If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Matematik analiz asoslari

Course: Matematik analiz asoslari > Unit 5

Lesson 10: Qutbli koʻrinishdagi kompleks sonlarni koʻpaytirish va boʻlish
Matematika
Matematik analiz asoslari
Kompleks sonlar
Qutbli koʻrinishdagi kompleks sonlarni koʻpaytirish va boʻlish
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Kompleks son darajalari

Google sinfxona
Kompleks son darajalari kompleks sonlar tekisligidagi grafikda qanday oʻzgarishini oʻrganing.

i, squared, equals, minus, 1 ni qanoatlantiradigan i ning joylashuvi

Biz kompleks sonlarni oʻrganishni i, squared, equals, minus, 1 shartni qanoatlantiradigan i sonni ixtiro qilish bilan boshladik va uni sonlar oʻqidan tashqarida, 0 dan bir birlik yuqorida joylashtirib koʻrdik. Soʻnggi qoʻllanmada talqin qilingan chizma bilan endi koʻrishimiz mumkinki, fazodagi bu nuqta kvadrati minus, 1 boʻlgan son uchun haqiqiy makondir.
Guvohi boʻlganingizdek, i ga koʻpaytirish koordinata boshiga nisbatan 90, degrees ga burilishni beradi.
Khan Academy video muqovasi
Video taglavhalariga qarang
i sonning moduli 1 ga, argumenti esa 90, degrees ga teng boʻlgani sababli 0 atrofida bunday burilish koordinata tekisligida 1 ni i ga oʻtkazadigan yagona harakat ekanini bilib olishingiz mumkin.
Xoʻsh, agar tekislikdagi barcha sonni i ga ikki marta koʻpaytirsak, nima sodir boʻladi?
Khan Academy video muqovasi
Video taglavhalariga qarang
Bu koordinata boshiga nisbatan 180, degrees ga aylantirish bilan bir xil, yaʼni minus, 1 ga koʻpaytirish. Bu albatta maʼno kasb etadi, sababi i ga ikki marta koʻpaytirish i, squared ga, yaʼni minus, 1 koʻpaytirish bilan bir xil.
Agar biz i, squared, equals, minus, 1 shartni qanoatlantiradigan i sonni qayergadir joylashga urinmaganimizda, kompleks koʻpaytirish haqida aniq tasavvurga ega boʻlmagan boʻlardik.

Kompleks son darajalari

Ayrim kompleks sonlarga bir necha bor koʻpaytirishga urinib koʻraylik.

1-misol: left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

Moduli square root of, 1, squared, plus, left parenthesis, square root of, 3, end square root, right parenthesis, squared, end square root, equals, 2 va argumenti 60, degrees boʻlgan z, equals, 1, plus, i, square root of, 3, end square root kompleks sonni olaylik. Tekislikdagi barcha sonlarni z ga ketma-ket uch marta koʻpaytirsak, nima sodir boʻladi?
Khan Academy video muqovasi
Video taglavhalariga qarang
Barcha hadlar uch marta 2 birlik kengayadi va oxir-oqibat 2, cubed, equals, 8 birlik kengayadi. Xuddi shu kabi, barcha sonlar ketma-ket uch marta 60, degrees ga aylanadi, natijada umumiy hisobda 180, degrees ga aylanadi. Shuningdek, yakunida minus, 8 ga koʻpaytirish bilan bir xil natija koʻrsatadi, sababi left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed, equals, minus, 8.
Biz buni algebra yordamida ham koʻrishimiz mumkin:
=(2(cos⁡(60∘)+isin⁡(60∘)))3=23(cos⁡(60∘+60∘+60∘)+isin⁡(60∘+60∘+60∘) =8(cos⁡(180∘)+isin⁡(180∘))=−8

2-misol: left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

Navbatdagi amalda tekislikdagi barcha nuqtani ketma-ket sakkiz marta left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis songa koʻpaytirib koʻraylik:
Khan Academy video muqovasi
Video taglavhalariga qarang
1, plus, i sonning moduli
vertical bar, 1, plus, i, vertical bar, equals, square root of, 1, squared, plus, 1, squared, end square root, equals, square root of, 2, end square root,
ga teng ekan, barcha son sakkiz marta square root of, 2, end square root birlik kengayadi va natijada umumiy hisobda left parenthesis, square root of, 2, end square root, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 2, start superscript, 4, end superscript, equals, 16 birlik kengayadi.
left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis sonning burchagi 45, degrees ekan, barcha son yakuniy hisobda 8, dot, 45, degrees, equals, 360, degrees burchakka buriladi, shu bois oldingi holatiga qaytib, hech qanday burilish boʻlmaganday koʻrinadi. Shuning uchun left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 16.
Muqobil tarzda buni algebra amallarida koʻramiz:
=(1+i)8=(2⋅(cos⁡(45∘)+isin⁡(45∘))8=(2)8⋅(cos⁡(45∘+⋯+45∘⏟8 times)+isin⁡(45∘+⋯+45∘⏟8 times))=16(cos⁡(360∘)+isin⁡(360∘))=16\begin{aligned} &\phantom{=}(1 + i)^8 \\\\ &= \left(\sqrt{2}\cdot(\cos(45^\circ) + i \sin(45^\circ) \right)^8 \\ &= (\sqrt{2})^8 \cdot \left( \cos(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$ times}}) + i\sin(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$ times}}) \right) \\\\ &= 16 \left(\cos(360^\circ) + i\sin(360^\circ) \right) \\\\ &= 16 \end{aligned}

3-misol: z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

Endi teskari savol berishga urinib koʻramiz: tekislikdagi barcha sonlarni ketma-ket besh marta z ga koʻpaytirgach, sonlar oldingi holiga qaytadigan z kompleks son mavjudmi? Boshqacha aytganda, z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1 tenglamani yecha olamizmi? Bitta oddiy javob z, equals, 1, ammo boshqasini topishga urinib koʻramiz.
Birinchidan, bunday sonning moduli 1 boʻlishi kerak, agar u 1 dan katta boʻlsa, tekislik kengayishda davom etadi. Agar 1 dan kichik boʻlsa, tekislik qisqaradi. Burish masalasi endi boshqa masala, chunki bir necha bor burishdan soʻng, oldingi holatga kelishingiz mumkin. Xususan, agar siz start fraction, 1, divided by, 5, end fraction marta aylantirsangiz, quyidagicha boʻladi:
Khan Academy video muqovasi
Video taglavhalariga qarang
Soʻngra ketma-ket 5 marta aylantirsangiz, oldingi holatga keladi.
Khan Academy video muqovasi
Video taglavhalariga qarang
Tekislikni shu usul bilan aylantiradigan kompleks son cosine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis boʻlib, yaʼni start fraction, 360, degrees, divided by, 5, end fraction, equals, 72, degrees boʻladi.
Shuningdek, boshqa yechim ham mavjud, masalan, start fraction, 2, divided by, 5, end fraction marta aylantirish:
Khan Academy video muqovasi
Video taglavhalariga qarang
yoki start fraction, 1, divided by, 5, end fraction marta boshqa yoʻnalishga aylantirish:
Khan Academy video muqovasi
Video taglavhalariga qarang
Amalda esa tenglamaning yechimlari boʻlgan sonlar birlik aylanada muntazam beshburchakni hosi qiladi.
z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1 tenglamaning yechimlari

4-misol: z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 tenglamadan bizga shunday z kompleks sonni topish soʻralganki, ketma-ket 6 marta koʻpaytirish tekislikni 27 birlik kengaytsin hamda 180, degrees ga bursin, sababi manfiy ishora 180, degrees ga aylanishni koʻrsatadi.
6 marta koʻpaytirilganidan keyin 27 birlik kengaytiruvchi son root, start index, 6, end index, equals, square root of, 3, end square root kattalikka ega boʻlishi kerak va 6 marta takrorlangandan keyin 180, degrees ga aylanishning bir yoʻli bu start fraction, 180, degrees, divided by, 6, end fraction, equals, 30, degrees ga burishdir. Shuning uchun ushbu z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 tenglamani yechuvchi bitta son bu
3(cos⁡(30∘)+isin⁡(30∘))=3(32+i12)=32+i32\begin{aligned} \sqrt{3}(\cos(30^\circ) + i\sin(30^\circ)) &= \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}
Biroq uning boshqa javoblari ham mavjud. Aslida ana shu javoblar radiusi square root of, 3, end square root boʻlgan aylanada muntazam oltiburchakni hosil qiladi:
z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 tenglamaning yechimlari
Nima uchunligini bilasizmi?

z, start superscript, n, end superscript, equals, w tenglamani umumiy holda yechish

Keling, oxirgi ikki misolni umumlashtiramiz. Agar sizga w va n qiymatlari berilgan boʻlsa va sizdan xuddi soʻnggi misolda berilganidek, z ni topish soʻralgan boʻlsa, n, equals, 6 va w, equals, minus, 27 siz dastlab w sonning trigonometrik shaklini topib olasiz:
w, equals, r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis
Bu z sonning argumenti start fraction, theta, divided by, n, end fraction boʻlishini va uning moduli root, start index, n, end index boʻlishini anglatadi, toki z songa ketma-ket n marta koʻpaytirish tekislikni misoldagi w son kabi theta ga buradi va r birlikka kengaytiradi. Shunday qilib:
z, equals, root, start index, n, end index, dot, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis
Boshqa yechimini topish uchun shuni unutmaslik lozimki, theta burchak istalgan k butun son uchun theta, plus, 2, pi yoki theta, plus, 4, pi yoki theta, plus, 2, k, pi deb olinishi kerak, chunki bularning barchasi bir xil burchaklardir. Buning sababi shundaki, agar biz theta burchakni boʻlishdan oldin theta, plus, 2, pi, k bilan almashtirib qoʻysak, natija start fraction, theta, divided by, n, end fraction qiymatiga taʼsir qiladi. Natijada barcha javoblar ushbu shaklda hosil boʻladi:
z, equals, root, start index, n, end index, dot, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis
k ning ayrim butun qiymatlari uchun. Bu qiymatlar turlicha boʻladi, chunki k ning qiymatlar sohasi 0 dan n, minus, 1 gachadir, ammo qachonki k, equals, n boʻlganda biz start fraction, theta, plus, 2, n, pi, divided by, n, end fraction, equals, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, plus, 2, pi burchak start fraction, theta, divided by, n, end fraction burchak bilan bir xil boʻlishiga ahamiyat berishimiz kerak, zero ular bitta toʻliq aylanish bilan farq qiladilar. Shuning uchun barcha javoblarni k ning qiymatlar sohasi 0 dan n, minus, 1 gacha boʻlganda olishimiz mumkin.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.