Jismning 2D harakati qanday boʻladi? (D-dimention)

Fruktoza qoʻzgʻagan gʻazab sabab siz limonni gorizontga burchak ostida otishga qaror qildingiz. U havoda diagrammada koʻrsatilgan egri chiziq boʻylab parvoz qiladi. Bu holda limon ikki oʻlchovli sistemada harakatlanadi, chunki ham vertikal, ham gorizontal ravishda uchadi va u faqat gravitatsiya kuchi taʼsirida boʻladi.

Gravitatsiya kuchi doimo pastga boʻlgani sababli gravitatsiya limon tezligining faqat vertikal proyeksiyasi $\red {v_y}$start color #df0030, v, start subscript, y, end subscript, end color #df0030ni oʻzgartiradi. Limon tezligining gorizontal proyeksiyasi $\blue {v_x}$start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed harakat davomida oʻzgarmas saqlanadi.

Diagrammadagi nuqtani siljitib vertikal tezlik $\red {v_y}$start color #df0030, v, start subscript, y, end subscript, end color #df0030 oʻzgarishini, biroq gorizontal tezlik $\blue {v_x}$start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed oʻzgarmasligini kuzating.

Tushunchani tekshirish: Limon trayektoriyasining eng yuqori nuqtasida uning tezligi vertikal proyeksiyasi nimaga teng?

Gorizontga burchak ostida otilgan jism harakatini oʻrganishning eng oson yoʻli – har bir yoʻnalishdagi harakatni alohida tahlil qilish. Boshqacha aytganda, biz limonning gorizontal harakatini ifodalash uchun bir nechta, vertikal harakatini ifodalash uchun yana bir nechta formuladan foydalanamiz. Bu ikki oʻlchamli, yaʼni gorizontga burchak ostida otilgan jism harakatiga doir murakkab masalani sodda ikkita bir oʻlchamli masalaga aylantiradi. Biz uning harakatini ikkiga ajrata olishimizga sabab – limon tezligining vertikal proyeksiyasi oʻzgarishi tezlikning gorizontal proyeksiyasiga taʼsir koʻrsatmaydi. Shuningdek, limonni yuqori gorizontal tezlik bilan otish uning vertikal tezlanishi qiymatiga taʼsir qilmaydi. Boshqacha aytganda, agar siz miltiqdan oʻqni gorizontal otsangiz yoki erkin tashlab yuborsangiz, ular yerga bir xil vaqtda uriladi.

Gravitatsiya kuchi jismlarga faqat pastga tomon tezlanish bergani sababli otilgan jismlar gorizontal tezlanishga ega emas. Havoning qarshilik kuchi gorizontal tezlanishni hosil qilishi mumkin edi, biroq biz havoning qarshiligini hisobga olmaymiz, shu sababli gorizontga burchak ostida otilgan jismning gorizontal tezligi oʻzgarmas.

Gorizontal yoʻnalish uchun quyidagi formuladan foydalansak boʻladi:

Eslatma: Gorizontal tenglamaga faqat gorizontal kattaliklarni qoʻyishni yodda tuting. Agar bizga ushbu formuladan ikkita kattalik maʼlum boʻlsa, biz qolgan kattalikni topishimiz mumkin.

Gorizontga burchak ostida otilgan jism gravitatsiya kuchi sababli butun harakati davomida pastga yoʻnalgan $a_y=-9.8 \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$a, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, point, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction tezlanishga ega boʻladi. Vertikal tezlanish oʻzgarmas boʻlgani tufayli biz vertikal kattaliklarni quyida koʻrsatilgan toʻrtta kinematik formula orqali topishimiz mumkin.

Ushbu vertikal harakat tenglamalariga faqat vertikal kattaliklarni qoʻying. Agar biz ushbu tenglamalardagi kattaliklarning uchtasini bilsak, qolgan ixtiyoriy kattalikni topa olamiz.

Eslatma: Aynan bir harakat uchun vaqt oraligʻi $t$t vertikal va gorizontal tenglamalarda bir xil qiymatga ega. Yaʼni agar biz $t$t ni topmoqchi boʻlsak, unda $t$t ni xohlasak vertikal yoki gorizontal yoʻnalish tenglamalariga qoʻysak boʻladi. Bu strategiya koʻp masalalarda ishlatiladi. Koʻpincha, vertikal yoʻnalish tenglamasidan $t$t topilib, gorizontal yoʻnalish tenglamasiga qoʻyiladi (yoki teskarisi).

Koʻp hollarda odamlar gorizontal tenglamaga kattaliklarning vertikal proyeksiyasini qoʻyadi yoki buning teskarisi. Gorizontga burchak ostida otilgan jism harakatining har bir yoʻnalishini (gorizontal va vertikal) mustaqil ravishda tahlil qilish faqatgina yoʻnalishlar ($x$x yoki $y$y) ning har biri oʻz tenglamasida boʻlgan holda oʻrinli.

Diagonal yoʻnalishdagi boshlangʻich tezliklar vertikal va gorizontal proyeksiyalarga ajratilishi kerak. Gohida odamlar tezlik vektorini gorizontal va vertikal proyeksiyalarga ajratishga qiynalishadi. Ushbu maqola sizga vektorlarni proyeksiyalarga ajratishda kerak boʻladigan trigonometrik bilimlarni beradi.

Jism gorizontal otilganda uning boshlangʻich tezligi vertikal proyeksiyasi nolga teng $\red {v_{0y}=0}$start color #df0030, v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 0, end color #df0030 (quyidagi 1-misolga qarang). Oʻquvchilarning katta qismi uchun jism harakatni tezlikning gorizontal proyeksiyasi bilan boshlashi mumkinligi, shu bilan birga, tezlikning vertikal proyeksiyasi nolga teng boʻlishini qabul qilish qiyin kechadi.

Suv shari $H=23.0\text{ m}$H, equals, 23, point, 0, start text, space, m, end text balandlikdagi bino tomidan $v_0=8.31 \dfrac{\text m}{\text{s}}$v, start subscript, 0, end subscript, equals, 8, point, 31, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction tezlik bilan gorizontal otildi.

Biz masalani yechishni berilgan kattaliklarni oʻz ichiga olgan chizmani chizish orqali boshlaymiz.

Biz uchish vaqti $t$t ni topganimizdan soʻng, $\Delta x=v_xt$delta, x, equals, v, start subscript, x, end subscript, t formula orqali gorizontal koʻchishni topishimiz mumkin. Vaqtni topish uchun bizga uchta kattalikning vertikal yoʻnalishdagi qiymatlari berilganligiga eʼtibor bering ($\Delta y=-23.0\text { m}$delta, y, equals, minus, 23, point, 0, start text, space, m, end text, $v_{0y}=0$v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 0, $a=-9.8\dfrac{\text m}{\text {s}^2}$a, equals, minus, 9, point, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction).

Biz vertikal yoʻnalish uchun kinematik formuladan foydalanib $t$t ni topamiz. Bizga oxirgi tezlik $v_y$v, start subscript, y, end subscript berilmagan va oxirgi tezlik $v_y$v, start subscript, y, end subscript ni topish soʻralmagan, shu sababli oxirgi tezlik qatnashmagan kinematik formuladan foydalanamiz.

Endi gorizontal koʻchish $\Delta x$delta, x ni topish uchun vaqtni gorizontal yoʻnalish tenglamasiga qoʻyamiz.

$\Delta x=(8.31 \dfrac{\text m}{\text s})(2.17\text { s}) \quad \text{(uchish vaqti va } v_x { ni })$delta, x, equals, left parenthesis, 8, point, 31, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 2, point, 17, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, u, c, h, i, s, h, space, v, a, q, t, i, space, v, a, space, end text, v, start subscript, x, end subscript, n, i, right parenthesis keltirib qoʻying

Demak, shar otilish nuqtasidan $18.0 \text{ m}$18, point, 0, start text, space, m, end text gorizontal masofaga borib tushgan.

Maxsus pnevmatik moslama yordamida qovoq $H=18.0 \text{ m}$H, equals, 18, point, 0, start text, space, m, end text balandlikdan gorizontga $\theta=52.1^\circ$theta, equals, 52, point, 1, degrees burchak ostida $v_0=11.4 \dfrac{\text m}{\text s}$v, start subscript, 0, end subscript, equals, 11, point, 4, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction boshlangʻich tezlik bilan otildi (rasmga qarang).

Qovoq yerga qanday tezlik bilan uriladi?

Biz qovoqning oxirgi tezligi proyeksiyalarini ($v_x$v, start subscript, x, end subscript va $v_y$v, start subscript, y, end subscript) topa olsak, unda tezlikning oʻzini ham topa olamiz.

Bundan oldin biz sinus va kosinus taʼriflari yordamida boshlangʻich tezlikning proyeksiyalarini ($v_{0x}$v, start subscript, 0, x, end subscript va $v_{0y}$v, start subscript, 0, y, end subscript) topishimiz kerak.

(Eslatma: Agar bu matematik sehrgarlik kabi tuyulsa, vektorlarni proyeksiyalarga ajratish haqidagi ushbu maqolani tekshirib koʻring.)

Biz topgan boshlangʻich tezlikning gorizontal proyeksiyasi $v_{0x}=7.00 \dfrac{\text m}{\text s}$v, start subscript, 0, x, end subscript, equals, 7, point, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction oxirgi tezlikning ham gorizontal proyeksiyasi $v_x=7.00 \dfrac{\text m}{\text s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 7, point, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction boʻladi, chunki tezlikning gorizontal proyeksiyasi butun uchish davomida oʻzgarmas boʻladi (havoning qarshiligini hisobga olmang).

Tezlikning vertikal proyeksiyasini topish uchun yuqoridagi ishni sinus uchun bajaramiz.

$v_{0y}=v_0 \text{sin}\theta \quad \text{ }(v_{0y}$v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, v, start subscript, 0, end subscript, start text, s, i, n, end text, theta, start text, space, end text, left parenthesis, v, start subscript, 0, y, end subscript ni toping$)$right parenthesis

$v_{0y}=9.00 \dfrac{\text m}{\text s} \quad \text{ (} v_{0y}$v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 9, point, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, start text, space, left parenthesis, end text, v, start subscript, 0, y, end subscript ni toping $)$right parenthesis

Tezlikning vertikal proyeksiyasi $v_y$v, start subscript, y, end subscript harakat davomida oʻzgargani sababli biz oxirgi tezlikning vertikal proyeksiyasi $v_y$v, start subscript, y, end subscript ni kinematik formula yordamida topishimiz kerak. Bizga uchish vaqti $t$t berilmagan va $t$t ni topish soʻralmagani sababli biz $t$t qatnashmagan vertikal yoʻnalish uchun kinematik formuladan foydalanamiz.

Endi biz oxirgi tezlikning gorizontal va vertikal proyeksiyalari son qiymatini bilgan holda Pifagor teoremasi yordamida oxirgi tezlikning son qiymatini topamiz.

Bu $v=21.9 \dfrac{\text {m}}{\text {s}}$v, equals, 21, point, 9, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction tezlik qovoqning yerga urilishdan oldingi tezligining son qiymati. Oxirgi tezlik va uning proyeksiyalari orasidagi bogʻlanish chizmada koʻrsatilgan.

Biz tangensning taʼrifi orqali $\phi$\phi burchakni ham topishimiz mumkin.

$\text{tan}\phi=\dfrac{20.8\dfrac{\text m}{\text s}}{7.00\dfrac{\text m}{\text s}}$start text, t, a, n, end text, \phi, equals, start fraction, 20, point, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, divided by, 7, point, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, end fraction

Endi tenglikning ikkala tomonidan arktangens olsak, quyidagiga ega boʻlamiz:

Chap tarafda $\phi$\phi hosil boʻladi va oʻng tarafning qiymatini kalkulyator yordamida topsak, quyidagiga ega boʻlamiz: