Asosiy kontent

Course: Matematik analiz asoslari > Unit 4

Lesson 3: Matritsa ustida sodda satr amallari

Matritsa ustida satr amallari

Matritsa ustida sodda satr amallaridan foydalanishni bilib oling. Bu bizga murakkab chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga yordam beradi.

Matritsa satrlari ustida amallar

Quyidagi jadval matritsa satrlari ustida amallarni keltiradi.

Matrisa satrlari ustida amallar	Masala
Ixtiyoriy ikki satrni almashtiring	$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rr} 3 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & 3 \end{array}] \\ (1- va 2-satrlar oʻrnini almashtiring.) \end{aligned}$ ‍
Satrni 0 boʻlmagan songa koʻpaytiring	$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rrr} 3 \cdot 2 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \\ (Satrning 3 karra koʻpaytmasi.) \end{aligned}$ ‍
Bir satrni boshqasiga qoʻshing	$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rrr} 2 & 5 & 3 \\ 3 + 2 & 4 + 5 & 6 + 3 \end{array}] \\ (Satr 1- va 2-satrlarning yigʻindisi boʻladi.) \end{aligned}$ ‍

Satrlar ustida amallar tenglamalar sistemasini yechishda yordam beradi. Shu amallar haqidagi bilimlarimizni misollar orqali mustahkamlaylik.

Ixtiyoriy ikki satr oʻrinlarini almashtirish

Misol

Ushbu matritsa ustida

R_{1} \leftrightarrow R_{2}

satrlar oʻrnini almashtirish amalini bajaring.

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

Yechim

R_{1} \leftrightarrow R_{2}

amal

1 -

2 -

satrlar oʻrnini almashtirishni bildiradi.

Demak,

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

matritsa

[\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 & 8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

matritsaga oʻzgaradi.

Siz bazida quyidagicha amal ifodalanishiga duch kelishingiz mumkin.

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}] \overset{R_{1} \leftrightarrow R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 & 8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

1

-satr

2

-satr bilan va

2

-satr

1

-satr bilan oʻrin almashishiga va 3-satr oʻzgarmay qolganiga eʼtibor bering.

1-masala

Ushbu matritsa ustida $R_{2} \leftrightarrow R_{3}$ ‍ satr amalini bajaring.

[\begin{array}{rrr} 7 & 2 & 9 \\ 6 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 12 \end{array}]

Satrni 0 boʻlmagan songa koʻpaytirish

Misol

Ushbu matritsa ustida

3 R_{2} \to R_{2}

amalni bajaring.

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

Yechim

3 R_{2} \to R_{2}

satr amali

2 -

satrni

3

marta orttirishni bildiradi.

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

matritsa

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}] = [\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

matritsaga oʻzgaradi.

Bu amal quyidagicha ifodalanadi:

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}] \overset{3 R_{2} \to R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

2-satr 3 marta ortishiga va boshqa satrlar oʻzgarmay qolishiga eʼtibor bering.

3-misol

Ushbu matritsa ustida $2 R_{1} \to R_{1}$ ‍ satr amalini bajaring.

[\begin{array}{ccc} 2 & 6 & 5 & 1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array}]

Bir satrni boshqasiga qoʻshish

Misol

Ushbu matritsa ustida

R_{1} + R_{2} \to R_{2}

amalni bajaring.

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}]

Yechim

R_{1} + R_{2} \to R_{2}

amal

2 -

satrni

1 -

2 -

satrlar yigʻindisi bilan almashtirishni bildiradi.

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}]

matritsa

[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 4 \\ 2 + 0 & 3 + 8 & 4 + 1 \end{array}] = [\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 11 & 5 \end{array}]

matritsaga oʻzgaradi.

Bu amal quyidagicha ifodalanadi:

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}] \overset{R_{1} + R_{2} \to R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 11 & 5 \end{array}]

1

- va

2

-satrlar yigʻindisi

2

-satr bilan almashishiga va qolgan satrlar oʻzgarmay qolishiga eʼtibor bering.

5-masala

Ushbu matritsa ustida $R_{1} + R_{3} \to R_{3}$ ‍ amalni bajaring.

[\begin{array}{rrr} - 1 & 6 & - 2 \\ - 3 & 5 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \end{array}]

Murakkab masala

Ushbu matritsa ustida $R_{1} + 2 R_{3} \to R_{1}$ ‍ satr amalini bajaring.

[\begin{array}{rrr} - 5 & 7 & 3 \\ - 2 & - 1 & 4 \\ 8 & 8 & - 6 \end{array}]

Tenglamalar sistemasi va matritsa satrlari ustida amallar

Yodingizda boʻlsa, kengaytirilgan matritsaning har bir satri tenglamlar sistemasining bir tenglamasini ifodalar edi.

Masalan, chapdagi sistemaning matritsaviy ifodasi oʻngdagi matritsaga mos keladi.

Sistema	Matritsa
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍

Kengaytirilgan matritsalar bilan ishlayotganda ekvivalent kengaytirilgan matritsa hosil qilish uchun ixtiyoriy satr amalidan foydalanishimiz mumkin. Bundan maqsadni quyida koʻrib chiqamiz:

Ixtiyoriy ikki satrni almashtirish

Ekvivalent sistemalar	Kengaytirilgan matritsa
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} 2 x + 5 y & = 6 \\ 1 x + 3 y & = 5 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{ccc} 2 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{array}]$ ‍

Yuqoridagi tenglamalar sistemalari ekvivalent hisoblanadi. Chunki sistemada tenglamalar tartibi ahamiyatsiz. Shunday ekan, matritsada ham ixtiyoriy ikki satrning oʻzaro oʻrinlarini almashtirish mumkin.

Satrni 0 boʻlmagan songa koʻpaytirish

Tenglamaning ikki tarafini 0 boʻlmagan ixtiyoriy songa koʻpaytirish bizga ekvivalent tenglama beradi.

Tenglamalar sistemasini yechishda nomaʼlumni yoʻqotish uchun bu amaldan koʻp foydalanamiz. Chunki ikki tenglama ekvivalent boʻlsa, ikki sistema ham ekvivalent boʻladi.

Ekvivalent sistemalar	Kengaytirilgan matritsa
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} - 2 x + (- 6) y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rrr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍

Demak, kengaytirilgan matritsadan tenglamalar sistemasini yechishda foydalanayotgan boʻlsak, uning ixtiyoriy satrini 0 boʻlmagan songa koʻpaytirishimiz mumkin.

Bir satrni boshqasiga qoʻshish

Bilamizki, tenglamaning ikki tarafiga bir xil qiymat qoʻshilsa, ekvivalent boʻlgan tenglama hosil boʻladi.

Demak, agar

A = B

C = D

boʻlsa,

A + C = B + D

boʻladi.

Biz bundan tenglamalar sistemasini yechishda keng foydalanamiz. Masalan, bu sistemada

\begin{aligned} - 2 x - 6 y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}

tenglamalarni qoʻshib, ushbu ifodaga erishishimiz mumkin:

- y = - 4

Endi bu ifodani yuqorida biror tenglama bilan sistemaga qoʻysak, yangi ekvivalent sistema hosil boʻladi.

Ekvivalent sistemalar	Kengaytirilgan matritsa
$\begin{aligned} - 2 x - 6 y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rrr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} - 2 x + (- 6) y & = - 10 \\ 0 x + (- 1) y & = - 4 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rrr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 0 & - 1 & - 4 \end{array}]$ ‍

Demak, kengaytirilgan matritsadan tenglamalar sistemasini yechishda foydalanayotgan boʻlsak, ixtiyoriy bir satrni boshqasiga qoʻshishimiz mumkin.

Yakuniy murakkabroq masala

Satr amallari ketma-ketligi ushbu

[\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 10 \\ - 2 & - 3 & 3 \end{array}]

matritsada amalga oshirildi. Quyida har bir ketma-ketlik natijasi bilan tanishishingiz mumkin.

Amallarni ketma-ket bajaring.

Berilgan matritsa:

[\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 10 \\ - 2 & - 3 & 3 \end{array}]

1

Berilgan matritsa ushbu

\begin{aligned} 2 x + 2 y & = 10 \\ - 2 x - 3 y & = 3 \end{aligned}

sistemaga, natijaviy matritsamiz esa

\begin{aligned} x & = 18 \\ y & = - 13 \end{aligned}

sistemaga, yaʼni natijaga mos kelishiga eʼtibor bering.

Tenglamalar sistemasi faqatgina kengaytirilgan matritsa va satr amallaridan foydalanib yechildi.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.