Asosiy kontent

Course: Fizika > Unit 10

Lesson 1: Temperatura, molekular-kinetik nazariya va ideal gaz qonunlari

Maksvell-Bolsman taqsimoti nima?

Gazda turli xil tezliklarda harakatlanayotgan koʻplab molekulalar mavjud. Ushbu tizim sizga bu haqida oʻylashga yordam beradi.

Maksvell-Bolsman taqsimoti nima?

Atrofimizdagi havo molekulalarining barchasi bir xil tezlikda harakatlanmaydi, hatto bir xil haroratda boʻlsa ham. Havo molekulalarining baʼzilari juda tez, baʼzilari esa oʻrtacha tezlikda harakat qiladi va ayrim havo molekulalari deyarli harakat qilmaydi. Shu sababli biz “gazdagi havo molekulasining tezligi nima?” kabi savollarni berolmaymiz. Chunki gazdagi molekulalar katta oraliqdagi ixtiyoriy tezlikka ega boʻlishi mumkin.

Shunday qilib, biron-bir alohida gaz molekulasi haqida soʻrashning oʻrniga biz “maʼlum bir haroratda gaz molekulalarining tezlik taqsimoti qanday?” degan savolni berishimiz mumkin. 1800-yillarning oʻrtalarida Jeyms Klerk Maksvell va Lyudvig Bolsman bu savolga javob topdilar. Ularning ishi Maksvell-Bolsman taqsimoti deb nomlanadi, chunki bu ideal gaz uchun molekulalarning tezligi qanday taqsimlanishini koʻrsatadi. Maksvell-Bolsmanning taqsimoti koʻpincha quyidagi grafik bilan tasvirlanadi:

Maksvell-Bolsman grafigining y oʻqini tezlik birligiga toʻgʻri keladigan molekulalar soni deb olish mumkin. Shunday qilib, agar grafikning maʼlum bir hududi balandroq boʻlsa, demak, bu tezliklar bilan koʻproq gaz molekulalari harakatlanadi.

Ha, bu yaxshi fikr. Aniq

231,461 91432032804 \frac{m}{s}

tezlik bilan harakatlanadigan gaz molekulalarining soni nolga yaqin, chunki molekulalarning aniq tezlikka ega boʻlish ehtimoli past. Shu sababli siz y oʻqidagi “molekulalar soni” grafigi x oʻqidagi barcha aniq tezliklar uchun nolga teng boʻlishi kerak deb oʻylashingiz mumkin.

X-oʻqini

Δ v = 1 \frac{m}{s}

kenglikdagi “qismlar”dan iborat deb hisoblash orqali biz ushbu muammoning oldini olamiz. Shunda tezligi

v

v + 1 \frac{m}{s}

oraligʻida boʻlgan molekulalar soni grafikda aks etadi. Bu bizga molekulalar sonining nolga teng boʻlmagan qiymatlarini beradi. Yoki biz “qismlar” oʻlchamini xohlaganimizcha kichikroq qilib, kerakli aniqlik darajasiga ega boʻlishimiz mumkin.

Bu haqida gaplashayotganda, muammolarning butunlay oldini olish uchun odamlar koʻpincha vertikal oʻqda ehtimollik zichligi deb nomlangan narsani molekulalar soni oʻrniga ishlatadi. Ehtimollik zichligi – bu tezlik birligi

v

ga yaqin boʻlgan zarrani topish ehtimolligi.

Grafik simmetrik emasligiga eʼtibor bering. Grafikning yuqori tezlikdan oʻng tomonida uzunroq “dum” mavjud. Grafikning oʻng tomoni juda katta tezliklar tomonga davom etadi, ammo chap tomonda grafik nol bilan tugashi kerak (chunki molekula noldan past tezlikka ega boʻlolmaydi).

Maksvell-Bolsman taqsimotining haqiqiy matematik tenglamasi biroz murakkab va odatda koʻplab kirish algebra darslarida oʻtilmaydi.

Xoʻp, mana bu – Maksvell-Bolsman taqsimoti tenglamasi.

f (v) = \sqrt{[\frac{m}{2 π k T}]^{3}} 4 π v^{2} e^{(- \frac{m v^{2}}{2 k T})}

f (v)

miqdor

v

tezlik funksiyasi sifatida ehtimollik zichligini beradi. Bu funksiya aytadiki, ehtimollik zichligi

T

gazning haroratiga, molekulalarning massasi

m

ga va Bolsman doimiysi

k

ga bogʻliq. Ehtimollar zichligi – bu molekulalar sonidan tashqari vertikal oʻq uchun bir variant. Ehtimollar zichligi – bu bir birlik tezlik

v

ga yaqin boʻlgan tezlikda harakatlanayotgan zarrani topish ehtimolligi.

Maksvell-Bolsman taqsimoti bilan bogʻliq koʻplab maʼlumotlarni tushunish uchun siz ushbu matematik tenglamani toʻliq bilishingiz shart emas. Agar yuqoridagi tenglama sizga matematik sehrgarlik kabi koʻrinadigan boʻlsa, bundan ortiqcha tashvishlanmang.

Oʻrtacha kvadratik tezlik nima?

Siz Maksvell-Bolsman grafigi tepasida joylashgan nuqtaga toʻgʻri keluvchi tezlikni gazdagi molekulalarning oʻrtacha tezligi deb oʻylashingiz mumkin, ammo bu notoʻgʻri. Grafikning eng yuqori nuqtasidagi tezlik –

eng katta ehtimolli tezlik v_{p}

, chunki gazda bu tezlikda eng koʻp molekula topilishi mumkin.

Gaz molekulalarining

oʻrtacha arifmetik tezligi v_{a v g}

aslida choʻqqining oʻng tomonida joylashgan. Oʻrtacha arifmetik tezlik tepalikning oʻng tomonida joylashishi Maksvell-Bolsman taqsimoti grafigining oʻng tomonga choʻzilgani bilan bogʻliq. Bu choʻzilish oʻrtacha arifmetik tezlikni grafikning yuqori choʻqqisini oʻng tomonga biroz siljitadi.

Yana bir foydali tezlik

oʻrtacha kvadratik tezlik v_{k v}

deb nomlanadi. Bu tezlik qiziqarli, chunki taʼrif nomning oʻzida yashiringan. oʻrtacha kvadratik tezlik – bu tezliklar kvadratlarining oʻrtacha qiymati. Biz oʻrtacha kvadratik tezlik formulasini matematik ravishda quyidagicha yozishimiz mumkin:

v_{k v} = \sqrt{\frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + …)}

Oʻrtacha qiymatni topishning bu usuli keraksiz boʻlib tuyulishi mumkin, chunki biz barcha tezlikni kvadratga koʻtardik va keyinroq kvadrat ildiz chiqardik. Siz hayron boʻlishingiz mumkin: “Nega shunchaki tezlikning oʻrtacha qiymatini olmadik?” Ammo esda tutingki, tezlik vektor va yoʻnalishga ega. Gaz molekulalarining oʻrtacha tezligi nolga teng, chunki gaz molekulalari teng miqdorda oʻngga (+ tezlik) va chapga(– tezlik) harakat qiladi. Shuning uchun biz tezliklarni kvadratga oshiramiz va musbat qilib olamiz, bu oʻrtacha qiymatning nolga teng boʻlmasligini taʼminlaydi. Fiziklar bu usuldan musbat va manfiy qiymatlarni olishi mumkin boʻlgan kattaliklarning oʻrtacha qiymatini topishda foydalanadi (masalan, oʻzgaruvchan tok zanjiridagi kuchlanish va oʻzgaruvchan tok).

Kinetik energiya tezlikning kvadratiga toʻgʻri proporsional (

K = \frac{1}{2} m v^{2}

) boʻlgani uchun oʻrtacha kvadratik tezlikni topish juda muhim. Chunki oʻrtacha kinetik energiyani

K_{a v g}

topishda bizga oʻrtacha kvadratik tezlik kerak boʻladi.

K_{a v g} = \frac{1}{N} (K_{1} + K_{2} + K_{3} + …)

K_{a v g} = \frac{1}{N} (\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m v_{3}^{2} + …)

K_{a v g} = \frac{1}{2} m [\frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + …)]

K_{a v g} = \frac{1}{2} m v_{r m s}^{2}

Shunday qilib, gaz molekulalarining oʻrtacha kinetik energiyasi oʻrtacha kvadratik (kv) tezlikka toʻgʻri proporsional. Oʻrtacha kinetik energiyaning oʻrtacha arifmetik tezlik oʻrniga oʻrtacha kvadratik tezlikka proporsional boʻlishi gʻalati tuyuladi, ammo oʻrtacha kinetik energiyani topish uchun oldin tezliklar kvadratga oshiriladi, soʻngra ularning oʻrtachasi topiladi.

Ushbu (

v_{e h}

v_{a r}

v_{k v}

) kattaliklar hatto xona haroratidagi gazlar uchun ham biroz katta. Masalan, xona haroratidagi (

293 K

) neon gazi molekulalarining eng katta ehtimolli tezligi, oʻrtacha arifmetik tezligi va oʻrtacha kvadratik tezligi taxminan quyidagiga teng,

v_{p} = 491 \frac{m}{s}

(yoki

1100 \frac{mil}{h})

v_{a v g} = 554 \frac{m}{s}

(yoki

1240 \frac{mil}{h})

v_{r m s} = 602 \frac{m}{s}

(yoki

1350 \frac{mil}{h})

Maksvell-Bolsman taqsimoti grafigi ostidagi yuza nimani bildiradi?

Maksvell-Bolsman taqsimoti grafigidagi y-oʻqi tezlik birligiga toʻgʻri keladigan molekulalar sonini ifodalaydi. Grafik ostidagi umumiy yuza gazning molekulalar soniga teng.

Agar biz gazni yuqori haroratga qizdirsak, grafikning choʻqqisi oʻngga siljiydi (chunki gaz molekulalarining tezligi oshadi). Grafik oʻng tomonga siljiganida egri chiziq ostidagi yuza oʻzgarmas qolishi uchun grafikning balandligi pasayishi kerak. Xuddi shunga oʻxshab, gaz past haroratga sovishi bilan grafikning yuqori choʻqqisi chapga siljiydi. Grafikning choʻqqisi chapga siljiganida egri chiziq ostidagi yuza oʻzgarmas qolishi uchun choʻqqi yuqoriroqqa chiqishi kerak. Buni turli haroratdagi (oʻzgarmas molekulalar soni bilan) gaz namunasini aks ettiruvchi egri chiziqlarda koʻrish mumkin.

Gaz sovigani sari grafik balandlashib va torayib boradi. Xuddi shunga oʻxshab, gaz qizigan sari grafikning balandligi kamayadi va eniga kengayadi. Chunki egri chiziq ostidagi yuza (yaʼni molekulalarning umumiy soni) oʻzgarmas boʻlishi kerak.

Agar molekulalarga gaz qoʻshilsa, egri chiziq ostidagi umumiy yuza ortadi. Xuddi shunga oʻxshab, agar molekulalar gazni tark etsa, egri chiziq ostidagi umumiy yuza kamayadi.

Maksvell-Bolsman taqsimotiga doir masalalar qanday yechiladi?

1-masala: gazning sovishi

Ikki atomli nitrogen gazi idish ichiga germetik qamalgan. Idish sovuq xonaga qoʻyildi va gaz xona temperaturasi bilan muvozanatlashib sovidi.

Gaz sovigani sayin quyidagi kattaliklar qanday oʻzgaradi? (ikki javobni tanlang)

(Tanlov A)
Gaz molekulalarining oʻrtacha kvadratik tezligi ortadi
(Tanlov B)
Molekulalar soni va molekulalar tezligi grafigi eniga qisqaradi.
(Tanlov D)
Gaz molekulalarining oʻrtacha arifmetik tezligi kamayadi
(Tanlov E)
Molekulalar soni va molekulalar tezligi grafigining balandligi pasayadi

Gaz sovigani sayin oʻrtacha tezlik kichrayadi, chunki sovuq gazning molekulalari sekin harakat qiladi.

Shuningdek, gaz soviganda molekulalar soni va molekulalar tezligi grafigi eniga torayadi. Idish germetik berkitilgani uchun molekulalar soni oʻzgarmas qoladi. Grafikning yuqori nuqtasi chap tomonga siljigan sari nuqtaning balandligi ortib boradi, chunki grafik toraysa ham, yuza oʻzgarmas qolishi kerak.

2-masala: gazdagi oʻzgarish

Gaz molekulalarining tezlik taqsimoti quyidagicha.

Quyidagi jarayonlarning qaysi biri taqsimot grafigining 1-holatdan 2-holatga oʻtishiga sabab boʻlishi mumkin?

(Tanlov A)
Yuqori haroratdagi gaz molekulalari idish ichiga kiritilsa va gaz bilan muvozanatga kelsa.
(Tanlov B)
Ayrim gaz molekulalari idishni tark etadi, biroq qolgan gaz molekulalari germetik idishda isitilishda davom etadi.
(Tanlov D)
Ayrim gaz molekulalari idishni tark etadi, biroq qolgan gaz molekulalari germetik idishda sovitilishda davom etadi.
(Tanlov E)
Hech qanday molekulalar kiritilmaydi yoki chiqarilmaydi, biroq gaz idishda germetik mahkamlanib sovitiladi

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.