If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Mavhum birlikning darajalari

Mavhum birlik i ning darajasini qanday soddalashtirishni oʻrganing. Masalan, i²⁷ ni -i kabi soddalashtiring.
Bilamizki, i=1 va i2=1.
Biroq i3 va i4 haqida-chi? i ning boshqa butun darajalari-chi? Bularni qanday hisoblaymiz?

i3 va i4ni topish

Darajalar xossasi bu yerda yordam berishi mumkin! i ning darajasini hisoblayotganda biz toʻgʻri deb bilgan darajalarning xossalarini haqiqiy sonlar tizimida qoʻllashimiz mumkin, agar darajalar butun son boʻlsa.
Shunga asoslanib, i3 va i4 ni topamiz.
Bizga maʼlumki, i3=i2i. Ammo i2=1 boʻlar ekan, biz shuni kuzatishimiz mumkin:
i3=i2i=(1)i=i
Shuningdek, i4=i2i2. Yana i2=1 dan foydalanib, quyidagi natijaga erishamiz:
i4=i2i2=(1)(1)=1

i ning darajalari

Shu yoʻsinda davom etamiz! Bizga tanish usuldan foydalanib i ning navbatdagi 4 ta darajasini topamiz:
i5=i4i     Daraja xossalari=1i i4=1 boʻlgani uchun=i
i6=i4i2Daraja xossalari=1(1)i4=1 va i2=1 boʻlgani uchun=1
i7=i4i3Daraja xossalari=1(i) i4=1 va i3=i boʻlgani uchun=i
i8=i4i4    Daraja xossalari=11i4=1 boʻlgani uchun=1
Natijalarni jadvalda yozamiz:
i1i2i3i4i5i6i7i8
i1i1i1i1

Darajalarning ketma-ketligi

Jadvaldan, i ning darajalari i, 1, i va 1 ketma-ketlikda ketishi koʻrinadi.
Bu ketma-ketlikdan foydalanib i20 topa olamizmi? Keling, urinib koʻramiz.
Quyidagi qatorda dastlabki 20 ta son keltirilgan:
i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1
Bu mantiqqa koʻra, i20 1ga teng boʻlishi kerak. Keling, darajalar yordamida buni koʻrib chiqamiz. Yodingizda boʻlsin, biz bu yerda darajalarning xossalaridan, xuddi haqiqiy sonlar bilan boʻlgani kabi foydalanishimiz mumkin!
i20=(i4)5Daraja xossalari=(1)5i4=1=1Soddalashtiring
Har qanday holatda ham i20=1 ekanini koʻramiz.

i ning darajalari

Biz endi i138ni topishga urinib koʻraylik. Biz ketma-ketlik roʻyxatini 138chi hadda tuzishimiz mumkin i, 1, i, 1,... , ammo bu juda koʻp vaqt oladi!
Ahamiyat bering, i4=1, i8=1, i12=1 va hokazo. Boshqacha aytganda, i ning darajasi 4 ning karralisi boʻlganda 1ga teng boʻladi.
Biz ushbu maʼlumotdan i138 ni soddalashtirishga yordam berish maqsadida uni darajalarning xossalari bilan birga qoʻllashimiz mumkin.

Misol

i138 ni soddalashtiring.

Yechim

138 soni 4 ning karralisi emas, 136 esa karrali! Bundan foydalanib i138ni soddalashtiramiz.
i138=i136i2Daraja xossalari=(i434)i2136=434=(i4)34i2Daraja xossalari=(1)34i2i4=1=11i2=1=1
Shu bois i138=1.
Endi nega i138 ifodani i136i2 koʻrinishga keltirganimizni soʻrashingiz mumkin.
Agar asl daraja 4ga karrali boʻlmasa, u holda undan kichikroq boʻlgan eng yaqin karralisini topish darajani, shunchaki i4=1 haqidagi maʼlumotdan foydalanib, i, i2, yoki i3 gacha soddalashtirish imkonini beradi.
Agar siz asl darajani 4 ga boʻlsangiz bu sonni topish oson kechadi. Bu shunchaki 4 marta boʻlinma (qoldiqsiz).

Misollarni yechamiz

1-masala

i227 ni soddalashtiring.

2-masala

i2016 ni soddalashtiring.

3-masala

i537 ni soddalshtiring.

Murakkabroq misol

Quyidagilarning qaysi biri i1ga teng boʻladi?
Bitta javobni tanlang: