Koʻchishlar misolida matritsalar

Agar biz matritsani fazodagi almashtirish deb olsak, bu matritsa amallarini chuqurroq tushunishga olib keladi. Ushbu nuqtayi nazar matritsani koʻpaytirish kabi amallarni aniqlashni tushunishga yordam beradi va chiroyli rasmlarni chizish uchun yaxshi bahona boʻladi. Ushbu material chiziqli algebraga (odatda oliy taʼlimda oʻrganiladi) tegishlidir.

“Almashtirish” gʻoyasi dastlabki holatdan koʻra ancha murakkabdek koʻrinishi mumkin. Shunday qilib, $2\times 2$‍ lik matritsalar qanday qilib ikki oʻchamli maydonga oʻzgarishi yoki $3\times 3$‍ lik matritsalar qanday qilib $3$‍ oʻlchamli fazoda oʻzgarishi haqida oʻrganishdan oldin qanday qilib tekislikdagi eski sonlar ($1\times 1$‍ matritsalar) $1$‍ oʻlchamli fazoning almashtirilishi deb qaralishiga nazar tashlaylik.

"Bir oʻlchamli fazo" haqiqiy sonlar oʻqidir.

Son oʻqidagi har bir sonni maʼlum bir qiymatga, masalan, $2$‍ ga koʻpaytirsangiz nima sodir boʻladi? Buni koʻrishning usullaridan biri quyidagicha:

Biz havola uchun dastlabki chiziqning nusxasini saqlaymiz, soʻngra chiziqdagi har bir sonni $2$‍ marta suramiz.

Shunga oʻxshab, ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ ga koʻpaytirish quyidagicha koʻrinishi mumkin:

Shunday qilib, manfiy sonlarni eʼtiborsiz qoldirish ularga taʼsir qilmaydi. Mana $-3$‍ ga koʻpaytirilgan holat:

Ajoyib terminologiyani yoqtiradiganlar uchun bu jonli harakatlarni “$1$‍ oʻlchamli fazoning chiziqli almashtirishlari” sifatida aks ettirish mumkin. “Almashtirish” deb atalayotgan soʻz “funksiya” soʻzi kabi bir xil maʼnoni anglatadi: sonni olib $f(x)=2x$‍ kabi sonni chiqaradigan narsa. Shunga qaramasdan, biz funksiyalarni ularning grafik bilan oddiy holatda koʻra olsak, insonlar “almashtirish” soʻzini koʻchayotgan, kengayayotgan va siqilayotgan obyektlarni tasavvur qilish uchun ishlatadilar. Shunday qilib, $f(x)=2x$‍ funksiyaning oʻzgartirish sifatida koʻrinishi bizga yuqoridagi videoda keltirilgan “$2$‍ ga koʻpaytirish"ni beradi. U chiziqdagi $1$‍ nuqtani $2$‍ boshlangan joyga koʻchiradi, $2$‍-nuqtani $4$‍ boshlangan joyga koʻchiradi va hokazo.

Biz $2$‍-oʻlchamli fazoga oʻtishimizdan oldin yodimizda saqlashimiz lozim boʻlgan oddiy, lekin muhim fakt mavjud. Siz bu oʻzgartirishlardan birini biror songa koʻpaytirishdan foydalanishni bilgan holda, lekin u qaysi sonligini bilmasdan turib tomosha qilayotganingizni xayolingizga keltiring, mana bunga oʻxshab:

Siz chiziqdagi qaysi son $1\text{ ta keyingisiga}$‍ koʻpaytirilayotganini osongina topa olasiz. Ushbu holatda $1$‍ son $-3$‍ boshlangan joyda yotadi. Shunday qilib, siz animatsiya $-3$‍ ga koʻpaytirishni ifodalashini aytishingiz mumkin.

$2$‍-oʻlchamli fazoda chiziqli almashtirishlar $2$‍-oʻlchamli $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ vektorni olib, boshqa bir $2$‍-oʻlchamli vektorni keltirib chiqaradigan maxsus turdagi funksiya hisoblanadi. Avvalgidek bizning "almashtirish" soʻzini ishlatishimiz biz ushbu holatda $2$‍-oʻlchamli fazoda boʻlgan qandaydir siqish haqida oʻylashimiz kerakligini koʻrsatadi. Quyida ayrim namunalar keltirilgan:

Bizning ishlarimiz boʻyicha chiziqli almashtirish natijasida: Dastlabki holat oʻzgarishsiz qolishi kerak va barcha toʻgʻri chiziqlar toʻgʻri chiziqligicha qolishi kerak. Shunday qilib, yuqoridagi animatsiyadagi barcha almashtirishlar chiziqli almashtirishlarning namunalaridir, lekin quyidagilar emas:

Tasavvur qiling, siz mana bunga oʻxshash maʼlum bir almashtirishni tomosha qilyapsiz.

Siz ushbu animatsiyani tomosha qilmayotgan doʻstingizga uni qanday qilib tasvirlab berar edingiz? Siz buni yagona son orqali tasvirlab bera olmaysiz, yaʼni biz bir oʻlchamli holatda $1$‍ sonini faqatgina kuzata olamiz. Barcha narsani yodda saqlab qolish uchun, keling, $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ vektorga yashil yoy, $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ vektorga esa qizil yoy qoʻyamiz va orqa fonga katakli qogʻozlarning nusxasini oʻrnatamiz.

Endi narsalarning qayerda joylashganini koʻrish ancha osonroq. Masalan, animatsiyani yana bir bor tomosha qiling va $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$‍ ga eʼtibor qarating. Biz uni $\left[\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right]$‍ vektorda joylashganini koʻrishni osongina kuzatishimiz mumkin.

Biz bu faktni quyidagi ifodada aks ettirishimiz mumkin:

$\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$‍ kabi $2$‍ karra yashil yoydan boshlanib, almashtirishdan keyin $2$‍ karra yashil yoy boʻlib davom etadigan vektorga eʼtibor qarating. Yashil yoy $\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$‍ da joylashgani tufayli biz quyidagicha xulosa qilishimiz mumkin:

$\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\to 2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right]$‍.

Va umumiy qilib aytganda

Shunga oʻxshab, butun $y$‍ oʻqining masofasi bu oʻzgartirish uchun $\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$‍ boʻlgan $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ qizil yoy yotgan joy orqali aniqlanadi.

Aslini olganda, $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ va $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍larning qayerda joylashganini bilganimizda biz tekislikdagi har bir nuqta qayerga borishi kerakligi haqida xulosa qila olamiz. Masalan, animatsiyamizda $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$‍ nuqtani kuzatamiz:

U $-1$‍ koʻpaytirilgan yashil yoy qoʻshilgan $2$‍ karra qizil yoy bilan boshlanadi, lekin u oʻzgartirishdan keyingi holatni anglatuvchi $-1$‍ karra yashil yoy qoʻshilgan $2$‍ karra qizil yoy bilan tugaydi.

Almashtirishda oldingi va keyingi koordinatalarining har ikkalasiga asoslangan holda vektorni qismlarga ajratish qobiliyati chiziqli almashtirish uchun maxsus hisoblanadi.

Umuman olganda, har bir $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ vektor quyidagicha yozilishi mumkin:

Agar $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ yashil yoy biror $\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$‍ vektorda, $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ qizil yoy biror $\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$‍ vektorda joylashgan boʻlsa, u holda n$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ vektor quyidagida joylashishi kerak.

Bularning barchasini tasvirlashning juda yaxshi usuli berilgan chiziqli almashtirishni matritsa bilan aks ettirishdir.

Bu yerda birinchi ustun bizga $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ ning qayerda joylashganini, ikkinchi ustun $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ ning qayerda joylashganini koʻrsatadi. Endi biz istalgan $\mathbf{\text{v}}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ vektorning matritsa-vektor koʻpaytmasi singari qayerda juda zich joylashganini tasvirlay olamiz.

Aslini olganda, bu matritsa-vektor koʻpaytmasi kelib chiqadigan joyning taʼrifidir.

Shunday qilib, $1$‍-oʻlchamli chiziqli almashtirishlarni biror songa koʻpaytirish kabi, aniqrogʻi qaysi son yuqorida joylashgan boʻlsa, shu yoʻlda tasvirlash mumkin. $2$‍-oʻlchamli chiziqli almashtirishlarni har doim $2\times 2$‍ lik matritsa orqali, yaʼni uning birinchi ustuni $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ ning qayerda va ikkinchi ustuni $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ ning qayerda joylashganini koʻrsatish orqali tasvirlash mumkin.