Asosiy kontent

Course: Fizika > Unit 6

Lesson 2: Elastik va noelastik toʻqnashuvlar

Elastik va noelastik toʻqnashuv nima?

Toʻqnashuvlar elastik yoki noelastik boʻlishi mumkin. Elastik va noelastik toʻqnashuv davomida qanday fizik kattaliklar saqlanishi va qandaylari saqlanmasligi haqida bilib oling.

Elastik toʻqnashuv nima?

Jismlar toʻqnashganda hech qanday kinetik energiya yoʻqotilmasa, bunday toʻqnashuv elastik boʻladi. Elastik toʻqnashuvda energiya va impulsning saqlanish qonuni oʻrinli boʻladi.

Tasavvur qiling, ikkita bir xil aravacha bir-biriga tomon teng tezlikda harakatlanmoqda. Ular oʻzaro uriladi, biroq tezlik yoʻqotilmaydi. Bu mutlaq elastik toʻqnashuvga ajoyib misol, chunki hech qanday energiya yoʻqotilmaydi.

Haqiqatda esa elastik toʻqnashuvlar kundalik hayotimizning bir qismi emas. Gaz atomlari orasidagi baʼzi toʻqnashuvlar mutlaq elastik boʻladi. Ammo mexanikadagi ayrim toʻqnashuvlarda energiyaning yoʻqotilishi hisobga olinmaydi. Bu toʻqnashuvlarni ular mutlaq elastik boʻlmasa-da, elastik deyishimiz mumkin. Nyuton mayatniklari va qattiq bilyard sharlari orasidagi toʻqnashuv bunga misol boʻlishi mumkin.

Nega biz toʻqnashuvni deyarli mutlaq elastik deb olyapmiz?

Biz mexanikada duch keladigan masalalarning deyarli hech qaysisi mutlaq elastik toʻqnashuv boʻla olmaydi. Bundan ushbu tushuncha amaliy jihatdan juda kam qoʻllangandek tuyulishi mumkin. Biroq amaliyotda u juda ham foydali. Chunki kinetik energiyaning saqlanish sharti tenglamalarimizga qoʻshimcha cheklov qoʻyadi. Shunda biz tenglamalarni yecha olamiz, aks holda nomaʼlumlar koʻpayib ketardi. Odatda natija yetarlicha aniq boʻladi, bunga sabab toʻqnashuv mutlaq elastikka yetarlicha yaqindir.

Tasavvur qiling, gorizontal tekislikda harakatlanayotgan ikkita A va B aravachalar oʻzaro elastik toʻqnashdi. Biz har ikkala aravachaning oxirgi tezligini (f indeks) topishimiz kerak, lekin bizga faqat ularning boshlangʻich tezligi

v_{A i}

v_{B i}

berilgan. Impulsning saqlanish qonunini qoʻllasak, bizda ikkita nomaʼlumli,

v_{A f}

v_{B f}

, bitta tenglama hosil boʻladi.

m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} = m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{B f}

Shuningdek, kinetik energiyaning ham saqlanishi sababli biz bir vaqtning oʻzida yana bir tenglamaga ega boʻlamiz:

\frac{1}{2} m_{A} v_{A i}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B i}^{2} = \frac{1}{2} m_{A} v_{A f}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B f}^{2}

Biz ikkita nomaʼlumli ikkita tenglamaga ega boʻldik. Bilamizki, biz bu tenglamalar sistemasini yechib tezliklarni topa olamiz.

Bu tenglamalarni yechish biroz zerikarli boʻlgani uchun hozirchalik oxirgi natijani yozib qoʻyamiz:

v_{A f} = (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

v_{B f} = (\frac{2 m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

Impulsning saqlanish qonunidan:

m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} = m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{B f}

va energiyaning saqlanish qonunidan:

\frac{1}{2} m_{A} v_{A i}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B i}^{2} = \frac{1}{2} m_{A} v_{A f}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B f}^{2}

Kinetik energiya tenglamalarini soddalashtirgandan soʻng:

m_{A} (v_{A i}^{2} - v_{A f}^{2}) = m_{B} (v_{B f}^{2} - v_{B i}^{2})

Koʻphadlarni umumlashtirib, buni quyidagicha yozish mumkin:

m_{A} (v_{A i} - v_{A f}) (v_{A i} + v_{A f}) = m_{B} (v_{B f} - v_{B i}) (v_{B f} + v_{B i})

Endi energiyaning saqlanish qonuni tenglamasiga qaytsak, uni ham xuddi shunday yozish mumkin:

m_{A} (v_{A i} - v_{A f}) = m_{B} (v_{B f} - v_{B i})

Agar bir tenglamani ikkinchisiga boʻlib yuborsak, quyidagi natijaga ega boʻlamiz:

v_{A i} + v_{A f} = v_{B f} + v_{B i}

yoki

v_{B f} = v_{A i} + v_{A f} - v_{B i}

Bu natijani impulsning saqlanish qonuni formulasiga keltirib qoʻyamiz. Tenglamadagi barcha

V_{A f}

larni tenglikning oʻng tomoniga olib oʻtamiz:

\begin{aligned} m_{A} v_{A f} & = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} (v_{A i} + v_{A f} - v_{B i}) \\ = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} v_{A i} - m_{B} v_{A f} + m_{B} v_{B i} \\ m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{A f} & = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} v_{A i} + m_{B} v_{B i} \end{aligned}

Tezlikni qavsdan tashqariga chiqarsak:

(m_{A} + m_{B}) v_{A f} = (m_{A} - m_{B}) v_{A i} + 2 m_{B} v_{B i}

v_{A f}

ni topish uchun uni quyidagi koʻrinishda yozish mumkin:

v_{A f} = (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

Bu natijani oldingi nisbatimizga keltirib qoʻyamiz:

\begin{aligned} v_{B f} & = v_{A i} + v_{A f} - v_{B i} \\ = v_{A i} + (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i} - v_{B i} \end{aligned}

Barcha tezliklarni massalar yigʻindisi boʻlgan umumiy maxrajga birlashtiramiz:

v_{B f} = \frac{(m_{A} + m_{B}) + (m_{A} - m_{B})}{m_{A} + m_{B}} v_{A i} + \frac{2 m_{B} - (m_{A} + m_{B})}{m_{A} + m_{B}} v_{B i}

Uni quyidagi yakuniy koʻrinishgacha soddalashtiramiz:

v_{B f} = (\frac{2 m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

Ushbu yechimlarning qiziqarli tomoni shundaki, ular toʻqnashuvning turli xil xususiy hollari uchun cheklangan natijalarni beradi. Bular Nyuton mayatniklarida kuzatiladigan elastik toʻqnashuvlar prinsipini tushunish imkonini beradi.

A jism xuddi shunday massali tinch turgan B jism bilan toʻqnashdi:

v_{A f} = 0

v_{B f} = v_{A i}

A jism toʻqnashuvdan soʻng toʻxtab qoladi, B jism esa xuddi shu tezlik bilan harakatni davom ettiradi.

Nyuton mayatniklarida kuzatiladigan toʻqnashuv xuddi shunga misol boʻladi. Yaʼni bir sharcha sistemaning biror tarafida tinch turganda, ikkinchi tarafda boshqa sharcha harakatda boʻladi. Nazariy jihatdan, har ikkala sharcha dastlabki tezlikning yarmiga teng tezlik olsa ham impuls saqlanadi. Biroq toʻqnashuv (deyarli mutlaq) elastik. Demak, impulsning saqlanish qonuni va kinetik energiyaning saqlanishi bir paytda oʻrinli boʻlishi uchun faqat bitta sharcha harakatlanishi kerak.

A jism xuddi shunday massali va tezlikli, biroq qarama-qarshi yoʻnalgan B jism bilan toʻqnashdi.
$v_{A f} = v_{B i}$ ‍, $v_{B f} = v_{A i}$ ‍

Ikkala jism tezliklari almashib, bir-birini itarib yuboradi. Qizigʻi, ushbu holat impulslari teng boʻlgan jismlar toʻqnashganda ham kuzatiladi, yaʼni jismlar impulslarini almashadi. Bu natija murakkab masalalarni yechishda juda qoʻl keladi. Massa markazi haqidagi maqolamizda elastik toʻqnashuvga doir misolni yechishni osonlashtirish uchun ushbu faktdan foydalanilgan.

Katta massali jism ancha yengil, tinch turgan jism bilan toʻqnashdi.
Ogʻir yukning oxirgi tezligi uning boshlangʻich tezligiga yaqin boʻladi. Oʻzingizga maʼlumki, yengil jismning ogʻir jismga taʼsiri sezilmas boʻladi.

Kichik massali jism tinch turgan ogʻir jism bilan toʻqnashdi.
Yengil jism urilib, xuddi shunday tezlik bilan qaytadi. Ogʻir jism esa qoʻzgʻalmasdan qolaveradi.

1a-mashq: badminton oʻyinchisi toʻpni oʻyinga kiritmoqda. Toʻpni oʻyinga kiritish paytida raketkaning tezligi

v_{r} = 20 m / s

ekani kamera yordamida aniqlandi. Toʻqnashuvdan soʻng toʻpning tezligi nimaga teng?

1b-mashq: agar raketkaning massasi

m_{r} = 100 gramm

va badminton toʻpining tezligi

m_{s} = 5 gramm

boʻlsa, toʻqnashuvdan keyingi toʻpning tezligi

v_{s}

ni toping.

Noelastik toʻqnashuv nima?

Agar toʻqnashuvda kinetik energiya yoʻqotilsa, bunday toʻqnashuv noelastik deb ataladi. Noelastik toʻqnashuvda impuls saqlanadi, kinetik energiya esa yoʻq. Chunki kinetik energiya boshqa narsalarga sarf boʻladi. Issiqlik energiyasi, tovush energiyasi va jism deformatsiyasi bunga misol boʻlishi mumkin.

Tasavvur qiling, ikkita aravacha bir-biriga tomon harakatlanmoqda. Ular oʻzaro toʻqnashadi va ularga biriktirilgan magnitlangan jismlar sababli oʻzaro yopishib qolib, bitta massa kabi harakatlanadi. Bu kabi toʻqnashuv mutlaq noelastik, chunki unda maksimal kinetik energiya yoʻqotiladi. Bunda oxirgi kinetik energiya nol boʻlishi shart emas; impulsning saqlanish qonuni ushbu holda ham oʻrinli boʻladi.

Hayotdagi toʻqnashuvlar mutlaq elastik va mutlaq noelastik orasida boʻladi.

h

balandlikdan erkin tashlangan koptok yerga urilib, oʻzining qattiqligiga bogʻliq holda qandaydir

h

dan kichik balandlikka qaytib koʻtariladi. Bunday toʻqnashuvlar odatda noelastik deyiladi.

Mutlaq noelastik toʻqnashuvga misollar mavjudmi?

Ballistik mayatnik noelastik toʻqnashuv sodir boʻladigan qurilmaga misol boʻla oladi. Zamonaviy texnologiyalar yaratilishidan oldin ballistik mayatnik gorizontal otilgan jismlarning tezligini oʻlchashda qoʻllangan.

Ushbu qurilmada jism osmaga qoʻyilgan ogʻir yogʻoch yuk ichiga qaratib otiladi. Toʻqnashuv natijasida oʻq yukning ichiga kirib qoladi. Kinetik energiyaning bir qismi muhitga issiqlik, tovush sifatida uzatilib, yogʻochni deformatsiyalaydi. Shunga qaramay, impulsning saqlanish qonuni oʻrinli boʻladi. Keyin yogʻoch biror tezlik olib, mayatnik kabi harakatlanadi. Bunday harakatda toʻla mexanik energiya saqlanadi. Bundan yogʻochning koʻtarilish balandligini bilgan holda yukning kinetik energiyasini topishimiz mumkin. Keyinchalik impulsning saqlanish qonunidan gorizontal otilgan jismning boshlangʻich tezligini hisoblaymiz.

Bizga faqat impulsning saqlanish qonuni oʻrinli ekani maʼlum, shuning uchun gorizontal otilgan jism va yuk sistemasining toʻqnashuvdan oldingi va keyingi impulslari teng boʻlishi shart. Bu yerda biz jism uchun

P

va yuk uchun

B

indeksidan foydalanamiz.

v_{B}

yukning jism bilan noelastik toʻqnashuvidan keyin olgan tezligi.

m_{P} v_{P} = (m_{B} + m_{P}) v_{B}

tezlikni topsak:

v_{B} = \frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}}

Toʻqnashuvdan soʻng jism-yuk sistemasining toʻla energiyasi saqlanadi. Agar yuk erkin tushish tezlanishi

g

boʻlgan muhitda maksimal

h

balandlikka koʻtarilsa:

\frac{1}{2} (m_{P} + m_{B}) v_{B}^{2} = (m_{P} + m_{B}) g h

tezlikni topsak:

v_{B}^{2} = 2 g h

Boshlangʻich tezlik formulasiga impulsning saqlanish qonunidan kelib chiqqan tezlikni keltirib qoʻysak:

\frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}} = \sqrt{2 g h}

bundan tezlikni topsak:

v_{P} = \frac{m_{P} + m_{B}}{m_{P}} \sqrt{2 g h}

2a-mashq: aytaylik, 10 grammlik oʻq 1 kg vaznli ballistik mayatnik apparati tarkibiga kiradigan yukka qarata otildi. Agar yuk 0,3 m balandlikka koʻtarilsa, oʻqning boshlangʻich tezligi qanday?

2b-mashq: tasavvur qiling, oldingi mashqda oʻq massa ikki barobar kichik va boshlangʻich tezligi ikki baravar katta boʻlgan oʻq bilan almashtirildi. Xuddi shu apparatlar bilan bu tajribani oʻtkazish xavfsizmi? Siz xuddi shunday natijani kutarmidingiz?

Oʻqlarning impulslari bir xil boʻlgani sababli biz yana xuddi shunday ogʻishni kutishimiz kerak. Oldingi ifodadan

h

ni topamiz,

h = \frac{1}{2 g} {(\frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}})}^{2}

bu shuni koʻrsatadiki, yukning massasi oʻqning massasidan ancha katta boʻlganda bu toʻgʻri. Ammo biz yuk qabul qilishi kerak boʻlgan kinetik energiya ikki barobar katta boʻlishini inobatga olishimiz lozim. Bu esa xuddi shu yukdan foydalanish har doim ham xavfsiz emasligini va u kutilmagan paytda yorilib ketishi mumkinligini bildiradi.

Tiklanuvchanlik koeffitsiyenti nima?

Tiklanuvchanlik koeffitsiyenti 0 va 1 orasidagi son boʻlib, u oʻzaro taʼsir qanchalik mutlaq elastik (0) yoki mutlaq noelastik (1) ekanini bildiradi.

Biror moʻljalga urilib qaytayotgan jism uchun tiklanuvchanlik koeffitsiyenti boshlangʻich

v_{f}

va oxirgi tezlik

v_{i}

lar nisbatiga teng. Yaʼni:

C_{R} = \frac{v_{f}}{v_{i}}

Odatiy sport toʻplari uchun tiklanuvchanlik koeffitsiyenti 0,35 dan (yogʻoch sirtga urilayotgan kriket toʻpi uchun) 0,9 (temirga [1] urilayotgan golf toʻpi uchun) gacha boʻladi. Bilyard toʻplarining tiklanuvchanlik koeffitsiyenti 0,98 gacha boʻlishi mumkin[2].

Qaysi biri koʻp ziyon keltiradi – mutlaq elastikka yaqin boʻlgan toʻqnashuvmi yoki noelastik?

Bu siz nimaning ziyon koʻrishiga – mashinami yoki yoʻlovchi – qiziqishingiz bilan bogʻliq!

Aytaylik, transport vositasi boshqa jism bilan elastik toʻqnashdi. Avtotransport majburiy ravishda qaytadi. Avtotransportning qaytishi natijasida impuls oʻzgarishi bunga ekvivalent noelastik toʻqnashuvdan kattaroqdir. Shu sababli yoʻlovchiga nisbatan katta kuch taʼsir qiladi va bu odam uchun yanada yomonroq. Boshqa tomondan, elastik toʻqnashuv boʻlgani bois transport vositasini deformatsiyalashga energiya sarflanmaydi. Natijada transport vositasining tuzilishiga yetkazilgan zarar minimal boʻladi.

Zamonaviy avtomobillar noelastik va elastik toʻqnashuvlarga moslashtirib loyihalashtirilgan. Avtotransport korpusi toʻqnashuvda energiya toʻplashga moʻljallangan boʻlib, bu transport vositasining korpusiga oʻrnatilgan egilish zonalari deformatsiyasi orqali amalga oshiriladi. Biroq ichki salon yoʻlovchilarga yetkaziladigan zararni minimallashtiradigan darajada mustahkam boʻlishi kerak.

Mavzuga oid manbalar

[1] A. Haron va K. A. Ismail 2012 Sport toʻplarining tiklanuvchanlik koeffitsiyenti: erkin tashlash testi “IOP Conference Series: Materials Science and Engineering” vol. 36 #1 dan olindi.

[2] Mathavan, S., Jackson, M.R. va Parkin, R.M, 2010. Bilyard sharlari dinamikasining tahlili. “Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science”, 224 (9), pp. 1863–1873 dan olindi.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.