Tezlik vektorining komponentlari (tashkil etuvchilari) qanday boʻladi?

Ikki oʻlchamli harakat bir oʻlchamlisiga nisbatan murakkabroq, chunki tezlik burchak ostida yoʻnalgan boʻlishi ham mumkin. Masalan, beysbol toʻpi $v$v tezlik bilan gorizontga burchak ostida ham vertikal, ham gorizontal harakatlanayotgan boʻlishi mumkin. Biz hisoblashlarni osonlashtirish maqsadida tezlik vektori $v$v ni ikkita $v_x$v, start subscript, x, end subscript gorizontal va $v_y$v, start subscript, y, end subscript vertikal proyeksiyaga ajratishimiz mumkin.

Ikkala yoʻnalishni bitta tenglamada qamrab olish murakkab, shu sababli "boʻlib tashla va hukmronlik qil" naqliga amal qilgan maʼqul.

Burchak ostida yoʻnalgan tezlik vektori $v$v ni gorizontal va vertikal proyeksiyalarga ajratish bizga har bir yoʻnalish bilan alohida ish koʻrish imkonini beradi. Bundan ham muhimrogʻi, biz bitta murakkab ikki oʻlchamli masalani ikkita soddaroq bir oʻlchamli masalaga aylantira olamiz. Vektorni proyeksiyalarga ajratish usuli tezlikdan tashqari kuch, impuls va elektr maydon uchun ham qoʻllanishi mumkin. Aslini olganda, vektorni proyeksiyalarga ajratish usuli fizikada qayta-qayta foydalaniladi, shuning uchun siz vektorlar bilan ish koʻrishni imkoni boricha tezroq oʻrganib olishingiz kerak.

Vektorni proyeksiyalarga ajratishdan oldin trigonometriya bizga toʻgʻri burchakli uchburchakning bitta burchagi $\theta$theta va tomonlari – gipotenuza, burchak qarshisidagi katet, burchakka yopishgan katet orasidagi quyidagi bogʻlanishni bilish imkonini berishini yodda tutishimiz kerak.

Biz ixtiyoriy vektorni ikkita perpendikulyar proyeksiyaga ajratsak, vektor va uning proyeksiyalari–$v, v_y, v_x$v, comma, v, start subscript, y, end subscript, comma, v, start subscript, x, end subscript–toʻgʻri burchakli uchburchakni hosil qiladi. Shuning uchun biz yuqoridagi trigonometrik qoidalarni tezlik vektori va uning proyeksiyalariga quyidagicha qoʻllashimiz mumkin. $v_x$v, start subscript, x, end subscript burchakka yopishgan katet, $v_y$v, start subscript, y, end subscript burchak qarshisidagi katet va $v$v gipotenuza ekanini yodda tuting.

Bu formulalardagi $v$v lar natijaviy tezlik vektorining son qiymatini nazarda tutayotganini eslab qoling, shu sababli u manfiy boʻla olmaydi. Individual proyeksiyalar $v_x$v, start subscript, x, end subscript va $v_y$v, start subscript, y, end subscript manfiy boʻlishi mumkin, agar manfiy tomonga yoʻnalgan boʻlsa. Manfiy tushunchasi gorizontal yoʻnalish $x$x uchun chap tomon va vertikal yoʻnalish $y$y uchun pastga tomon.

Oldingi boʻlimlarda vektorni son qiymati va burchagi orqali gorizontal va vertikal proyeksiyalarga qanday ajratishni koʻrdik. Lekin masala tezlik proyeksiyalari $v_y$v, start subscript, y, end subscript va $v_x$v, start subscript, x, end subscript bilan boshlansa-chi? Biz tezlik proyeksiyalari yordamida natijaviy tezlikning son qiymati $v$v va burchak $\theta$theta ni qanday topamiz?

Natijaviy vektorning son qiymatini topish murakkab emas, chunki barcha toʻgʻri burchakli uchburchaklarning katetlari va gipotenuzasi Pifagor teoremasiga koʻra oʻzaro bogʻlangan boʻladi.

Ildiz chiqarish orqali natijaviy tezlik vektorining son qiymatini proyeksiyalar asosida topishimiz mumkin.

Shuningdek, agar bizga har ikki proyeksiya berilgan boʻlsa, burchakni $\text{tan}\theta$start text, t, a, n, end text, theta formulasi bilan topishimiz mumkin.

Tangensni tenglikning oʻng tarafiga arktangens qilib oʻtkazsak, burchakni topgan boʻlamiz.

$\theta=\tan^{-1}(\dfrac{{v_y}}{{v_x}})$theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis formuladan foydalanayotganda, $v_y$v, start subscript, y, end subscript ni suratga qoʻyib, qarshisidagi katet va maxrajdagi $v_x$v, start subscript, x, end subscript ni yopishgan katet deb olish gorizontal oʻqqa nisbatan burchakni topayotganimizni bildiradi. Burchakni qanday chizish chalkash tuyilishi mumkin, ammo bu ikki maslahat sizga yordam beradi:

Agar biz musbat yoʻnalishlar sifatida oʻng/yuqorini tanlasak, $v_x$v, start subscript, x, end subscript gorizontal proyeksiya musbat boʻlsa, vektor oʻngga yoʻnalgan boʻladi. Agar gorizontal proyeksiya $v_x$v, start subscript, x, end subscript manfiy boʻlsa, vektor chapga yoʻnalgan boʻladi.

Agar biz musbat yoʻnalishlar sifatida oʻng/yuqorini tanlasak, $v_y$v, start subscript, y, end subscript vertikal proyeksiya musbat boʻlsa, vektor yuqoriga yoʻnalgan boʻladi. Agar vertikal proyeksiya, $v_y$v, start subscript, y, end subscript manfiy boʻlsa, vektor pastga yoʻnalgan boʻladi.

Demak, masalan, vektorning proyeksiyalari $v_x=-12 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 12, start text, space, m, slash, s, end text va $v_y=10 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, 10, start text, space, m, slash, s, end text ga teng boʻlsa, vektor chap tomonga (chunki $v_x$v, start subscript, x, end subscript manfiy) va yuqoriga (chunki $v_y$v, start subscript, y, end subscript musbat) yoʻnalgan.

Futbol toʻpi rasmda koʻrsatilgandek gorizontga 30$^\circ$degrees burchak ostida 24.3 m/s tezlik bilan oʻng tomonga tepildi.

Tezlikning vertikal proyeksiyasini topish uchun biz $sin\theta=\dfrac{\text{qarshisidagi katet}}{\text{gipotenuza}}=\dfrac{v_y}{v}$s, i, n, theta, equals, start fraction, start text, q, a, r, s, h, i, s, i, d, a, g, i, space, k, a, t, e, t, end text, divided by, start text, g, i, p, o, t, e, n, u, z, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction formuladan foydalanamiz. Gipotenuza tezlik $v$v ning son qiymati 24.3 m/s ga, hamda 30$^\circ$degrees qarshisidagi katet $v_y$v, start subscript, y, end subscript ga teng.

Gorizontal proyeksiyani topish uchun biz $\cos\theta=\dfrac{\text{yopishgan katet}}{\text{gipotenuza}}=\dfrac{v_x}{v}$cosine, theta, equals, start fraction, start text, y, o, p, i, s, h, g, a, n, space, k, a, t, e, t, end text, divided by, start text, g, i, p, o, t, e, n, u, z, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction dan foydalanamiz.

Badjahl baliqchi qush shahar ustidan $v_x=14.6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text gorizontal va $v_x=14.6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text vertikal tezlik proyeksiyalari bilan uchib oʻtmoqda.

Biz natijaviy tezlik vektorining son qiymatini topishda Pifagor teoremasidan foydalanamiz.

Burchakni topish uchun biz $\text{tangens}$start text, t, a, n, g, e, n, s, end textning taʼrifidan foydalanamiz, ammo bizga $v$v maʼlum boʻlgani uchun $\text{sinus}$start text, s, i, n, u, s, end text yoki $\text{kosinus}$start text, k, o, s, i, n, u, s, end textdan foydalanishimiz ham mumkin.

Vertikal proyeksiya $v_y=-8.62 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, point, 62, start text, space, m, slash, s, end text boʻlgani sababli vektor pastga yoʻnalgan va $v_x=14.6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text ekanidan vektor oʻng tomonga yoʻnalgan. Shunday qilib, vektorni toʻrtinchi chorakda chizamiz.

Baliqchi qush $17.0 \text{ m/s}$17, point, 0, start text, space, m, slash, s, end text tezlik bilan gorizontga $30.6^\circ$30, point, 6, degrees burchak ostida pastga harakatlanmoqda.