Asosiy kontent

Matematik analiz asoslari

Course: Matematik analiz asoslari > Unit 5

Lesson 1: Mavhum sonlar nima?

Mavhum sonlar mavzusiga kirish

i mavhum birlik, mavhum sonlar va manfiy sonlarning kvadrat ildizlari haqida bilib oling.

Matematikani oʻrganish jarayonida baʼzi kvadrat tenglamalar haqiqiy sonlarda yechimga ega emasligiga guvoh boʻlgandirsiz.

Misol uchun, qoʻlingizdan kelgancha urinsangiz ham, x, squared, equals, minus, 1 tenglamaning haqiqy sonlarda yechimini topishga muvaffaq boʻlmaysiz. Sababi haqiqiy sonlarni kvadratga oshirib manfiy sonni hosil qilish mumkin emas!

Biroq x, squared, equals, minus, 1 tenglama yechimi yangi sonlar tizimida mavjud, u kompleks sonlar tizimi deb yuritiladi.

Mavhum birlik

Ushbu yangi sonlar tizimining asosida mavhum birlik yoki i soni yotadi.

Ushbu i soni uchun quyidagilar oʻrinli:

i, equals, square root of, minus, 1, end square root
i, squared, equals, minus, 1

Ikkinchi xossa i soni haqiqatan x, squared, equals, minus, 1 tenglama yechimi ekanini koʻrsatadi. Ilgari yechib boʻlmaydigan tenglama endi mavhum birlik qoʻshilishi bilan yechiladi!

Mavhum sonlar

i soni shubhasiz yagonadir! Ushbu mavhum birlikning karralilarini olib cheksiz koʻp mavhum sonlarni hosil qilishimiz mumkin.

Jumladan, 3, i, i, square root of, 5, end square root va minus, 12, i mavhum sonlarga misolldir. Umuman, b, i koʻrinishdagi sonlar mavhum sonlar boʻladi, bu yerda b - nol boʻlmagan haqiqiy son.

Ushbu sonlarni kvadratga oshirib, ularning haqiqiy sonlarga qanday aloqasi borligini koʻrsatib beramiz. 3, i sonni tadqiq qilaylik. Butun darajaga koʻtarish xossasi oʻzgarmasdan qoladi, demak, 3, i ni quyidagicha kvadratga koʻtarishimiz mumkin.

$\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}$

i, squared, equals, minus, 1 dadan foydalanib, uni quyida koʻrsatilganidek soddalashtirishimiz mumkin:

$\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}$

left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 tenglik 3, i son minus, 9ning kvadrat ildizi ekanini anglatadi.

Tushunganingizni tekshiring

left parenthesis, 4, i, right parenthesis, squared ni toping.

[Yordam kerak!]

Quyidagilarning qaysi biri minus, 16ning kvadrat ildizi boʻladi?

[Yordam kerak!]

Shu yoʻl bilan koʻrishimiz mumkinki mavhum son manfiy sonlarning kvadrat ildizidir!

Mavhum sonlarni soddalashtirish

Quyidagi jadvalda soddalashtirilgan va soddalashtirilmagan shakldagi mavhum sonlarga oid misollar berilgan.

Soddalashtirilmagan koʻrinish	Soddalashtirilgan koʻrinish
square root of, minus, 9, end square root	3, i
square root of, minus, 5, end square root	i, square root of, 5, end square root
minus, square root of, minus, 144, end square root	minus, 12, i

Ammo bu mavhum sonlarni qanday soddalashtiramiz?

Keling, birinchi misolga yaxshiroq nazar solamiz va uni soddalashtirish haqida oʻylab koʻramiz.

Tenglik	Asoslash
$\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}$	minus, 9 ning kvadrat ildizi mavhum sondir. 9 ning kvadrat ildizi 3, demak, manfiy 9 ning kvadrat ildizi start text, 3, end text ta mavhum birlikdir yoki 3, i.

Quyidagi xossa yuqoridagi "asoslash"ni matematik terminlarda tushuntiradi:

a, is greater than, 0 uchun square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root

Agar biz buni ildizlarni soddalashtirish haqida oldin oʻrgangan bilimlarimiz bilan birlashtirsak, barcha mavhum sonlarni soddalashtirishimiz mumkin. Bir misolni koʻrib chiqaylik.

Misol

square root of, minus, 18, end square root ni soddalashtiring.

Yechim

Dastlab square root of, minus, 18, end square root mavhum son ekaniga ahamiyat beramiz, chunki u manfiy sonning kvadrat ildizidir. Shuning uchun biz square root of, minus, 18, end square root ifodani i, square root of, 18, end square root tarzida yozishdan boshlashimiz mumkin.

Keyin square root of, 18, end square root sonni, ildizlarni soddalashtirish haqida bilganlarimizdan foydalanib, soddalashtirishimiz mumkin.

Ish quyida koʻrsatilgan:

\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{$a>0$ uchun $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$ soni $18$ning toʻliq kvadrat boʻlgan boʻluvchisidir.}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ agar } a, b\geq0}} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{Koʻpaytuvchilarning oʻrnini almashtiramiz.}}} \end{aligned}

Shuning uchun square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.

[Men hali ham chalgʻiyapman. Men boshqa misolni koʻrmoqchiman.]

Misollarni yechamiz

1-masala

Soddalashtiring : square root of, minus, 25, end square root.

[Yordam kerak!]

2-masala

Soddalashtiring: square root of, minus, 10, end square root.

[Yordam kerak!]

3-masala

Soddalashtiring: square root of, minus, 24, end square root.

[Yordam kerak!]

Nima uchun bizga mavhum sonlar kerak?

Javob oddiy. i mavhum soni haqiqiy sonda yechimi boʻlmagan koʻplab tenglamalarga yechim topishga yordam beradi.

Bu gʻalati tuyulishi mumkin, ammo tenglamalarning bir sonli tizimda yechilmasligi, biroq boshqasida, umumiyroq sonlar tizimida, yechimga ega boʻlishi aslida juda koʻp uchraydi.

Sizga tanish boʻlgan baʼzi misollar.

Natural sonlarda x, plus, 8, equals, 1 tenglamani yecha olmaymiz, buning uchun bizga butun sonlar kerak!
Butun sonlarda 3, x, minus, 1, equals, 0 tenglamani yecha olmaymiz, buning uchun bizga ratsional sonlar kerak!
Ratsional sonlarda x, squared, equals, 2 tenglamani yecha olmaymiz. Irratsional sonlar va haqiqiy sonlar tizimini kiriting!

Shunday qilib, haqiqiy sonlarda x, squared, equals, minus, 1 tenglamani yecha olmaymiz. Buning uchun bizga mavhum sonlar kerak boʻladi!

Matematikani oʻrganishda davom etsangiz, bu sonlarning muhimligini tushunishni boshlaysiz.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.