Maksvell-Bolsman taqsimoti nima?

Atrofimizdagi havo molekulalarining barchasi bir xil tezlikda harakatlanmaydi, hatto bir xil haroratda boʻlsa ham. Havo molekulalarining baʼzilari juda tez, baʼzilari esa oʻrtacha tezlikda harakat qiladi va ayrim havo molekulalari deyarli harakat qilmaydi. Shu sababli biz “gazdagi havo molekulasining tezligi nima?” kabi savollarni berolmaymiz. Chunki gazdagi molekulalar katta oraliqdagi ixtiyoriy tezlikka ega boʻlishi mumkin.

Shunday qilib, biron-bir alohida gaz molekulasi haqida soʻrashning oʻrniga biz “maʼlum bir haroratda gaz molekulalarining tezlik taqsimoti qanday?” degan savolni berishimiz mumkin. 1800-yillarning oʻrtalarida Jeyms Klerk Maksvell va Lyudvig Bolsman bu savolga javob topdilar. Ularning ishi Maksvell-Bolsman taqsimoti deb nomlanadi, chunki bu ideal gaz uchun molekulalarning tezligi qanday taqsimlanishini koʻrsatadi. Maksvell-Bolsmanning taqsimoti koʻpincha quyidagi grafik bilan tasvirlanadi:

Maksvell-Bolsman grafigining y oʻqini tezlik birligiga toʻgʻri keladigan molekulalar soni deb olish mumkin. Shunday qilib, agar grafikning maʼlum bir hududi balandroq boʻlsa, demak, bu tezliklar bilan koʻproq gaz molekulalari harakatlanadi.

Grafik simmetrik emasligiga eʼtibor bering. Grafikning yuqori tezlikdan oʻng tomonida uzunroq “dum” mavjud. Grafikning oʻng tomoni juda katta tezliklar tomonga davom etadi, ammo chap tomonda grafik nol bilan tugashi kerak (chunki molekula noldan past tezlikka ega boʻlolmaydi).

Maksvell-Bolsman taqsimotining haqiqiy matematik tenglamasi biroz murakkab va odatda koʻplab kirish algebra darslarida oʻtilmaydi.

Siz Maksvell-Bolsman grafigi tepasida joylashgan nuqtaga toʻgʻri keluvchi tezlikni gazdagi molekulalarning oʻrtacha tezligi deb oʻylashingiz mumkin, ammo bu notoʻgʻri. Grafikning eng yuqori nuqtasidagi tezlik – $\redD{ \text{eng katta ehtimolli tezlik } v_{p}}$start color #e84d39, start text, e, n, g, space, k, a, t, t, a, space, e, h, t, i, m, o, l, l, i, space, t, e, z, l, i, k, space, end text, v, start subscript, p, end subscript, end color #e84d39, chunki gazda bu tezlikda eng koʻp molekula topilishi mumkin.

Gaz molekulalarining $\blueD{ \text{oʻrtacha arifmetik tezligi }\ v_{avg}}$start color #11accd, start text, o, ʻ, r, t, a, c, h, a, space, a, r, i, f, m, e, t, i, k, space, t, e, z, l, i, g, i, space, end text, space, v, start subscript, a, v, g, end subscript, end color #11accd aslida choʻqqining oʻng tomonida joylashgan. Oʻrtacha arifmetik tezlik tepalikning oʻng tomonida joylashishi Maksvell-Bolsman taqsimoti grafigining oʻng tomonga choʻzilgani bilan bogʻliq. Bu choʻzilish oʻrtacha arifmetik tezlikni grafikning yuqori choʻqqisini oʻng tomonga biroz siljitadi.

Yana bir foydali tezlik $\greenD{ \text{oʻrtacha kvadratik tezlik } v_{kv}}$start color #1fab54, start text, o, ʻ, r, t, a, c, h, a, space, k, v, a, d, r, a, t, i, k, space, t, e, z, l, i, k, space, end text, v, start subscript, k, v, end subscript, end color #1fab54 deb nomlanadi. Bu tezlik qiziqarli, chunki taʼrif nomning oʻzida yashiringan. oʻrtacha kvadratik tezlik – bu tezliklar kvadratlarining oʻrtacha qiymati. Biz oʻrtacha kvadratik tezlik formulasini matematik ravishda quyidagicha yozishimiz mumkin:

Oʻrtacha qiymatni topishning bu usuli keraksiz boʻlib tuyulishi mumkin, chunki biz barcha tezlikni kvadratga koʻtardik va keyinroq kvadrat ildiz chiqardik. Siz hayron boʻlishingiz mumkin: “Nega shunchaki tezlikning oʻrtacha qiymatini olmadik?” Ammo esda tutingki, tezlik vektor va yoʻnalishga ega. Gaz molekulalarining oʻrtacha tezligi nolga teng, chunki gaz molekulalari teng miqdorda oʻngga (+ tezlik) va chapga(– tezlik) harakat qiladi. Shuning uchun biz tezliklarni kvadratga oshiramiz va musbat qilib olamiz, bu oʻrtacha qiymatning nolga teng boʻlmasligini taʼminlaydi. Fiziklar bu usuldan musbat va manfiy qiymatlarni olishi mumkin boʻlgan kattaliklarning oʻrtacha qiymatini topishda foydalanadi (masalan, oʻzgaruvchan tok zanjiridagi kuchlanish va oʻzgaruvchan tok).

Ushbu ($\redD{v_{eh}}$start color #e84d39, v, start subscript, e, h, end subscript, end color #e84d39, $\blueD{v_{ar}}$start color #11accd, v, start subscript, a, r, end subscript, end color #11accd va $\greenD{v_{kv}}$start color #1fab54, v, start subscript, k, v, end subscript, end color #1fab54) kattaliklar hatto xona haroratidagi gazlar uchun ham biroz katta. Masalan, xona haroratidagi ($293\text{ K}$293, start text, space, K, end text) neon gazi molekulalarining eng katta ehtimolli tezligi, oʻrtacha arifmetik tezligi va oʻrtacha kvadratik tezligi taxminan quyidagiga teng,

$\redD{v_p}=491\dfrac{\text m}{\text s}\qquad$start color #e84d39, v, start subscript, p, end subscript, end color #e84d39, equals, 491, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (yoki $1100 \dfrac{\text{mil}}{\text{h}})$1100, start fraction, start text, m, i, l, end text, divided by, start text, h, end text, end fraction, right parenthesis

$\blueD{v_{avg}}=554\dfrac{\text m}{\text s}\quad$start color #11accd, v, start subscript, a, v, g, end subscript, end color #11accd, equals, 554, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (yoki $1240 \dfrac{\text{mil}}{\text{h}})$1240, start fraction, start text, m, i, l, end text, divided by, start text, h, end text, end fraction, right parenthesis

$\greenD{v_{rms}}=602\dfrac{\text m}{\text s}\qquad$start color #1fab54, v, start subscript, r, m, s, end subscript, end color #1fab54, equals, 602, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (yoki $1350\dfrac{\text{mil}}{\text{h}})$1350, start fraction, start text, m, i, l, end text, divided by, start text, h, end text, end fraction, right parenthesis

Maksvell-Bolsman taqsimoti grafigidagi y-oʻqi tezlik birligiga toʻgʻri keladigan molekulalar sonini ifodalaydi. Grafik ostidagi umumiy yuza gazning molekulalar soniga teng.

Agar biz gazni yuqori haroratga qizdirsak, grafikning choʻqqisi oʻngga siljiydi (chunki gaz molekulalarining tezligi oshadi). Grafik oʻng tomonga siljiganida egri chiziq ostidagi yuza oʻzgarmas qolishi uchun grafikning balandligi pasayishi kerak. Xuddi shunga oʻxshab, gaz past haroratga sovishi bilan grafikning yuqori choʻqqisi chapga siljiydi. Grafikning choʻqqisi chapga siljiganida egri chiziq ostidagi yuza oʻzgarmas qolishi uchun choʻqqi yuqoriroqqa chiqishi kerak. Buni turli haroratdagi (oʻzgarmas molekulalar soni bilan) gaz namunasini aks ettiruvchi egri chiziqlarda koʻrish mumkin.

Gaz sovigani sari grafik balandlashib va torayib boradi. Xuddi shunga oʻxshab, gaz qizigan sari grafikning balandligi kamayadi va eniga kengayadi. Chunki egri chiziq ostidagi yuza (yaʼni molekulalarning umumiy soni) oʻzgarmas boʻlishi kerak.

Agar molekulalarga gaz qoʻshilsa, egri chiziq ostidagi umumiy yuza ortadi. Xuddi shunga oʻxshab, agar molekulalar gazni tark etsa, egri chiziq ostidagi umumiy yuza kamayadi.

Ikki atomli nitrogen gazi idish ichiga germetik qamalgan. Idish sovuq xonaga qoʻyildi va gaz xona temperaturasi bilan muvozanatlashib sovidi.

Gaz molekulalarining tezlik taqsimoti quyidagicha.