Asosiy kontent

Course: Matematik analiz asoslari > Unit 5

Lesson 6: Kompleks sonlarni koʻpaytirish

Kompleks sonlarni koʻpaytirish

Ikki kompleks sonni qanday qilib koʻpaytirishni oʻrganing. Masalan, (1+2i)⋅(3+i) ni koʻpaytiring.

Kompleks son deb

a + b i

koʻrinishida yozilishi mumkin boʻlgan har qanday songa aytiladi, bu yerda

i

mavhum birlik,

a

b

esa haqiqiy sonlardir.

Kompleks sonlarni koʻpaytirganda, haqiqiy sonlar ustida arifmetik amalning xossalari kompleks sonlar uchun ham xuddi shunday xossalarga ega boʻlishini eslash foydali boʻladi.

Baʼzan

i

x

kabi oʻzgaruvchi deyish foydalidir. Keyin bir nechta qadamda oʻzimiz kutgandek koʻpaytirishimiz mumkin. Buni bir nechta misollar orqali koʻrib chiqamiz.

Haqiqiy sonni kompleks songa koʻpaytirish

Misol

Koʻpaytiring:

- 4 (13 + 5 i)

. Natijani

a + b i

koʻrinishda yozing.

Yechim

Agar ichki hislaringiz

- 4

ga koʻpaytir deyotgan boʻlsa, u holda u haq! Keling, shunday qilamiz:

\begin{aligned} - 4 (13 + 5 i) & = - 4 (13) + (- 4) (5 i) \\ = - 52 - 20 i \end{aligned}

Boʻldi! Haqiqiy sonni kompleks songa koʻpaytirish uchun qavsni ochish xossasidan foydalandik. Endi murakkabroq misol yechib koʻramiz.

Mavhum sonni kompleks songa koʻpaytirish

Misol

Koʻpaytiring:

2 i (3 - 8 i)

. Natijani

a + b i

koʻrinishda yozing.

Yechim

2 i

ni qavsdagi har bir hadga koʻpaytirish bilan boshlasak:

\begin{aligned} 2 i (3 - 8 i) & = 2 i (3) - 2 i (8 i) \\ = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

Bu yerda javob

a + b i

koʻrinishda emas, sababi unda

i^{2}

ifoda bor.

Ammo

i^{2} = - 1

ekanini bilamiz. Oʻrniga qoʻyib, nimaga olib kelishini kuzatamiz.

\begin{aligned} = 6 i - 16 i^{2} \\ = 6 i - 16 (- 1) \\ = 6 i + 16 \end{aligned}

Oʻrin almashtirish xossasidan foydalanib, javobni

16 + 6 i

tarzida yozish mumkin va shu bois bizda

2 i (3 - 8 i) = 16 + 6 i

hosil boʻladi.

Mavzu boʻyicha bilimingizni sinab koʻring

1-masala

Koʻpaytiring: $3 (- 2 + 10 i)$ ‍.
Natijani $a + b i$ ‍ koʻrinishda yozing.

2-masala

Koʻpaytiring: $- 6 i (5 + 7 i)$ ‍.
Natijani $a + b i$ ‍ koʻrinishda yozing.

Ajoyib! Endi biz buni yanada qiyinlashtirishga tayyormiz! Keyinchalik kompleks sonlarni koʻpaytirish soʻralganda oddiy hol boʻlib keladi.

Ikkita murakkab sonlarni koʻpaytirish

Misol

Koʻpaytiring:

(1 + 4 i) (5 + i)

. Natijani

a + b i

koʻrinishda yozing.

Yechim

Ushbu misolda ayrimlar

i

ni oʻzgaruvchi deb oʻylashni juda foydali hisoblashadi.

Aslida, bu ikkita kompleks sonlarni koʻpaytirish jarayoni ikkita ikkihadlarni koʻpaytirishga juda oʻxshaydi! Har bir hadning birinchi sonini har bir hadning ikkinch soniga koʻpaytiring.

\begin{aligned} (1 + 4 i) (5 + i) & = (1) (5) + (1) (i) + (4 i) (5) + (4 i) (i) \\ = 5 + i + 20 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 i^{2} \end{aligned}

i^{2} = - 1

dan biz

i^{2}

a + b i

hosil qilish uchun

- 1

bilan almashtirishimiz mumkin.

\begin{aligned} = 5 + 21 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 (- 1) \\ = 5 + 21 i - 4 \\ = 1 + 21 i \end{aligned}

Tushunganingizni tekshiring

3-masala

Koʻpaytiring: $(1 + 2 i) (3 + i)$ ‍.
Natijani $a + b i$ ‍ koʻrinishda yozing.

4-misol

Koʻpaytiring: $(4 + i) (7 - 3 i)$ ‍.
Natijani $a + b i$ ‍ koʻrinishda yozing.

5-misol

Koʻpaytiring: $(2 - i) (2 + i)$ ‍.
Natijani $a + b i$ ‍ koʻrinishda yozing.

6-misol

Koʻpaytiring: $(1 + i) (1 + i)$ ‍.
Natijani $a + b i$ ‍ koʻrinishda yozing.

Murakkab misollar

1-masala

$a$ ‍ va $b$ ‍ haqiqiy sonlar boʻlsin. $(a - b i) (a + b i)$ ‍ nechaga teng?

2-masala

Koʻrsatilgan amalni bajaring va soddalashtiring: $(1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i)$ ‍
Javobingizni $a + b i$ ‍ koʻrinishda yozing.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.