If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Kompleks son darajalari

Kompleks son darajalari kompleks sonlar tekisligidagi grafikda qanday oʻzgarishini oʻrganing.

i2=1 ni qanoatlantiradigan i ning joylashuvi

Biz kompleks sonlarni oʻrganishni i2=1 shartni qanoatlantiradigan i sonni ixtiro qilish bilan boshladik va uni sonlar oʻqidan tashqarida, 0 dan bir birlik yuqorida joylashtirib koʻrdik. Soʻnggi qoʻllanmada talqin qilingan chizma bilan endi koʻrishimiz mumkinki, fazodagi bu nuqta kvadrati 1 boʻlgan son uchun haqiqiy makondir.
Guvohi boʻlganingizdek, i ga koʻpaytirish koordinata boshiga nisbatan 90 ga burilishni beradi.
Khan Academy video muqovasi
i sonning moduli 1 ga, argumenti esa 90 ga teng boʻlgani sababli 0 atrofida bunday burilish koordinata tekisligida 1 ni i ga oʻtkazadigan yagona harakat ekanini bilib olishingiz mumkin.
Xoʻsh, agar tekislikdagi barcha sonni i ga ikki marta koʻpaytirsak, nima sodir boʻladi?
Khan Academy video muqovasi
Bu koordinata boshiga nisbatan 180 ga aylantirish bilan bir xil, yaʼni 1 ga koʻpaytirish. Bu albatta maʼno kasb etadi, sababi i ga ikki marta koʻpaytirish i2 ga, yaʼni 1 koʻpaytirish bilan bir xil.
Agar biz i2=1 shartni qanoatlantiradigan i sonni qayergadir joylashga urinmaganimizda, kompleks koʻpaytirish haqida aniq tasavvurga ega boʻlmagan boʻlardik.

Kompleks son darajalari

Ayrim kompleks sonlarga bir necha bor koʻpaytirishga urinib koʻraylik.

1-misol: (1+i3)3

Moduli 12+(3)2=2 va argumenti 60 boʻlgan z=1+i3 kompleks sonni olaylik. Tekislikdagi barcha sonlarni z ga ketma-ket uch marta koʻpaytirsak, nima sodir boʻladi?
Khan Academy video muqovasi
Barcha hadlar uch marta 2 birlik kengayadi va oxir-oqibat 23=8 birlik kengayadi. Xuddi shu kabi, barcha sonlar ketma-ket uch marta 60 ga aylanadi, natijada umumiy hisobda 180 ga aylanadi. Shuningdek, yakunida 8 ga koʻpaytirish bilan bir xil natija koʻrsatadi, sababi (1+i3)3=8.
Biz buni algebra yordamida ham koʻrishimiz mumkin:
=(2(cos(60)+isin(60)))3=23(cos(60+60+60)+isin(60+60+60) =8(cos(180)+isin(180))=8

2-misol: (1+i)8

Navbatdagi amalda tekislikdagi barcha nuqtani ketma-ket sakkiz marta (1+i) songa koʻpaytirib koʻraylik:
Khan Academy video muqovasi
1+i sonning moduli
|1+i|=12+12=2,
ga teng ekan, barcha son sakkiz marta 2 birlik kengayadi va natijada umumiy hisobda (2)8=24=16 birlik kengayadi.
(1+i) sonning burchagi 45 ekan, barcha son yakuniy hisobda 845=360 burchakka buriladi, shu bois oldingi holatiga qaytib, hech qanday burilish boʻlmaganday koʻrinadi. Shuning uchun (1+i)8=16.
Muqobil tarzda buni algebra amallarida koʻramiz:
=(1+i)8=(2(cos(45)+isin(45))8=(2)8(cos(45++458 times)+isin(45++458 times))=16(cos(360)+isin(360))=16

3-misol: z5=1

Endi teskari savol berishga urinib koʻramiz: tekislikdagi barcha sonlarni ketma-ket besh marta z ga koʻpaytirgach, sonlar oldingi holiga qaytadigan z kompleks son mavjudmi? Boshqacha aytganda, z5=1 tenglamani yecha olamizmi? Bitta oddiy javob z=1, ammo boshqasini topishga urinib koʻramiz.
Birinchidan, bunday sonning moduli 1 boʻlishi kerak, agar u 1 dan katta boʻlsa, tekislik kengayishda davom etadi. Agar 1 dan kichik boʻlsa, tekislik qisqaradi. Burish masalasi endi boshqa masala, chunki bir necha bor burishdan soʻng, oldingi holatga kelishingiz mumkin. Xususan, agar siz 15 marta aylantirsangiz, quyidagicha boʻladi:
Khan Academy video muqovasi
Soʻngra ketma-ket 5 marta aylantirsangiz, oldingi holatga keladi.
Khan Academy video muqovasi
Tekislikni shu usul bilan aylantiradigan kompleks son cos(72)+isin(72) boʻlib, yaʼni 3605=72 boʻladi.
Shuningdek, boshqa yechim ham mavjud, masalan, 25 marta aylantirish:
Khan Academy video muqovasi
yoki 15 marta boshqa yoʻnalishga aylantirish:
Khan Academy video muqovasi
Amalda esa tenglamaning yechimlari boʻlgan sonlar birlik aylanada muntazam beshburchakni hosi qiladi.
z5=1 tenglamaning yechimlari

4-misol: z6=27

z6=27 tenglamadan bizga shunday z kompleks sonni topish soʻralganki, ketma-ket 6 marta koʻpaytirish tekislikni 27 birlik kengaytsin hamda 180 ga bursin, sababi manfiy ishora 180 ga aylanishni koʻrsatadi.
6 marta koʻpaytirilganidan keyin 27 birlik kengaytiruvchi son A276=3 kattalikka ega boʻlishi kerak va 6 marta takrorlangandan keyin 180 ga aylanishning bir yoʻli bu 1806=30 ga burishdir. Shuning uchun ushbu z6=27 tenglamani yechuvchi bitta son bu
3(cos(30)+isin(30))=3(32+i12)=32+i32
Biroq uning boshqa javoblari ham mavjud. Aslida ana shu javoblar radiusi 3 boʻlgan aylanada muntazam oltiburchakni hosil qiladi:
z6=27 tenglamaning yechimlari
Nima uchunligini bilasizmi?

zn=w tenglamani umumiy holda yechish

Keling, oxirgi ikki misolni umumlashtiramiz. Agar sizga w va n qiymatlari berilgan boʻlsa va sizdan xuddi soʻnggi misolda berilganidek, z ni topish soʻralgan boʻlsa, n=6 va w=27 siz dastlab w sonning trigonometrik shaklini topib olasiz:
w=r(cos(θ)+isin(θ))
Bu z sonning argumenti θn boʻlishini va uning moduli Arn boʻlishini anglatadi, toki z songa ketma-ket n marta koʻpaytirish tekislikni misoldagi w son kabi θ ga buradi va r birlikka kengaytiradi. Shunday qilib:
z=Arn(cos(θn)+isin(θn))
Boshqa yechimini topish uchun shuni unutmaslik lozimki, θ burchak istalgan k butun son uchun θ+2π yoki θ+4π yoki θ+2kπ deb olinishi kerak, chunki bularning barchasi bir xil burchaklardir. Buning sababi shundaki, agar biz θ burchakni boʻlishdan oldin θ+2πk bilan almashtirib qoʻysak, natija θn qiymatiga taʼsir qiladi. Natijada barcha javoblar ushbu shaklda hosil boʻladi:
z=Arn(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))
k ning ayrim butun qiymatlari uchun. Bu qiymatlar turlicha boʻladi, chunki k ning qiymatlar sohasi 0 dan n1 gachadir, ammo qachonki k=n boʻlganda biz θ+2nπn=θn+2π burchak θn burchak bilan bir xil boʻlishiga ahamiyat berishimiz kerak, zero ular bitta toʻliq aylanish bilan farq qiladilar. Shuning uchun barcha javoblarni k ning qiymatlar sohasi 0 dan n1 gacha boʻlganda olishimiz mumkin.