If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Tezlik vektorining komponentlari (tashkil etuvchilari) qanday boʻladi?

Vektorlarni proyeksiyalarga ajratish orqali soddalashtirishni oʻrganing.

Nega biz vektorlarni proyeksiyalarga ajratamiz?

Ikki oʻlchamli harakat bir oʻlchamlisiga nisbatan murakkabroq, chunki tezlik burchak ostida yoʻnalgan boʻlishi ham mumkin. Masalan, beysbol toʻpi v tezlik bilan gorizontga burchak ostida ham vertikal, ham gorizontal harakatlanayotgan boʻlishi mumkin. Biz hisoblashlarni osonlashtirish maqsadida tezlik vektori v ni ikkita v, start subscript, x, end subscript gorizontal va v, start subscript, y, end subscript vertikal proyeksiyaga ajratishimiz mumkin.
Ikkala yoʻnalishni bitta tenglamada qamrab olish murakkab, shu sababli "boʻlib tashla va hukmronlik qil" naqliga amal qilgan maʼqul.
Burchak ostida yoʻnalgan tezlik vektori v ni gorizontal va vertikal proyeksiyalarga ajratish bizga har bir yoʻnalish bilan alohida ish koʻrish imkonini beradi. Bundan ham muhimrogʻi, biz bitta murakkab ikki oʻlchamli masalani ikkita soddaroq bir oʻlchamli masalaga aylantira olamiz. Vektorni proyeksiyalarga ajratish usuli tezlikdan tashqari kuch, impuls va elektr maydon uchun ham qoʻllanishi mumkin. Aslini olganda, vektorni proyeksiyalarga ajratish usuli fizikada qayta-qayta foydalaniladi, shuning uchun siz vektorlar bilan ish koʻrishni imkoni boricha tezroq oʻrganib olishingiz kerak.

Vektorni proyeksiyalarga qanday ajratamiz?

Vektorni proyeksiyalarga ajratishdan oldin trigonometriya bizga toʻgʻri burchakli uchburchakning bitta burchagi theta va tomonlari – gipotenuza, burchak qarshisidagi katet, burchakka yopishgan katet orasidagi quyidagi bogʻlanishni bilish imkonini berishini yodda tutishimiz kerak.
sine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, start text, q, a, r, s, h, i, s, i, d, a, g, i, space, k, a, t, e, t, end text, end color #e84d39, divided by, start text, g, i, p, o, t, e, n, u, z, a, end text, end fraction
cosine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #6495ed, start text, y, o, p, i, s, h, g, a, n, space, k, a, t, e, t, end text, end color #6495ed, divided by, start text, g, i, p, o, t, e, n, u, z, a, end text, end fraction
tangent, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, start text, q, a, r, s, h, i, s, i, d, a, g, i, space, k, a, t, e, t, end text, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, start text, y, o, p, i, s, h, g, a, n, space, k, a, t, e, t, end text, end color #6495ed, end fraction
Biz ixtiyoriy vektorni ikkita perpendikulyar proyeksiyaga ajratsak, vektor va uning proyeksiyalari–v, comma, v, start subscript, y, end subscript, comma, v, start subscript, x, end subscript–toʻgʻri burchakli uchburchakni hosil qiladi. Shuning uchun biz yuqoridagi trigonometrik qoidalarni tezlik vektori va uning proyeksiyalariga quyidagicha qoʻllashimiz mumkin. v, start subscript, x, end subscript burchakka yopishgan katet, v, start subscript, y, end subscript burchak qarshisidagi katet va v gipotenuza ekanini yodda tuting.
sine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, v, end fraction
cosine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, divided by, v, end fraction
tangent, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction
Bu formulalardagi v lar natijaviy tezlik vektorining son qiymatini nazarda tutayotganini eslab qoling, shu sababli u manfiy boʻla olmaydi. Individual proyeksiyalar v, start subscript, x, end subscript va v, start subscript, y, end subscript manfiy boʻlishi mumkin, agar manfiy tomonga yoʻnalgan boʻlsa. Manfiy tushunchasi gorizontal yoʻnalish x uchun chap tomon va vertikal yoʻnalish y uchun pastga tomon.

Natijaviy vektorning son qiymati va yoʻnalishini qanday aniqlaymiz?

Oldingi boʻlimlarda vektorni son qiymati va burchagi orqali gorizontal va vertikal proyeksiyalarga qanday ajratishni koʻrdik. Lekin masala tezlik proyeksiyalari v, start subscript, y, end subscript va v, start subscript, x, end subscript bilan boshlansa-chi? Biz tezlik proyeksiyalari yordamida natijaviy tezlikning son qiymati v va burchak theta ni qanday topamiz?
Natijaviy vektorning son qiymatini topish murakkab emas, chunki barcha toʻgʻri burchakli uchburchaklarning katetlari va gipotenuzasi Pifagor teoremasiga koʻra oʻzaro bogʻlangan boʻladi.
v, squared, equals, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, squared, plus, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, squared
Ildiz chiqarish orqali natijaviy tezlik vektorining son qiymatini proyeksiyalar asosida topishimiz mumkin.
v, equals, square root of, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, squared, plus, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, squared, end square root

Shuningdek, agar bizga har ikki proyeksiya berilgan boʻlsa, burchakni start text, t, a, n, end text, theta formulasi bilan topishimiz mumkin.
tangent, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction
Tangensni tenglikning oʻng tarafiga arktangens qilib oʻtkazsak, burchakni topgan boʻlamiz.
start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction, right parenthesis

Vektor proyeksiyalarining murakkabligi nimada?

theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis formuladan foydalanayotganda, v, start subscript, y, end subscript ni suratga qoʻyib, qarshisidagi katet va maxrajdagi v, start subscript, x, end subscript ni yopishgan katet deb olish gorizontal oʻqqa nisbatan burchakni topayotganimizni bildiradi. Burchakni qanday chizish chalkash tuyilishi mumkin, ammo bu ikki maslahat sizga yordam beradi:
Agar biz musbat yoʻnalishlar sifatida oʻng/yuqorini tanlasak, v, start subscript, x, end subscript gorizontal proyeksiya musbat boʻlsa, vektor oʻngga yoʻnalgan boʻladi. Agar gorizontal proyeksiya v, start subscript, x, end subscript manfiy boʻlsa, vektor chapga yoʻnalgan boʻladi.
Agar biz musbat yoʻnalishlar sifatida oʻng/yuqorini tanlasak, v, start subscript, y, end subscript vertikal proyeksiya musbat boʻlsa, vektor yuqoriga yoʻnalgan boʻladi. Agar vertikal proyeksiya, v, start subscript, y, end subscript manfiy boʻlsa, vektor pastga yoʻnalgan boʻladi.
Demak, masalan, vektorning proyeksiyalari v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 12, start text, space, m, slash, s, end text va v, start subscript, y, end subscript, equals, 10, start text, space, m, slash, s, end text ga teng boʻlsa, vektor chap tomonga (chunki v, start subscript, x, end subscript manfiy) va yuqoriga (chunki v, start subscript, y, end subscript musbat) yoʻnalgan.
Tushunchani tekshirish: Qogʻoz samolyotning tezligi proyeksiyalar v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 7, start text, space, m, slash, s, end text va v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 5, start text, space, m, slash, s, end text boʻlsa, u qaysi tarafga qarab uchmoqda? Yuqori va oʻng tomonga boʻlgan harakatni musbat deb oling.
Bitta javobni tanlang:

Vektorning proyeksiyalari ishtirok etgan masalalar qanday koʻrinishda yechiladi?

1-masala: Bekhem kabi aylantiring.

Futbol toʻpi rasmda koʻrsatilgandek gorizontga 30degrees burchak ostida 24.3 m/s tezlik bilan oʻng tomonga tepildi.
Ayni paytda tezlikning vertikal proyeksiyasi nimaga teng?
Ayni paytda tezlikning gorizontal proyeksiyasi nimaga teng?
Tezlikning vertikal proyeksiyasini topish uchun biz s, i, n, theta, equals, start fraction, start text, q, a, r, s, h, i, s, i, d, a, g, i, space, k, a, t, e, t, end text, divided by, start text, g, i, p, o, t, e, n, u, z, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction formuladan foydalanamiz. Gipotenuza tezlik v ning son qiymati 24.3 m/s ga, hamda 30degrees qarshisidagi katet v, start subscript, y, end subscript ga teng.
sine, theta, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction, start text, left parenthesis, S, i, n, u, s, space, t, a, ʼ, r, i, f, i, d, a, n, space, f, o, y, d, a, l, a, n, i, n, g, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, v, sine, theta, start text, left parenthesis, V, e, r, t, i, k, a, l, space, p, r, o, y, e, k, s, i, y, a, n, i, space, t, o, p, i, n, g, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, left parenthesis, 24, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, o, n, space, q, i, y, m, a, t, l, a, r, i, n, i, space, k, e, l, t, i, r, i, b, space, q, o, ʻ, y, i, n, g, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, 12, point, 2, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, H, i, s, o, b, l, a, n, g, space, v, a, space, n, i, s, h, o, n, l, a, n, g, !, right parenthesis, end text
Gorizontal proyeksiyani topish uchun biz cosine, theta, equals, start fraction, start text, y, o, p, i, s, h, g, a, n, space, k, a, t, e, t, end text, divided by, start text, g, i, p, o, t, e, n, u, z, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction dan foydalanamiz.
cosine, theta, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction, start text, left parenthesis, K, o, s, i, n, u, s, space, t, a, ʼ, r, i, f, i, d, a, n, space, f, o, y, d, a, l, a, n, i, n, g, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, v, cosine, theta, start text, left parenthesis, G, o, r, i, z, o, n, t, a, l, space, p, r, o, y, e, k, s, i, y, a, n, i, space, t, o, p, i, n, g, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, left parenthesis, 24, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, o, n, space, q, i, y, m, a, t, l, a, r, i, n, i, space, k, e, l, t, i, r, i, b, space, q, o, ʻ, y, i, n, g, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, 21, point, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, H, i, s, o, b, l, a, n, g, space, v, a, space, n, i, s, h, o, n, l, a, n, g, !, right parenthesis, end text

2-masala: Badjahl baliqchi qush

Badjahl baliqchi qush shahar ustidan v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text gorizontal va v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text vertikal tezlik proyeksiyalari bilan uchib oʻtmoqda.
Baliqchi qushning natijaviy tezligi son qiymati nimaga teng?
Natijaviy tezlik gorizontga qanday burchak ostida yoʻnalgan?
Oʻng/yuqorini musbat, barcha burchaklar x oʻqining musbat yoʻnalishidan soat miliga qarshi tomonga qarab oʻlchanadi deb faraz qiling.
Biz natijaviy tezlik vektorining son qiymatini topishda Pifagor teoremasidan foydalanamiz.
v, squared, equals, v, start subscript, x, end subscript, squared, plus, v, start subscript, y, end subscript, squared, start text, left parenthesis, P, i, f, a, g, o, r, space, t, e, o, r, e, m, a, s, i, right parenthesis, end text
v, equals, square root of, v, start subscript, x, end subscript, squared, plus, v, start subscript, y, end subscript, squared, end square root, start text, left parenthesis, I, k, k, a, l, a, space, t, o, m, o, n, d, a, n, space, k, v, a, d, r, a, t, space, i, l, d, i, z, space, c, h, i, q, a, r, i, n, g, point, right parenthesis, end text
v, equals, square root of, left parenthesis, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, minus, 8, point, 62, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, end square root, start text, left parenthesis, S, o, n, l, a, r, n, i, space, k, e, l, t, i, r, i, b, space, q, o, ʻ, y, i, n, g, point, right parenthesis, end text
v, equals, 17, point, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, H, i, s, o, b, l, a, n, g, space, v, a, space, n, i, s, h, o, n, l, a, n, g, !, right parenthesis, end text
Burchakni topish uchun biz start text, t, a, n, g, e, n, s, end textning taʼrifidan foydalanamiz, ammo bizga v maʼlum boʻlgani uchun start text, s, i, n, u, s, end text yoki start text, k, o, s, i, n, u, s, end textdan foydalanishimiz ham mumkin.
tangent, theta, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, T, a, n, g, e, n, s, n, i, n, g, space, t, a, ʼ, r, i, f, i, d, a, n, space, f, o, y, d, a, l, a, n, i, n, g, point, right parenthesis, end text
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis, start text, left parenthesis, I, k, k, a, l, a, space, t, o, m, o, n, d, a, n, space, a, r, k, t, a, n, g, e, n, s, space, o, l, i, n, g, point, right parenthesis, end text
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 8, point, 62, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text, end fraction, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, o, n, space, q, i, y, m, a, t, l, a, r, i, n, i, space, k, e, l, t, i, r, i, b, space, q, o, ʻ, y, i, n, g, point, right parenthesis, end text
theta, equals, 30, point, 6, degrees, start text, left parenthesis, H, i, s, o, b, l, a, n, g, space, v, a, space, n, i, s, h, o, n, l, a, n, g, !, right parenthesis, end text
Vertikal proyeksiya v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, point, 62, start text, space, m, slash, s, end text boʻlgani sababli vektor pastga yoʻnalgan va v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text ekanidan vektor oʻng tomonga yoʻnalgan. Shunday qilib, vektorni toʻrtinchi chorakda chizamiz.
Baliqchi qush 17, point, 0, start text, space, m, slash, s, end text tezlik bilan gorizontga 30, point, 6, degrees burchak ostida pastga harakatlanmoqda.