h

Fizik jihatdan ularning farqi, energiya zichligi sizga fazoning biror nuqtasidagi energiya zichligi haqida maʼlumot bersa, energiya fazodagi biror qismda qancha energiya mavjudligini bildiradi. Siz doim bir kattalikdan ikkinchisiga oʻtish uchun hajmga koʻpaytirishingiz yoki boʻlishingiz mumkin (biroq energiya zichligi qaralayotgan hajmda oʻzgarmas boʻlishi kerak).

Bernulli tenglamasini oqayotgan suyuqlik uchun energiyaning saqlanish qonuni sifatida koʻrish mumkin. Bernulli tenglamasi suyuqlik tizimi tomonidan olingan har qanday qoʻshimcha kinetik yoki potensial energiya boshqa suyuqlik tomonidan bajarilgan tashqi ish natijasi ekanini qoʻllashdan kelib chiqdi. Shuni yodda tutish kerakki, ushbu tenglama oʻrinli boʻlishi uchun koʻp shartlar bajarilishi kerak. Biz oqimni laminar va dissipativ kuchlardan xoli deb oldik, yoʻqsa, issiqlik energiyasi ajralgan boʻlardi. Hajmiy oqim oʻzgarmas va oqim tekis boʻlishi kerak, aks holda oʻrta qismning energiyasini qisqartirishimiz nooʻrin boʻlardi. Suyuqlik siqilmaydigan boʻlishi kerak, aks holda hajm va massalar teng boʻlmasligi ham mumkin.

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h

kattalik quvur boʻylab laminar oqayotgan suyuqlikning ixtiyoriy nuqtasi uchun bir xil boʻlgani sababli biz Bernulli qonunini quyidagicha yozishimiz mumkin,

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const

Bu tenglama har xil suyuqlik sistemalari uchun turlicha boʻladi, biroq dissipativ kuchlardan xoli va laminar oqayotgan suyuqliklarning ixtiyoriy nuqtasida

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h

oʻzgarmas.

Nega Bernulli qonuni Bernulli tenglamasining natijasi?

Bernulli qonuni – Bernulli tenglamasining natijasi. Agar biz ishni

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}

dan boshlasak va suyuqlik balandligi oʻzgarmaydi deb olsak,

ρ g h

hadlar ikkala tarafdan ham qisqarib ketadi.

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

yoki biz buni quyidagicha yozishimiz mumkin,

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} = const

Ushbu formula – Bernulli qonunining ifodasi, chunki agar suyuqlikning

v

tezligi oqimning maʼlum bir sohasida katta boʻlsa,

P

bosim bu sohada kichikroq boʻlishi kerak (bu Bernulli qonuni).

v

tezlikning oshishi bir vaqtning oʻzida

P

bosimning kamayishiga olib keladi, chunki ularning yigʻindisi doim oʻzgarmas boʻlishi kerak.

Bernulli qonuniga doir masalalar qanday yechiladi?

1-masala: ichimlik yetkazish gʻoyasi

Siz ichimliklarni mijozlarga yangicha usulda yetkazib berish ustida ish olib borayotgan restoranning egasisiz. Gʻoyalardan biri – zichligi

1090 \frac{k g}{m^{3}}

boʻlgan pivoni quvur orqali yetkazish. Rasmda quvurning bir qismi keltirilgan. Maxsus qurilmalar 1-qismda suvning tezligi

3, 00 m/s

, bosimi esa

12300 Pa

ekanini koʻrsatmoqda. Shuningdek, 2-qism 1-qismdan

1, 20 m

balandroqda joylashgan va u yerda suv

0,750 m/s

tezlikda harakatlanmoqda. Biroq siz 2-qismdagi suvning bosimini oʻlchay olmaysiz.

Bernulli qonuni yordamida 2-qismdagi manometrik bosimni toping.

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} (yechishni Bernulli qonunidan boshlaymiz)

P_{2} = P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} - \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} - ρ g h_{2} (algebraik jihatdan P_{2} ni toping)

Endi biz

h = 0

nisbiy sathni tanlashimiz kerak. Biz 1-qismning balandligini

h = 0

sath deb olamiz. Bunda

h_{1} = 0

h_{2} = 1, 2 m

boʻladi. Ushbu qiymatlarni balandlik oʻrniga keltirib qoʻysak,

P_{2} = P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g (0 m) - \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} - ρ g (1, 2 m) (h_{1} va h_{2} ning qiymatlarini keltirib qoʻyamiz)

Biz nol qatnashgan hadni tashlab yuborib, qolgan hadlarning son qiymatini keltirib qoʻyamiz,

P_{2} = 12300 Pa + \frac{1}{2} (1090 \frac{k g}{m^{3}}) (3, 00 m/s)^{2} - \frac{1}{2} (1, 090 \frac{k g}{m^{3}}) (0,750 m/s)^{2} - (1090 \frac{k g}{m^{3}}) g (1, 20 m)

P_{2} = 4080 Pa (hisoblang va nishonlang)

Yodda tuting: bizga maʼlumki, 2-qismdagi bosim absolyut bosimning emas, balki gidrostatik bosimning qiymati, chunki biz 1-qism uchun gidrostatik bosimni keltirib qoʻydik. Agar bizga absolyut bosimni topish kerak boʻlsa, unda natijaga

(1, 01 \times 10^{5} Pa)

ni qoʻshamiz.

2-masala: suv favvorasi muhandisligi

Sizga katta bir mehmonxona tomonidan

15 cm

diametrli gorizontdan

8, 00 m

chuqurlikdagi quvur bilan taʼminlanadigan favvora qurib berish soʻraldi. Suv quvurning oxirida diametri

5, 00 cm

va gorizontdan balandligi

1, 75 m

boʻlgan silindr teshikdan tik yuqoriga

32, 0 m/s

tezlikda otilib chiqadi. Suvning zichligi

1000 \frac{k g}{m^{3}}

Ushbu favvora toʻgʻri ishlashi uchun quvurdagi gidrostatik bosim qanday boʻlishi kerak?

Bernulli qonuniga doir masalalar biroz murakkab boʻlgani uchun biz qiziqishimiz ostida boʻlgan har ikki nuqtaning chizmasini chizib olishimiz kerak (rasm oʻlchash uchun berilmagan).

Biz quvurning pastki qismidagi nuqtani 1-nuqta sifatida tanlaymiz, chunki biz ushbu nuqtadagi bosimni aniqlashimiz kerak va quvurning yuqori qismidan 2-nuqtani tanlaymiz, chunki masala shartida ushbu nuqtadagi suvning tezligi haqida maʼlumot berilgan.

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} (yechishni Bernulli qonunidan boshlaymiz)

P_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} - ρ g h_{1} (P_{1} bosimni algebraik hisoblab toping)

Bizga suvning 1-nuqtadagi tezligi nomaʼlum. Bernulli tenglamasini qoʻllab 1-nuqtadagi bosimni topish uchun biz oldin

v_{1}

tezlikni topishimiz kerak.

Suv siqilmasligi sababli biz buni

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}

oqim uzluksizlik tenglamasidan foydalanib amalga oshirishimiz mumkin. Bilamizki, silindrsimon quvurning koʻndalang kesim yuzini

A = π r^{2}

formula bilan topish mumkin, natijani oqim uzluksizlik tenglamasiga keltirib qoʻyamiz,

(π r_{1}^{2}) v_{1} = (π r_{2}^{2}) v_{2}

Endi ikkala tarafdan

π

larni qisqartirib, tenglamadan

v_{1}

ni topamiz,

v_{1} = (\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}) v_{2}

Quvurlarning radiusini keltirib qoʻyib, 1-nuqtadagi suvning tezligini topamiz,

v_{1} = \frac{(2, 50 cm)^{2}}{(7, 50 cm)^{2}} (32, 0 m/s) = 3, 56 m/s

Ikkita radius bir-biriga boʻlingani sababli ularning birliklari oʻzaro qisqarib ketadi va

v_{2}

tezlik toʻgʻridan toʻgʻri proporsiyaga boʻlinib qoladi. Shuning uchun siz radiuslarni metrda yoki santimetrda olishingizdan qatʼi nazar, natija bir xil boʻladi.

Hattoki, biz diametrdan radiusga oʻtishimiz ham shart emas, chunki

d = 2 \times r

formuladagi koʻpaytuvchi 2 ham qisqarib ketadi. Shuning uchun

v_{2}

ni diametrlar nisbatiga koʻpaytirish ham bir xil natijani beradi.

Nihoyat, 1-nuqtadagi suvning tezligini topgandan keyin biz kattaliklarni Bernulli qonuniga keltirib qoʻyamiz,

P_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ (32 m/s)^{2} + ρ g h_{2} - \frac{1}{2} ρ (3, 56 m/s)^{2} - ρ g h_{1} (tezliklarning qiymatini keltirib qoʻydik)

Biz 1-nuqtani

h = 0

sath deb olamiz, shunda

h_{1} = 0 m

h_{2} = 8, 00 m + 1, 75 m = 9, 75 m

boʻladi.

1-nuqtani

h = 0

nuqta sifatida tanlaganimiz sababli biz hamma balandlikni shu nuqtaga nisbatan oʻlchaymiz. 2-nuqta yerdan

1, 75 m

va 1-nuqtadan

8, 00 m

balandlikda boʻlgani sababli 2-nuqtaning umumiy balandligi

9, 75 m

ga teng boʻladi.

Biz yer sathini

h = 0

deb olishimiz ham mumkin edi. Shunda

h_{1} = - 8, 00 m

h_{2} = 1, 75 m

ga teng boʻlardi. Ikkala vaziyatda ham yakuniy javob bir xil boʻladi.

Biz buni soʻnggi Bernulli tenglamasiga keltirib qoʻysak,

ρ g h_{1}

qisqarib ketadi va biz quyidagiga ega boʻlamiz,

P_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ (32 m/s)^{2} + ρ g (9, 75 m) - \frac{1}{2} ρ (3, 56 m/s)^{2} (biz h larning qiymatlarini keltirib qoʻydik)

Endi biz bajarishimiz kerak boʻladigan narsa – bu 2-nuqtadagi

P_{2}

bosimni aniqlash. 2-nuqtadagi bosim atmosfera bosimiga teng boʻlishi kerak deyishimiz mumkin, chunki suv ochiq atmosferada turibdi. Bu – Bernulli tenglamasiga doir koʻplab masalalarda eʼtiborga olinishi kerak boʻladigan gipoteza. Har qanday nuqta ochiq atmosferada boʻlganda, uning bosimi atmosfera bosimiga teng. Bernulli tenglamasida biz mutlaq bosim

P_{2} = 1, 01 \times 10^{5} P a

dan yoki manometrik bosim

P_{2} = 0

dan foydalanishimiz mumkin (chunki manometrik bosim atmosfera bosimidan yuqori bosim). Har doim nollarni kiritishimiz mumkin, bu bizning ishimizni osonlashtiradi, shuning uchun biz manometrik bosim

P_{2} = 0

dan foydalanamiz. Bu bizning oʻzgartirilgan Bernulli tenglamamizni quyidagicha koʻrinishga keltiradi:

P_{1} = \frac{1}{2} ρ (32 m/s)^{2} + ρ g (9, 75 m) - \frac{1}{2} ρ (3, 56 m/s)^{2} (P_{2} = 0 ni keltirib qoʻydik)

Endi suvning zichligi

ρ = 1000 \frac{k g}{m^{3}}

va erkin tushish tezlanishi

g = + 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

ning son qiymatlarini keltirib qoʻyamiz,

P_{1} = \frac{1}{2} (1000 \frac{k g}{m^{3}}) (32 m/s)^{2} + (1000 \frac{k g}{m^{3}}) (+ 9, 8 \frac{m}{s^{2}}) (9, 75 m) - \frac{1}{2} (1000 \frac{k g}{m^{3}}) (3, 56 m/s)^{2}

P_{1} = 6, 01 \times 10^{5} P a (hisoblang va nishonlang)

Yodda tuting: biz

P_{2} = 0

ni keltirib qoʻyganimiz uchun natijamiz gidrostatik bosimga teng boʻladi. Agar bosimga

P_{2} = 1, 01 \times 10^{5} Pa

ni qoʻyganimizda, 1-nuqtadagi absolyut bosimni topgan boʻlardik.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.

Fizika

Course: Fizika > Unit 9

Bernulli qonuni nima?

Bernulli tenglamasi qanday keltirib chiqariladi?

Bernulli tenglamasi nima?

Bernulli tenglamasi qanday keltirib chiqariladi?

Nega Bernulli qonuni Bernulli tenglamasining natijasi?

Bernulli qonuniga doir masalalar qanday yechiladi?

1-masala: ichimlik yetkazish gʻoyasi

2-masala: suv favvorasi muhandisligi

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?