Asosiy kontent

Inersiya momenti

Jism massasining unda qanday taqsimlanishi jism ola biladigan burchak tezlanishga taʼsiri.

Inersiya momenti nima?

Inersiya momenti barcha aylanma harakat qilayotgan jismlarni tavsiflashda ishlatiladi. Bu skalyar kattalik bizga biror aylanish oʻqidagi jismning burchak tezligini oʻzgartirish qanchalik qiyinligini bildiradi.

Aylanma harakatda inersiya momenti xuddi toʻgʻri chiziqli harakatdagi massaga oʻxshaydi. Haqiqatan ham, inersiya momenti jismning massasiga proporsional. Shuningdek, u bu massa aylanish oʻqi atrofida qanday taqsimlanganiga ham bogʻliq.

Massa markazi aylanish oʻqidan uzoqlashgani sayin uning burchak tezligini oʻzgartirish qiyinlashib boradi. Bunga sabab shuki, endi massa oʻzida kattaroq impulsni mujassamlashtirgan (uning tezligi ortishi tufayli), chunki impuls vektorining yoʻnalishi tezroq oʻzgaradi. Har ikkala kattalik massadan aylanish oʻqigacha boʻlgan masofaga bogʻliq.

Inersiya momenti

I

harfi bilan belgilanadi.

r

radiusli aylana boʻylab harakatlanayotgan

m

massali tennis koptokchasining (1-rasmga qarang) inersiya momenti quyidagi formula orqali topiladi:

I = m r^{2}

shu bilan birga, inersiya momentining SI dagi birligi

kg \cdot m^{2}

Inersiya momenti ayrim manbalarda aylanma harakat inersiyasi deb ham ataladi. Shuningdek, u ikkinchi massa momenti deb ham aytiladi; “ikkinchi” soʻzi u kuch yelkasining kvadratiga toʻgʻri proporsional ekanini bildirish uchun ishlatiladi.

Inersiya momenti va Nyutonning ikkinchi qonuni qanday bogʻliq?

Nyutonning ikkinchi qonunining aylanma harakat uchun tatbiqida inersiya momenti massa oʻrnida qoʻllanadi.

Tasavvur qiling, vaznsiz ipning bir uchiga

m

massali jism ulangan, ikkinchi uchi esa 2-rasmda koʻrsatilgandek biror nuqtaga mahkamlangan.

Biz jismga

F_{T}

tangensial kuch taʼsir ettirib, uni aylantirishni boshlaymiz. Nyutonning ikkinchi qonunidan,

F_{T} = m a_{T}

uni quyidagicha yozish ham mumkin:

F_{T} = m (r α)

Nyutonning ikkinchi qonuni kuch va tezlanish orasidagi bogʻlanishni ifodalaydi. Aylanma harakat mexanikasida aylantiruvchi kuch momenti

τ

kuchning oʻrnini egallaydi. Ikkala tarafni radiusga koʻpaytirsak, biz xohlagan ifoda kelib chiqadi.

\begin{aligned} F_{T} r & = m (r α) r \\ τ & = m r^{2} α \\ τ & = I α \end{aligned}

Jismga taʼsir etuvchi aylantiruvchi kuch momentlarini bilsak, bu formula yordamida uning harakatiga tavsif berish mumkin.

1a-mashq:

Motor oʻzgarmas $100 Nm$ ‍ aylantiruvchi kuch momenti hosil qila oladi va uning maksimal $150 rad / s$ ‍ burchak tezlik bilan aylana oladigan vali inersiya momenti $0, 1 kg m^{2}$ ‍ boʻlgan mashina gʻildiragiga ulangan. Motor ishga tushirilganda gʻildirak qanday burchak tezlanish bilan harakatlanadi?

1b-mashq:

Agar gʻildirak harakatni tinch holatdan boshlagan boʻlsa, u qancha vaqtdan soʻng tekis harakatlana boshlaydi?

Biz umumiy holda inersiya momentini qanday topamiz?

Odatda mexanik sistemalar bir nechta jismlar birlashmasidan yoki murakkab shakldagi jismlardan tuzilgan boʻladi.

Ixtiyoriy jismning ixtiyoriy oʻq atrofidagi inersiya momenti jismni tashkil etgan zarralarning shu oʻq atrofidagi inersiya momentlari yigʻindisiga teng.

\begin{aligned} I & = m_{1} r_{1}^{2} + m_{2} r_{2}^{2} + \dots \\ = Σ m_{i} r_{i}^{2} \end{aligned}

2a-mashq:

3(a) rasmda koʻrsatilgan jismning inersiya momenti nimaga teng?

2b-mashq:

Xuddi shunga oʻxshash, biroq boshqa oʻq atrofida aylanuvchi sistemaning inersiya momenti nimaga teng?

Murakkab shakllarning inersiya momenti qanday topiladi?

Murakkab shakllarning inersiyasini topishda integraldan foydalaniladi. Ammo koʻp uchraydigan geometrik shakllarning inersiya momenti formulasi kitoblarda jadval koʻrinishida berilgan. Bu inersiya momenti odatda ularning oʻrtasiga (yaʼni massa markaziga) nisbatan hisoblangan boʻladi.

Masalan, massasi m va radiusi

r

boʻlgan yaxlit silindrning markazidan oʻtgan simmetriya oʻqiga nisbatan inersiya momenti

I = \frac{1}{2} m r^{2}

va ichki radiusi

r_{i}

, tashqi radiusi esa

r_{o}

boʻlgan qalin devorli gʻovak silindrning inersiya momenti,

I = \frac{m (r_{i}^{2} + r_{o}^{2})}{2}

Boshqa sodda geometrik shakllarning inersiya momentlari 4-rasmda koʻrsatilgan.

Koʻpincha murakkab shakllar bizga inersiya momenti maʼlum boʻlgan sodda shakllardan tashkil topgan boʻladi. Bundan foydalanib biz nostandart shakllarning inersiya momentini topishimiz mumkin.

Biz duch keladigan muammo shundaki, sodda shakllarning inersiya momentini ularning massa markaziga nisbatan topganmiz va bu nostandart jismning aylanish oʻqi bilan mos tushmaydi. Biz bunday holatda Shtern teoremasidan foydalanamiz.

Agar bizga jismning oʻz oʻqi atrofida inersiya momenti

c

, jism massasi

m

va jismning markazi

c

dan nostandart jism aylanayotgan nuqta

o

gacha boʻlgan masofa

d

maʼlum boʻlsa, Shtern teoremasi yordamida jismning ixtiyoriy

o

nuqtaga nisbatan inersiya momentini topishimiz mumkin.

I_{o} = I_{c} + m d^{2}

3-mashq:

5-rasmdagi shakl quyidagi uchta $10 mm$ ‍ qalinlikdagi diskni (har biri $50 kg$ ‍ dan) massasi $100 kg$ ‍ boʻlgan halqaga payvandlashdan hosil qilingan. Agar halqa markazdan oʻtgan chizma tekisligidan bizga yoʻnalgan oʻq atrofida aylanayotgan boʻlsa, uning inersiya momenti nimaga teng?
Yechim:
Birinchi sistema tashkil topgan toʻrtta jismning inersiya momentini alohida topib olamiz.
Ichi kovak silindr uchun inersiya momenti formulasidan foydalanib katta disk uchun $I_{b}$ ‍ ni topamiz. Silindrning massa markazi aylanish oʻqi bilan ustma-ust tushgani sababli formulaga hech qanday oʻzgartirish kiritish shart emas.
$\begin{aligned} I_{b} & = \frac{1}{2} m (r_{i}^{2} + r_{o}^{2}) \\ = \frac{1}{2} (100 kg) \cdot (0, 75^{2} + 1^{2}) m^{2} \\ ≃ 78,125 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍
Xuddi shu ishni mayda disklar uchun bajaramiz, hozirchalik oʻzining massa markaziga nisbatan:
$\begin{aligned} I_{s} & = \frac{1}{2} m r_{c}^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot (50 \cdot kg) (0, 30 m)^{2} \\ = 2, 25 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍
Bu uchta diskning barchasi massa markazidan $d$ ‍ masofada boʻlgan oʻqqa nisbatan aylanayotgani uchun Shtern teoremasi yordamida ularning effektiv inersiya momenti $I_{s}^{'}$ ‍ ni topamiz.
$d = \frac{1}{2} (1 + 0, 75) = 0,875 m$ ‍
$\begin{aligned} I_{s}^{'} & = I_{s} + m d^{2} \\ = (2, 25 kg \cdot m^{2}) + (50 kg) \cdot (0,875 m)^{2} \\ ≃ 40, 5 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍
Ularning barchasi bir xil massaga ega boʻlgani va aylanish oʻqidan teng masofada joylashgani sababli biz ularga uch marta katta inersiyaga ega boʻlgan bitta jism deb qarashimiz mumkin. Nihoyat, jismning inersiya momenti:
$\begin{aligned} I & ≃ 78 + 3 \cdot 40, 5 \\ ≃ 200 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍

Fizikaning yana qaysi qismida inersiya momentidan foydalaniladi?

Inersiya momenti biror massa aylanma harakatda qatnashgan deyarli barcha masalalarda muhimdir. U impuls momentini hisoblash uchun ishlatiladi va massa taqsimoti oʻzgarganda aylanma harakat qanday oʻzgarishini tushuntirishga (impuls momentining saqlanish qonuni orqali) imkon beradi. Shuningdek, aylanma harakat qilayotgan jismning kinetik energiyasini topishda ham undan foydalaniladi.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.