Massa markazi – bu jism yoki jismlar sistemasiga nisbatan aniqlangan nuqta. Massa markazi – jismlar sistemasining barcha qismlari massalari toʻplangandek tuyuladigan xayoliy nuqta.

Sodda bir jinsli (faqat bitta moddadan tashkil topgan) geometrik shakllarning massa markazi ularning geometrik markazi bilan ustma-ust tushadi. Masalan, bir jinsli diskning massa markazi uni tashkil qilgan doiraning markazida. Ayrim paytlarda jismning massa markazi unga tegishli boʻlmaydi. Misol uchun, halqaning massa markazi uning oʻrtasida va bu nuqtada hech qanday material yoʻq.

Murakkab shakllarning massa markazini topish uchun biz massa markazining umumiy matematik taʼrifidan foydalanamiz: bu shunday yagona nuqtaki, sistema barcha qismlarining unga nisbatan radius vektorlari oʻrta vaznli qiymati nolga teng. ]

Jism yoki jismlar sistemasining massa markazi haqidagi qiziq narsalardan biri shuki, barcha kuchlarning taʼsiri shu nuqtada namoyon boʻladi. Bu nostandart shakldagi jismlar yoki jismlar sistemasining harakatiga doir boʻlgan mexanika masalalarini yechishda juda qoʻl keladi.

Hisob-kitoblarni osonlashtirish uchun biz murakkab shakllarni ularning massa markazida joylashgan, massasi jism massasiga teng kichik shakl deb qarashimiz mumkin. Bu xayoliy jism baʼzan massa nuqtasi deyiladi.

Agar biz qattiq jismga davomi uning massa markazida yotadigan kuch bilan taʼsir qilsak, u jism doimo massa nuqtasi kabi harakat qiladi. Haqiqiy shaklidan qatʼi nazar, u hech qanday oʻq atrofida aylanmaydi. Agar jismning boshqa nuqtasiga muvozanatlashmagan kuch taʼsir qilsa, u massa markazi atrofida aylana boshlaydi.

Umumiy holda massa markazi sistemadagi nuqtalarning radius vektorlarining vanzli yigʻindisi bilan topiladi. Vektorlarni qoʻshishning oldini olish maqsadida biz har bir oʻq uchun massa markazining komponentini alohida topamiz. Yaʼni:

X oʻqi uchun:

Xuddi shunday y oʻqi uchun:

Birgalikda ular sistema massa markazining toʻliq koordinatalari $({\mathrm{massa}\mathrm{markazi}}_x,{\mathrm{massa}\mathrm{markazi}}_y)$‍ ni beradi. Masalan, 2-rasmda koʻrsatilgan bir jinsli uchta tekis jismlar sistemasini koʻrib chiqaylik.

Massa markazining $x$‍ oʻqidagi koordinatasi:

va $y$‍ oʻqidagi koordinatasi:

Murakkab shakldagi jismlarga koʻpincha har biri aniq massaga ega oddiy shakllarning yigʻindisi sifatida qarash mumkin. Keyin har bir tarkibiy qismni massa markazi oʻrtasida boʻlgan massa nuqtasi deb olamiz. Jismlar ichidagi boʻshliqlarni manfiy massaga ega deb ham hisoblash mumkin.

Quyidagi 3a-rasmda keltirilgan bir jinsli nostandart jismni koʻrib chiqing.

Biz ushbu jismni 3b-rasmda koʻrsatilgandek toʻrtta toʻrtburchak va bitta aylanaga ajratishimiz mumkin. Bu yerda bizga faqat massa markazining oʻrni nisbiy birliklarda berilgan. Jism bir jinsli zichlikka ega, shuning uchun massani yuzaga proporsional deyish mumkin. Tushunarli boʻlishi uchun har bir qismning massasini chizmada koʻrsatilgandek “kvadrat” birliklarida ifodalashimiz mumkin.

Massa markazining $x$‍ oʻqidagi koordinatasi:

Boʻsh doiraning yuzi, $\pi \cdot 1,5^2\simeq 7,1$‍, manfiy massa deb hisoblanadi.

va $y$‍ oʻqidagi koordinatasi:

Gravitatsiya markazi – bu jism yoki jismlar sistemasidagi gravitatsiya kuchi taʼsir qiladigan nuqta. Koʻplab mexanika masalalarida gravitatsiya maydoni bir jinsli deb olinadi. Gravitatsiya markazi jismning massa markazi bilan aynan bir nuqtada boʻladi. Shu sababli gravitatsiya markazi va massa markazi terminlari almashinib qoʻllanishi mumkin.

Qattiq fizik jismlarning massa markazini aniqlashga doir bir nechta foydali tajribalar bor.

Eng kamida bitta tekis tomoni boʻlgan kichik qattiq jismlarning massa markazini topish uchun burchak usulidan (4-rasm) foydalanish mumkin. Jism stol yuzasi boʻylab burchakka qarab aylanmasdan asta-sekin suriladi. Jism yiqilib tushadigan joyda stol chetiga parallel ravishda chiziq chiziladi. Jarayon jismni 90° burish bilan takrorlanadi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasi stol tekisligida massa markazining joylashishini beradi.

Osmaga osish usuli (5-rasm) ham nuqta atrofida erkin aylanishi mumkin boʻlgan jismlar uchun oʻrinli. Osmaga osilgan nostandart shakldagi karton boʻlagi bunga yaxshi misoldir. Karton tortishish kuchi taʼsirida mix atrofida erkin aylanadi va barqaror holatga keladi. Keyin mix osilgan nuqtadan tik pastga chiziq oʻtkaziladi. Osilish nuqtasi boshqa joyga koʻchiriladi va jarayon takrorlanadi. Shunda massa markazi ikki chiziqning kesishish nuqtasi ostida yotadi.

Massa markazini topish yordamida jism yiqilishni boshlaydigan minimal burchakni topish mumkin.

6a-rasmda yuk mashinasining koʻndalang kesimi koʻrsatilgan. Yuk mashinasining chap tarafi ogʻir yuklar bilan toʻldirilgan. Qizil nuqta – sistemaning massa markazi. Qizil chiziq massa markazidan ogʻirlik kuchi yoʻnalishida tushirilgan. Gravitatsiya butun sistemaga shu chiziq yoʻnalishida taʼsir qiladi.

Agar yuk mashinasi (6b-rasmda koʻrsatilgandek) ${\theta }_{\mathrm{t}}$‍ burchak ostida harakatlansa, unda barcha ogʻirlik chap gʻildirakning chap chekkasiga tushadi. Agar burchak yanada orttirilsa, ogʻirlik kuchining taʼsiri yuk avtomobilining tayanch yuzasidan chetga chiqadi va mashina agʻdariladi. ${\theta }_{\mathrm{t}}$‍ burchak ogʻish chegarasi deyiladi.

1-mashq: 7-rasmda koʻrsatilgan bir jinsli jismning oʻngga ogʻish chegarasini toping.

Fizikada sanoq sistemasi atamasi ishlatilsa, u hisoblashlarda koordinata tizimi ishlatilishiga ishora qiladi. Sanoq sistemasi oʻqlar toʻplami va sanoq boshiga (nol nuqta) ega. Koʻpgina masalalarda laboratoriya uchun mos sanoq sistemasi tanlanadi va qulay (lekin ixtiyoriy) sanoq boshi belgilanadi. Bu laboratoriya sanoq sistemasi deyiladi. Biroq klassik fizikada boshqa sanoq sistemasidan foydalanish va fizika qonunlari uning ichida oʻrinli boʻlishini kutish mumkin. Bunga laboratoriyaga nisbatan harakatlanuvchi sanoq sistemalari ham kiradi.

Massa markazining juda foydali xususiyatlaridan biri shundaki, u sanoq sistemasining harakatini aniqlashda qoʻllanishi mumkin. Ushbu sanoq sistemalariga baʼzan COM sistemalar deyiladi. COM sistemalar asosan toʻqnashishga oid masalalarda ishlatiladi. Maʼlum boʻlishicha, COM sistemalarning toʻla impulsi har doim nolga teng. Bu shuni anglatadiki, laboratoriya sanoq sistemasi bilan taqqoslaganda COM sistemasida bajarilganda hisob-kitoblar ancha sodda boʻlishi mumkin. Oddiy misolni koʻrib chiqaylik:

Ikkita aravacha bir yoʻnalish boʻylab 9-rasmda koʻrsatilgandek harakatlanmoqda. Chap aravacha tezroq harakatlangani sababli aravachalarning toʻqnashuvi muqarrar. Toʻqnashuv elastik deb tasavvur qilaylik. Toʻqnashuvdan keyin aravachalarning tezliklari qanday?