PV diagrammalar nima?

Tasavvur qiling, gaz qoʻzgʻaluvchan porshen ostida germetik qamalgan. Biz porshenni pastga bosib, idishni olovga yaqinlashtirib yoki idishni qaynab turgan suvga tushirib gaz ustida ish bajarishimiz mumkin. Gaz ushbu termodinamik jarayonlardan oʻtganda, uning bosimi va hajmi oʻzgaradi.

Bosim va hajmdagi bu oʻzgarishlarni vizuallashtirishning eng oson yoʻli – bosim-hajm grafiklari yoki PV grafiklaridan foydalanish. PV grafigidagi har bir nuqta gazning biror holatini bildiradi. Koʻrib turganingizdek, bosim vertikal oʻqqa va hajm gorizontal oʻqqa joylashtirilgan.

PV grafidagi har bir nuqta gazning turli holatini (mavjud boʻlishi mumkin boʻlgan bosim va hajmning barcha qiymatlarini) ifodalaydi. Gaz biror termodinamik jarayon ostida boʻlganda, uning holat oʻzgarishi PV grafigida iz qoldirishini koʻrish mumkin (rasmga qarang).

PV grafigida koʻrsatilgan maʼlumotlarni oʻqish bizga gaz ichki energiyasining oʻzgarishi $\Delta U$delta, U, unga uzatilgan issiqlik $Q$Q va uning ustida bajarilgan ish $W$W toʻgʻrisida gapirish imkonini beradi. Quyidagi boʻlimlarda biz PV grafigidagi yashirin maʼlumotlarni qanday oʻqish kerakligini tushuntiramiz.

Gaz dastlab PV grafigida koʻrsatilgan holatda turibdi.

Agar biz porshenni pastga harakatlantirsak, gazning hajmi kamayadi, natijada holat grafigi chapga kichikroq hajmga siljiydi (rasmga qarang). Shuningdek, gaz siqilganidan biz gaz ustida musbat ish $W$W bajarildi deb aytishimiz mumkin.

Xuddi shunga oʻxshab, agar porshenni yuqoriga koʻtarib gazni kengaytirsak, gazning hajmi ortadi, natijada grafik oʻngga kattaroq hajm tomon siljiydi (rasmga qarang). Gaz kengayayotgani sababli gaz ustida manfiy ish $W$W bajarilyapti deb aytishimiz mumkin.

Demak, agar biz PV grafigida chapga siljishni koʻrsak, gaz ustida bajarilgan ish musbat boʻladi. Xuddi shunga oʻxshab, agar biz PV grafigida oʻngga siljishni koʻrsak, gaz ustida bajarilgan ish manfiyligini bilishimiz mumkin.

Termodinamik jarayonda bajarilgan ish PV grafigi ostidagi yuzaga teng.

Bajarilgan ish grafik ostidagi yuzaga tengligining sababi,

$P\Delta V$P, delta, V toʻrtburchakning $\text{balandligi} \times \text{eni}$start text, b, a, l, a, n, d, l, i, g, i, end text, times, start text, e, n, i, end text ekani bois bajarilgan ish chiziq ostidagi yuzaga teng. Agar biz bosimning $\text{paskal}$start text, p, a, s, k, a, l, end text va hajmning $\text{m}^3$start text, m, end text, cubed birligidan foydalansak, hisoblangan energiya $\text{joul}$start text, j, o, u, l, end textda boʻladi.

Biz ishoralarni aniqlashda juda ehtiyotkor boʻlishimiz kerak. Agar PV grafigida nuqta harakati chapga tomon boʻlsa, unda hajm kamaymoqda va gaz ustida musbat ish bajarilyapti. Agar PV grafigida nuqta harakati oʻngga yoʻnalgan boʻlsa (yuqorida koʻrsatilgan grafikdagidek), unda hajm ortyapti va gaz ustida manfiy ish bajarilyapti. Chunki $W_\text{gazning ishi}=-W_\text{gaz ustida ish}$W, start subscript, start text, g, a, z, n, i, n, g, space, i, s, h, i, end text, end subscript, equals, minus, W, start subscript, start text, g, a, z, space, u, s, t, i, d, a, space, i, s, h, end text, end subscript.

Grafik qanday shaklda boʻlishidan qatʼi nazar, chiziq ostidagi yuza bajarilgan ishga teng boʻladi. Ixtiyoriy shakldagi yuzani biz eni juda kichik boʻlgan cheksiz toʻgʻri toʻrtburchaklarga boʻlib yuborishimiz mumkin.

Har bir toʻgʻri toʻrtburchakning yuzi juda kichik qadamda bajarilgan ishni va yuzalarning yigʻindisi butun jarayon davomida bajarilgan ishning umumiy miqdorini bildiradi.

Taʼkidlash kerakki, biz har doim bu jarayonlar asta-sekin sodir boʻlyapti deb olamiz, shunda butun gaz har lahzada termodinamik muvozanatda boʻlishi zarur (yaʼni butun gazning harorati bir xil). Agar bu sizga shubhali tuyulsa, unda savol berishga haqlisiz. Ammo, umuman olganda, hech qanday haqiqiy jarayonlar ushbu talabni toʻliq qondira olmasa ham, bizning koʻpgina termodinamik jarayonlarni modellashtirish qobiliyatimiz ideal sharoitlarga rioya qilmaslik xavfi ostida qolmaydi.

Ichki energiya va temperatura oʻzaro proporsional $U \propto T$U, \propto, T ekanini yodda tuting. Shu sababli agar temperatura ortsa, gazning ichki energiyasi ham ortadi.

Agar biz ish koʻrayotgan gaz ideal boʻlsa, quyidagi tenglik oʻrinli,

Shuningdek, agar gaz molekulalari idishdan chiqarilmasa (molekulalar soni $N$N oʻzgarmas), biz $PV \propto T$P, V, \propto, T deb olishimiz mumkin. Yuqoridagi fikrlarning barchasini umumlashtirsak,

Agar bosim va hajmning koʻpaytmasi $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis ortsa, temperatura $T$T va ichki energiya $U$U ham ortadi (bundan $\Delta U$delta, U musbat boʻladi). Bu gʻoya quyidagi grafikda tasvirlangan.

Bu PV grafigida nuqta boshlangʻich vaziyatiga nisbatan yuqoriga va oʻngga siljisa, $\Delta U$delta, U musbat boʻladi. Xuddi shunga oʻxshab, PV grafikda nuqta boshlangʻich vaziyatiga nisbatan pastga va chapga siljisa, $\Delta U$delta, U manfiy boʻladi.

Endi PV grafigida nuqta yuqoriga va chapga siljisa (bosim ortadi va hajm kamayadi) yoki pastga va oʻngga siljisa (bosim kamayadi va hajmi ortadi), $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis koʻpaytmaning ortgani yoki kamaygani biroz noaniq boʻladi (chunki bitta oʻzgaruvchi ortgan, boshqasi esa kamaygan). $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis koʻpaytma ortgan yoki kamayganini aniq aytish uchun $P$P va $V$V ning grafikdagi boshlangʻich va oxirgi nuqtalarining aniq qiymatini topib hisoblash kerak.

Shuningdek, agar $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis koʻpaytmaning qiymati oʻzgarmasa, temperatura $T$T va ichki energiya $U$U ham oʻzgarmaydi. Masalan, agar bosim ikki marta ortsa, hajm esa ikki marta kamaysa, $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis ning qiymati oʻzgarmas qoladi (chunki $2P \times \dfrac{V}{2}=PV$2, P, times, start fraction, V, divided by, 2, end fraction, equals, P, V). Natijada temperatura $T$T va ichki energiya $U$U ning ham qiymati oʻzgarmaydi.

PV grafigida uzatilgan umumiy issiqlik miqdorining ishorasini topish uchun biz termodinamikaning birinchi qonuni $\Delta U=Q+W$delta, U, equals, Q, plus, W ga murojaat qilamiz. Agar bu tenglamadan issiqlik miqdori $Q$Q ni topsak,

Bu formulani topgandan soʻng, koʻp hollarda $\Delta U$delta, U va $W$W ning ishoralari haqidagi bilimlarimizni ishga solib $Q$Q ning ishorasini topishimiz mumkin. Masalan, agar ichki energiyaning oʻzgarishi musbat va ish manfiy boʻlsa,

$Q=(+)-(-)=+\qquad$Q, equals, left parenthesis, plus, right parenthesis, minus, left parenthesis, minus, right parenthesis, equals, plus ...uzatilgan umumiy issiqlik miqdori musbat boʻladi.

Gaz ish bajarishiga qaramay, unga berilgan issiqlik miqdori gaz ichki energiyasini oshirdi. Bu gaz yoʻqotganiga nisbatan koʻproq issiqlik miqdori qabul qilganini bildiradi.

Masalan, agar ichki energiya kamaysa va ish musbat boʻlsa,

$Q=(-)-(+)=-\qquad$Q, equals, left parenthesis, minus, right parenthesis, minus, left parenthesis, plus, right parenthesis, equals, minus ...uzatilgan umumiy issiqlik miqdori manfiy boʻladi.

Gaz ustida ish bajarilishiga qaramay, uning ichki energiyasi kamaydi. Bu gaz qabul qilganiga nisbatan koʻproq energiya yoʻqotganini bildiradi.

Germetik berk idishdagi gaz PV grafigida koʻrsatilgan jarayonda boʻldi.

Germetik idishdagi gaz quyidagi PV grafigida koʻrsatilgan jarayonda boʻldi. Gazning boshlangʻich hajmi $V_i=0{,}25 \text{ m}^3$V, start subscript, i, end subscript, equals, 0, comma, 25, start text, space, m, end text, cubed ga va oxirgi hajmi $V_f=0{,}75 \text{ m}^3$V, start subscript, f, end subscript, equals, 0, comma, 75, start text, space, m, end text, cubed ga teng. Gazning boshlangʻich bosimi $P_i=70 000 \text{ Pa}$P, start subscript, i, end subscript, equals, 70000, start text, space, P, a, end text ga va oxirgi bosimi $P_f=160 000 \text{ Pa}$P, start subscript, f, end subscript, equals, 160000, start text, space, P, a, end text ga teng.

Yechim:

Bajarilgan ishni PV grafikdagi egri chiziq ostidagi yuza orqali topishimiz mumkin. Biz umumiy yuzani hisoblaganimizga ishonch hosil qilishimiz kerak. Masalan, yuqorida koʻrsatilgan misolda egri chiziq ostidagi yuza uchburchak va toʻrtburchaklardan tashkil topganini koʻrishimiz mumkin (rasmga qarang).

Endi shunchaki uchburchak va toʻrtburchakning yuzalari yigʻindisini topamiz. Toʻrtburchakning balandligi bosim $P_i$P, start subscript, i, end subscript va eni hajmning oʻzgarishi $\Delta V=V_f-V_i$delta, V, equals, V, start subscript, f, end subscript, minus, V, start subscript, i, end subscript. Demak,

$\blueD{\text{1-yuza}}=\text{balandlik} \times \text{eni} \quad$start color #11accd, start text, 1, negative, y, u, z, a, end text, end color #11accd, equals, start text, b, a, l, a, n, d, l, i, k, end text, times, start text, e, n, i, end text (toʻrtburchakning yuzi)

$\blueD{\text{1-yuza}}=P_i \times \Delta V \quad$start color #11accd, start text, 1, negative, y, u, z, a, end text, end color #11accd, equals, P, start subscript, i, end subscript, times, delta, V (balandlik $P_i$P, start subscript, i, end subscript ga va eni $\Delta V$delta, V ga teng)

$\blueD{\text{1-yuza}}=(70 000\text{ Pa}) \times (0{,}75\text{m}^3-0{,}25\text{m}^3)\quad$start color #11accd, start text, 1, negative, y, u, z, a, end text, end color #11accd, equals, left parenthesis, 70000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis, times, left parenthesis, 0, comma, 75, start text, m, end text, cubed, minus, 0, comma, 25, start text, m, end text, cubed, right parenthesis (son qiymatlarni keltirib qoʻyamiz)

$\blueD{\text{area 1}}=35 000 \text{ J} \quad$start color #11accd, start text, a, r, e, a, space, 1, end text, end color #11accd, equals, 35000, start text, space, J, end text (hisoblang)

Biz uchburchak yuzini $A=\dfrac{1}{2}bh$A, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h formuladan topishimiz mumkin.

$\greenD{\text{2-yuza}}=\dfrac{1}{2}bh \quad$start color #1fab54, start text, 2, negative, y, u, z, a, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h (uchburchakning yuzi)

$\greenD{\text{2-yuza}}=\dfrac{1}{2}b(160 000 \text{Pa}-70 000\text{ Pa}) \quad$start color #1fab54, start text, 2, negative, y, u, z, a, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, left parenthesis, 160000, start text, P, a, end text, minus, 70000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis (uchburchakning balandligi bosimlar farqi $P_f-P_i$P, start subscript, f, end subscript, minus, P, start subscript, i, end subscript ga teng)

$\greenD{\text{2-yuza}}=\dfrac{1}{2} (0{,}75\text{m}^3-0{,}25\text{m}^3)(160 000\text{Pa}-70 000\text{ Pa}) \quad$start color #1fab54, start text, 2, negative, y, u, z, a, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 0, comma, 75, start text, m, end text, cubed, minus, 0, comma, 25, start text, m, end text, cubed, right parenthesis, left parenthesis, 160000, start text, P, a, end text, minus, 70000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis (uchburchakning asosi hajmlar farqi $V_f-V_i$V, start subscript, f, end subscript, minus, V, start subscript, i, end subscript ga teng)

$\greenD{\text{2-yuza}}=22 500 \text{ J} \quad$start color #1fab54, start text, 2, negative, y, u, z, a, end text, end color #1fab54, equals, 22500, start text, space, J, end text (hisoblang)

Toʻliq yuza $35 000 \text{ J} + 22 500 \text{ J}=57 500 \text{ J}$35000, start text, space, J, end text, plus, 22500, start text, space, J, end text, equals, 57500, start text, space, J, end text ga teng

Yuza termodinamik jarayonda bajarilgan umumiy ishning absolyut qiymatini koʻrsatadi. Ishning ishorasini grafik oʻngga yoʻnalgani va gaz kengayganidan bilishimiz mumkin. Gaz hajmi ortganda uning ustida bajarilgan ish manfiy boʻladi. Demak,

$W_\text{gaz ustida}=-57 500 \text{ J}\quad$W, start subscript, start text, g, a, z, space, u, s, t, i, d, a, end text, end subscript, equals, minus, 57500, start text, space, J, end text (nishonlang)