Asosiy kontent

Matematik analiz asoslari

Course: Matematik analiz asoslari > Unit 5

Lesson 10: Qutbli koʻrinishdagi kompleks sonlarni koʻpaytirish va boʻlish

Kompleks sonlarni koʻpaytirish

Kompleks sonlarni koʻpaytirish kompleks sonlar tekisligidagi grafikda qanday namoyon boʻlishini oʻrganing.

Kompleks koʻpaytirish qanday tasvirlanadi

Biz hozirgacha trigonometrik va algebraik shakldagi ikkita kompleks sonlarni koʻpaytirish haqida maʼlumotga ega boʻldik. Xususan, trigonometrik shaklda biz modullarni koʻpaytiramiz va argumentlarni qoʻshamiz:

\begin{aligned} &\phantom{=}r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)) \cdot s(\cos(\beta) + i\sin(\beta))\\\\ & =rs[\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)] \end{aligned}

Sonlarning trigonometrik shakli nuqtayi nazaridan kompleks koʻpaytirishning muhim jihati shundaki, amalni koʻz oldimizga keltirish imkoniyati boʻladi.

Agar biz kompleks sonlar tekisligidagi har bir nuqtani qandaydir z kompleks songa koʻpaytirsak, nima sodir boʻladi? Agar z kompleks son r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis shaklga ega boʻlsa, yuqorida keltirilgan qoidaga koʻra, tekislikdagi har qaysi nuqta r birlik kattalashadi va theta burchakka buriladi.

Misollar

z, equals, square root of, 3, end square root, plus, i, equals, 2, left parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, right parenthesis uchun z ni koʻpaytirish barcha hadlarni 2 birlikka siljitadi hamda 30, degrees ga buradi, mana bu kabi:

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

z, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction uchun z kompleks sonning moduli quyidagiga teng:

square root of, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, end square root, equals, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction

hamda uning argumenti minus, 45, degrees boʻlib, uni z ga koʻpaytirish barcha hadni start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction, approximately equals, 0, point, 471 birlikka siljitadi, yaʼni qisqartiradi va koordinata boshiga nisbatan minus, 45, degrees ga buradi, yaʼni soat yoʻnalishi boʻylab aylantiradi.

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

z, equals, minus, 2 uchun modul 2 va argument 180, degreesga teng boʻlib, koʻpaytirish sonni koordinata boshiga nisbatan burchakka buradi hamda 2 birlik marta kengaytiradi.

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

Ushbu almashtirish va kompleks koʻpaytirishning umumiy yoʻli bu 1 hamda z sonning ostiga belgi qoʻyib, z songa koʻpaytirish va 1 nuqtani z ning boshlangʻich nuqtasigacha tortishini kuzatishdan iborat, toki z, dot, 1, equals, z. Albatta u buni koordinata boshiga kelgunga qadar qilishi kerak, chunki z, dot, 0, equals, 0.

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

z, dot, 1, equals, z va z, dot, 0, equals, 0 kabi oddiy amallar kompleks koʻpaytiruvni tasavvur qilishda qoʻl kelishi juda qiziq!

Kompleks sonning qoʻshma sonini xayolan tushunish

Tekislikdagi sonni biror z kompleks songa koʻpaytirsak, nima sodir boʻlishini koʻraylik, soʻngra natijani z, with, \bar, on top uning qoʻshma soniga koʻpaytiramiz:

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

Agar z kompleks sonning argumenti theta boʻlsa, z, with, \bar, on top kompleks qoʻshmasining argumenti minus, theta boʻladi, shuning uchun navbatdagi koʻpaytma toʻliq aylanmaydi. Biz buni 1 dan boshlangan nuqta oxir-oqibat musbat haqiqiy sonlar oʻqiga tushishi orqali koʻrishimiz mumkin.

Modulga nima boʻladi? Har ikki son bir xil modulga ega, vertical bar, z, vertical bar, equals, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, shu bois z, with, \bar, on top ni z ga koʻpaytirish umumiy natijasi barcha hadlarni vertical bar, z, vertical bar, dot, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, equals, vertical bar, z, vertical bar, squared birlikka kengaytiradi.

Albatta, bu dalilni formula yordamida koʻrish juda oddiy left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, equals, a, squared, plus, b, squared, equals, vertical bar, a, plus, b, i, vertical bar, squared ekan, buni amalda koʻrish oʻrinli boʻladi!

Kompleks boʻlish qanday amalga oshiriladi?

Agar biz kompleks sonlar tekisligidagi bacha sonlarni z ga koʻpaytirsak, nima sodir boʻladi? Agar z kompleks sonning burchagi theta va moduli r boʻlsa, u holda boʻlish koʻpaytiruvning aksini bajaradi: u barcha sonlarni minus, theta ga buradi va start fraction, 1, divided by, r, end fraction birlikka siljitadi (yaʼni r birlikka qisqartiradi).

1-misol: square root of, 3, end square root, plus, i songa boʻlish

square root of, 3, end square root, plus, i sonning burchagi 30, degrees va uning moduli 2, shu bois barcha sonlar minus, 30, degrees ga buriladi, yaʼni soat yoʻnalishi boʻylab hamda start fraction, 1, divided by, 2, end fraction birlikka siljiydi (yaʼni 2 birlikka qisqaradi).

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

2- misol: start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction songa boʻlish

start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction sonning argumenti minus, 45, degrees va uning moduli esa

Shunday qilib, barcha sonlar plus, 45, degrees ga buriladi va start fraction, 3, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, approximately equals, 2, point, 121 birlikka siljiydi.

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

Ehtimol, siz bu boʻlish amallarini z ning uchida yotgan nuqtani olib, 1 ning ustiga qoʻyganingizda ham koʻrishingiz mumkin.

Kompleks boʻlishni yaqqol koʻrishni formula bilan bogʻlash

start fraction, z, divided by, w, end fraction boʻlinmani hisoblash uchun bu yerda z, equals, a, plus, b, i va w, equals, c, plus, d, i boʻlsin, surat va maxrajini w qoʻshma soniga start overline, w, end overline, equals, c, minus, d, i koʻpaytirishni oʻrgandik.

start fraction, z, divided by, w, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, dot, start fraction, c, minus, d, i, divided by, c, minus, d, i, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, c, minus, d, i, right parenthesis, divided by, c, squared, plus, d, squared, end fraction, equals, start fraction, z, dot, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction

Boshqacha aytganda, w ga boʻlish start fraction, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction ga koʻpaytirish bilan bir xil. Buni tushunish uchun chizmada koʻrishning iloji bormi?

w kompleks sonning argumenti theta va moduli r boʻlsin, w ga boʻlish uchun minus, theta ga burish va start fraction, 1, divided by, r, end fraction ga siljitish kerak. start overline, w, end overline qoʻshma son w sonning qarama-qarshi burchagiga ega ekan, start overline, w, end overline songa koʻpaytirish biz istagandek minus, theta burchakka buradi. Biroq start overline, w, end overline songa koʻpaytirish barcha sonlarni r birlik siljitadi, agarda boshqa tomonga harakatlanishimiz kerak boʻlsa, toʻgʻrilash uchun r, squared, equals, vertical bar, w, vertical bar, squared ga boʻlamiz.

Jumladan, bu yerda toʻgʻridan toʻgʻri 1, plus, 2, i songa boʻlish qanday boʻlishi keltirilgan:

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

Bu yerda dastlab uning qoʻshmasiga 1, minus, 2, i koʻpaytirilib, soʻngra modulining kvadratiga boʻlingani vertical bar, 1, plus, 2, i, vertical bar, squared, equals, 5 keltirilgan.

Khan Academy video muqovasi