Asosiy kontent

Course: Trigonometriya > Unit 1

Lesson 3: Toʻgʻri burchakli uchburchakda trigonometrik nisbatlardan foydalanib burchaklarni aniqlash

Teskari trigonometrik funksiyalar: kirish

Arksinus, arkkosinus va arktangenslarni bilib oling va toʻgʻri burchakli uchburchaklarda berilmagan tomonni aniqlash uchun ulardan qanday foydalanish kerakligini oʻrganing.

Keling, yangi turdagi trigonometrik masalani koʻrib chiqaylik. Qizigʻi shundaki, bu masalalar sinus, kosinus yoki tangens yordamida yechilmaydi.

Masala: quyidagi uchburchakda

L

burchak qanchaga teng?

Biz biladigan narsa:

∠ L

ga nisbatan qarama-qarshi va yopishgan katetlar uzunliklaridir. Buni quyidagicha yozishimiz mumkin:

\tan (L) = \frac{qarama-qarshi katet}{yopishgan katet} = \frac{35}{65}

Ammo bu

∠ L

burchak oʻlchovini aniqlashda yordam bermaydi. Biz toʻxtab qoldik!

Bizga keraklisi: bunday masalalarni ishlash uchun yangi matematik mexanizm zarur. Bizning doʻstlarimiz – sinus, kosinus va tangens – bu vazifani bajara olmaydi. Ular burchaklarni oladi va tomon nisbatlarini aniqlaydi, ammo bizga tomon nisbatlarini olib, burchaklarni aniqlaydigan funksiyalar kerak. Buning uchun bizga teskari trigonometrik funksiyalar zarur!

Teskari trigonometrik funksiyalar

Teskari amallar haqida biz allaqachon maʼlumotlarga ega boʻldik. Masalan, qoʻshish va ayirish, koʻpaytirish va boʻlish bir-biriga teskari amallardir. Bu amallar bir-biriga qarama-qarshi.

Trigonometriyada ham asos aynan shunday. Yaʼni teskari trigonometrik funksiyalar “oddiy” trigonometrik funksiyalarning qarama-qarshisi hisoblanadi. Masalan:

Teskari sinus $(\sin^{- 1})$ ‍ sinusning qarama-qarshisini bildiradi.
Teskari kosinus $(\cos^{- 1})$ ‍ kosinusning qarama-qarshisini bildiradi.
Teskari tangens $(\tan^{- 1})$ ‍ tangensning qarama-qarshisini bildiradi.

Umuman olganda, sizga trigonometrik nisbat maʼlum, burchak esa nomaʼlum boʻlsa, muvofiq keluvchi trigonometrik funksiyadan foydalanib burchakni aniqlashingiz mumkin. Quyida bu matematik jihatdan ifodalangan:

Trigonometrik funksiyalarning berilgan burchaklari va maʼlum tomon nisbatlari		Teskari trigonometrik funksiyalarning berilgan tomon nisbatlari va maʼlum burchaklari
$\sin (θ) = \frac{qarama-qarshi katet}{gipotenuza}$ ‍	$\to$ ‍	$\sin^{- 1} (\frac{qarama-qarshi katet}{gipotenuza}) = θ$ ‍
$\cos (θ) = \frac{yopishgan katet}{gipotenuza}$ ‍	$\to$ ‍	$\cos^{- 1} (\frac{yopishgan katet}{gipotenuza}) = θ$ ‍
$\tan (θ) = \frac{qarama-qarshi katet}{yopishgan katet}$ ‍	$\to$ ‍	$\tan^{- 1} (\frac{qarama-qarshi katet}{yopishgan katet}) = θ$ ‍

Notoʻgʻri tushuncha haqida ogohlantirish!

\sin^{- 1} (x)

ifodasi

\frac{1}{\sin (x)}

ifodasi bilan bir xil emas. Boshqacha aytadigan boʻlsak,

- 1

eksponent emas. Aksincha, bu oddiy teskari funksiyadir.

Agar son yoki oʻzgaruvchi

- 1

darajaga koʻtarilsa, demak, bu teskari oʻlchov yoki ikki tomonlama boʻladi. Masalan,

3^{- 1} = \frac{1}{3}

. Umuman olganda, agar

a

nolga teng boʻlmagan haqiqiy son boʻlsa, demak,

a^{- 1} = \frac{1}{a}

boʻladi.

Shunga qaramay, bu qoida

\sin^{- 1} (x)

uchun toʻgʻri kelmaydi. Negaki sinus funksiyadir, miqdor emas!

Odatda funksiya nomidan soʻng

- 1

belgisini koʻrsangiz, bilingki, bu teskari funksiyadir. Masalan,

f

funksiya boʻlsa,

f^{- 1}

teskari funksiyadir.

f^{- 1} (x)

ifodasi

x

funksiyaning teskari funksiyasi hisoblanadi.

Shunga qaramay, bu tushunmovchilikning oldini oluvchi boshqa ifodalar mavjud. Teskari sinus, shuningdek,

\arcsin

, teskari kosinus

\arccos

va teskari tangens

\arctan

deb ifodalanishi ham mumkin. Bu tushunchalar matematikadan koʻra kompyuter dasturlash tilida koʻproq ishlatiladi.

Dastlabki masalani ishlash

Dastlabki masalada qarama-qarshi va yopishgan katet uzunliklari berilgan. Biz burchakni topish uchun teskari tangensdan foydalanishimiz mumkin.

\begin{aligned} m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{qarama-qarshi katet}{yopishgan katet}) Toping. \\ m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{35}{65}) Qiymatlarni oʻrniga qoʻying. \\ m ∠ L & \approx {28.30}^{\circ} Kalkulyator yordamida hisoblang. \end{aligned}

Keling, bir nechta amaliy masalalarni koʻrib chiqaylik.

1-masala

$△ K I P$ ‍ berilgan, siz $m ∠ I$ ‍ burchakni toping.
Javobingizni yuzdan birlar xonasigacha yaxlitlang.

^{\circ}

2-masala

$△ D E F$ ‍ berilgan, siz $m ∠ E$ ‍ burchakni toping.
Javobingizni yuzdan birlar xonasigacha yaxlitlang.

^{\circ}

3-misol

$△ K I P$ ‍ berilgan, siz $m ∠ I$ ‍ burchakni toping.
Javobingizni yuzdan birlar xonasigacha yaxlitlang.

^{\circ}

Murakkab masala

Uchburchakni butunligicha aniqlang. Barcha nomaʼlum tomonlar va nomaʼlum burchaklarni toping.
Javobingizni yuzdan birlar xonasigacha yaxlitlang.

O E =

m ∠ O =

^{\circ}

m ∠ Z =

^{\circ}

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Muhammmadqodir Sharipov
Posted Bir necha 4 yil oldin. Direct link to Muhammmadqodir Sharipov's post “Sinus 35/65 ni -1 35/65 b...”
Sinus 35/65 ni -1 35/65 buqanday yechiladi?
Button navigates to signup pageButton navigates to signup page
(1 ta ovoz)
Javob
zohidamiraliyeva05
Posted Bir necha bir yil oldin. Direct link to zohidamiraliyeva05's post “Kosinus bilan sinusning n...”
Kosinus bilan sinusning nisbati gipotenuzaga tengmi
Button navigates to signup pageButton navigates to signup page
(1 ta ovoz)
Javob
- darling
  Posted Bir necha bir yil oldin. Direct link to darling's post “yo'q. cos/sin=ctg ga ya'n...”
  yo'q. cos/sin=ctg ga ya'ni kotangensga teng.
  Button navigates to signup page
  (1 ta ovoz)

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.