Asosiy kontent
Matematik analiz asoslari
Course: Matematik analiz asoslari > Unit 4
Lesson 9: Koʻchishlar misolida matritsalar- Vektorlarni matritsalar yordamida koʻchirish
- Vektorlarni matritsalar taʼsirida koʻchiring.
- Koʻpburchaklarni matritsalar taʼsirida koʻchirish
- Koʻpburchaklarni matritsalar taʼsirida koʻchiring.
- Koʻchishlar misolida matritsalar
- Almashtirishning vizual tasviridan olingan matritsa
- Matritsa taʼsiridagi koʻchish tasviri
- Koʻchishlar misolida matritsalar
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice
Koʻchishlar misolida matritsalar
2x2 oʻlchamli matritsalar aynan qanday qilib tekislik koʻchishida ishtirok etishini bilib oling.
Kirish
Agar biz matritsani fazodagi almashtirish deb olsak, bu matritsa amallarini chuqurroq tushunishga olib keladi. Ushbu nuqtayi nazar matritsani koʻpaytirish kabi amallarni aniqlashni tushunishga yordam beradi va chiroyli rasmlarni chizish uchun
yaxshi bahona boʻladi. Ushbu material chiziqli algebraga (odatda oliy taʼlimda oʻrganiladi) tegishlidir.
Koʻpaytirish almashtirish sifatida
“Almashtirish” gʻoyasi dastlabki holatdan koʻra ancha murakkabdek koʻrinishi mumkin. Shunday qilib, lik matritsalar qanday qilib ikki oʻchamli maydonga oʻzgarishi yoki lik matritsalar qanday qilib oʻlchamli fazoda oʻzgarishi haqida oʻrganishdan oldin qanday qilib tekislikdagi eski sonlar ( matritsalar) oʻlchamli fazoning almashtirilishi deb qaralishiga nazar tashlaylik.
"Bir oʻlchamli fazo" haqiqiy sonlar oʻqidir.
Son oʻqidagi har bir sonni maʼlum bir qiymatga, masalan, ga koʻpaytirsangiz nima sodir boʻladi? Buni koʻrishning usullaridan biri quyidagicha:
Biz havola uchun dastlabki chiziqning nusxasini saqlaymiz, soʻngra chiziqdagi har bir sonni marta suramiz.
Shunga oʻxshab, ga koʻpaytirish quyidagicha koʻrinishi mumkin:
Shunday qilib, manfiy sonlarni eʼtiborsiz qoldirish ularga taʼsir qilmaydi. Mana ga koʻpaytirilgan holat:
Ajoyib terminologiyani yoqtiradiganlar uchun bu jonli harakatlarni “ oʻlchamli fazoning chiziqli almashtirishlari” sifatida aks ettirish mumkin. “Almashtirish” deb atalayotgan soʻz “funksiya” soʻzi kabi bir xil maʼnoni anglatadi: sonni olib kabi sonni chiqaradigan narsa. Shunga qaramasdan, biz funksiyalarni ularning grafik bilan oddiy holatda koʻra olsak, insonlar “almashtirish” soʻzini koʻchayotgan, kengayayotgan va siqilayotgan obyektlarni tasavvur qilish uchun ishlatadilar. Shunday qilib, funksiyaning oʻzgartirish sifatida koʻrinishi bizga yuqoridagi videoda keltirilgan “ ga koʻpaytirish"ni beradi. U chiziqdagi nuqtani boshlangan joyga koʻchiradi, -nuqtani boshlangan joyga koʻchiradi va hokazo.
Biz -oʻlchamli fazoga oʻtishimizdan oldin yodimizda saqlashimiz lozim boʻlgan oddiy, lekin muhim fakt mavjud. Siz bu oʻzgartirishlardan birini biror songa koʻpaytirishdan foydalanishni bilgan holda, lekin u qaysi sonligini bilmasdan turib tomosha qilayotganingizni xayolingizga keltiring, mana bunga oʻxshab:
Siz chiziqdagi qaysi son koʻpaytirilayotganini osongina topa olasiz. Ushbu holatda son boshlangan joyda yotadi. Shunday qilib, siz animatsiya ga koʻpaytirishni ifodalashini aytishingiz mumkin.
oʻlchamli fazoda chiziqli almashtirishlar nimaga oʻxshaydi?
Bizning ishlarimiz boʻyicha chiziqli almashtirish natijasida: Dastlabki holat oʻzgarishsiz qolishi kerak va barcha toʻgʻri chiziqlar toʻgʻri chiziqligicha qolishi kerak. Shunday qilib, yuqoridagi animatsiyadagi barcha almashtirishlar chiziqli almashtirishlarning namunalaridir, lekin quyidagilar emas:
Almashtirish vaqtida quyidagi maxsus vektorlar
Tasavvur qiling, siz mana bunga oʻxshash maʼlum bir almashtirishni tomosha qilyapsiz.
Siz ushbu animatsiyani tomosha qilmayotgan doʻstingizga uni qanday qilib tasvirlab berar edingiz? Siz buni yagona son orqali tasvirlab bera olmaysiz, yaʼni biz bir oʻlchamli holatda sonini faqatgina kuzata olamiz. Barcha narsani yodda saqlab qolish uchun, keling,
vektorga yashil yoy,
vektorga esa qizil yoy qoʻyamiz
va orqa fonga katakli qogʻozlarning nusxasini oʻrnatamiz.
Endi narsalarning qayerda joylashganini koʻrish ancha osonroq. Masalan, animatsiyani yana bir bor tomosha qiling va ga eʼtibor qarating. Biz uni vektorda joylashganini koʻrishni osongina kuzatishimiz mumkin.
Biz bu faktni quyidagi ifodada aks ettirishimiz mumkin:
Va umumiy qilib aytganda
Shunga oʻxshab, butun oʻqining masofasi bu oʻzgartirish uchun boʻlgan
qizil yoy yotgan joy orqali aniqlanadi.
Aslini olganda,
va
larning qayerda joylashganini bilganimizda biz tekislikdagi har bir nuqta qayerga borishi kerakligi haqida xulosa qila olamiz. Masalan, animatsiyamizda
nuqtani kuzatamiz:
U koʻpaytirilgan yashil yoy qoʻshilgan karra qizil yoy bilan boshlanadi, lekin u oʻzgartirishdan keyingi holatni anglatuvchi karra yashil yoy qoʻshilgan karra qizil yoy bilan tugaydi.
Almashtirishda oldingi va keyingi koordinatalarining har ikkalasiga asoslangan holda vektorni qismlarga ajratish qobiliyati chiziqli almashtirish uchun maxsus hisoblanadi.
Ikki oʻlchamli chiziqli almashtirishlarni matritsalar bilan aks ettirish
Umuman olganda, har bir
vektor quyidagicha yozilishi mumkin:
Agar
yashil yoy biror
vektorda,
qizil yoy biror
vektorda joylashgan boʻlsa, u holda n
vektor quyidagida joylashishi kerak.
Bularning barchasini tasvirlashning juda yaxshi usuli berilgan chiziqli almashtirishni matritsa bilan aks ettirishdir.
Bu yerda birinchi ustun bizga
ning qayerda joylashganini, ikkinchi ustun
ning qayerda joylashganini koʻrsatadi. Endi biz istalgan
vektorning matritsa-vektor koʻpaytmasi singari qayerda juda zich joylashganini tasvirlay olamiz.
Aslini olganda, bu matritsa-vektor koʻpaytmasi kelib chiqadigan joyning taʼrifidir.
Shunday qilib, -oʻlchamli chiziqli almashtirishlarni biror songa koʻpaytirish kabi, aniqrogʻi qaysi son yuqorida joylashgan boʻlsa, shu yoʻlda tasvirlash mumkin. -oʻlchamli chiziqli almashtirishlarni har doim lik matritsa orqali, yaʼni uning birinchi ustuni ning qayerda va ikkinchi ustuni ning qayerda joylashganini koʻrsatish orqali tasvirlash mumkin.
Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?
Hozircha izohlar yoʻq.