Kompleks sonlarni koʻpaytirish

Biz hozirgacha trigonometrik va algebraik shakldagi ikkita kompleks sonlarni koʻpaytirish haqida maʼlumotga ega boʻldik. Xususan, trigonometrik shaklda biz modullarni koʻpaytiramiz va argumentlarni qoʻshamiz:

Sonlarning trigonometrik shakli nuqtayi nazaridan kompleks koʻpaytirishning muhim jihati shundaki, amalni koʻz oldimizga keltirish imkoniyati boʻladi.

Agar biz kompleks sonlar tekisligidagi har bir nuqtani qandaydir $z$‍ kompleks songa koʻpaytirsak, nima sodir boʻladi? Agar $z$‍ kompleks son $r(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$‍ shaklga ega boʻlsa, yuqorida keltirilgan qoidaga koʻra, tekislikdagi har qaysi nuqta $r$‍ birlik kattalashadi va $\theta$‍ burchakka buriladi.

$z=\sqrt{3}+i=2(\cos ({30}^{\circ })+i\sin ({30}^{\circ }))$‍ uchun $z$‍ ni koʻpaytirish barcha hadlarni $2$‍ birlikka siljitadi hamda ${30}^{\circ }$‍ ga buradi, mana bu kabi:

$z={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍ uchun $z$‍ kompleks sonning moduli quyidagiga teng:

hamda uning argumenti $-{45}^{\circ }$‍ boʻlib, uni $z$‍ ga koʻpaytirish barcha hadni ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\approx 0.471$‍ birlikka siljitadi, yaʼni qisqartiradi va koordinata boshiga nisbatan $-{45}^{\circ }$‍ ga buradi, yaʼni soat yoʻnalishi boʻylab aylantiradi.

$z=-2$‍ uchun modul $2$‍ va argument ${180}^{\circ }$‍ga teng boʻlib, koʻpaytirish sonni koordinata boshiga nisbatan burchakka buradi hamda $2$‍ birlik marta kengaytiradi.

Ushbu almashtirish va kompleks koʻpaytirishning umumiy yoʻli bu $1$‍ hamda $z$‍ sonning ostiga belgi qoʻyib, $z$‍ songa koʻpaytirish va $1$‍ nuqtani $z$‍ ning boshlangʻich nuqtasigacha tortishini kuzatishdan iborat, toki $z\cdot 1=z$‍. Albatta u buni koordinata boshiga kelgunga qadar qilishi kerak, chunki $z\cdot 0=0$‍.

$z\cdot 1=z$‍ va $z\cdot 0=0$‍ kabi oddiy amallar kompleks koʻpaytiruvni tasavvur qilishda qoʻl kelishi juda qiziq!

Tekislikdagi sonni biror $z$‍ kompleks songa koʻpaytirsak, nima sodir boʻlishini koʻraylik, soʻngra natijani $\overline{z}$‍ uning qoʻshma soniga koʻpaytiramiz:

Agar $z$‍ kompleks sonning argumenti $\theta$‍ boʻlsa, $\overline{z}$‍ kompleks qoʻshmasining argumenti $-\theta$‍ boʻladi, shuning uchun navbatdagi koʻpaytma toʻliq aylanmaydi. Biz buni $1$‍ dan boshlangan nuqta oxir-oqibat musbat haqiqiy sonlar oʻqiga tushishi orqali koʻrishimiz mumkin.

Modulga nima boʻladi? Har ikki son bir xil modulga ega, $|z|=|\overline{z}|$‍, shu bois $\overline{z}$‍ ni $z$‍ ga koʻpaytirish umumiy natijasi barcha hadlarni $|z|\cdot |\overline{z}|=|z{|}^2$‍ birlikka kengaytiradi.

Albatta, bu dalilni formula yordamida koʻrish juda oddiy $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|a+bi{|}^2$‍ ekan, buni amalda koʻrish oʻrinli boʻladi!

Agar biz kompleks sonlar tekisligidagi bacha sonlarni $z$‍ ga koʻpaytirsak, nima sodir boʻladi? Agar $z$‍ kompleks sonning burchagi $\theta$‍ va moduli $r$‍ boʻlsa, u holda boʻlish koʻpaytiruvning aksini bajaradi: u barcha sonlarni $-\theta$‍ ga buradi va ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍ birlikka siljitadi (yaʼni $r$‍ birlikka qisqartiradi).

$\sqrt{3}+i$‍ sonning burchagi ${30}^{\circ }$‍ va uning moduli $2$‍, shu bois barcha sonlar $-{30}^{\circ }$‍ ga buriladi, yaʼni soat yoʻnalishi boʻylab hamda ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ birlikka siljiydi (yaʼni $2$‍ birlikka qisqaradi).

${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍ sonning argumenti $-{45}^{\circ }$‍ va uning moduli esa

Shunday qilib, barcha sonlar $+{45}^{\circ }$‍ ga buriladi va ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}\approx 2.121$‍ birlikka siljiydi.

Ehtimol, siz bu boʻlish amallarini $z$‍ ning uchida yotgan nuqtani olib, $1$‍ ning ustiga qoʻyganingizda ham koʻrishingiz mumkin.

${\displaystyle \frac{z}{w}}$‍ boʻlinmani hisoblash uchun bu yerda $z=a+bi$‍ va $w=c+di$‍ boʻlsin, surat va maxrajini $w$‍ qoʻshma soniga $\bar{w}=c-di$‍ koʻpaytirishni oʻrgandik.

Boshqacha aytganda, $w$‍ ga boʻlish ${\displaystyle \frac{\bar{w}}{|w{|}^2}}$‍ ga koʻpaytirish bilan bir xil. Buni tushunish uchun chizmada koʻrishning iloji bormi?

$w$‍ kompleks sonning argumenti $\theta$‍ va moduli $r$‍ boʻlsin, $w$‍ ga boʻlish uchun $-\theta$‍ ga burish va ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍ ga siljitish kerak. $\bar{w}$‍ qoʻshma son $w$‍ sonning qarama-qarshi burchagiga ega ekan, $\bar{w}$‍ songa koʻpaytirish biz istagandek $-\theta$‍ burchakka buradi. Biroq $\bar{w}$‍ songa koʻpaytirish barcha sonlarni $r$‍ birlik siljitadi, agarda boshqa tomonga harakatlanishimiz kerak boʻlsa, toʻgʻrilash uchun $r^2=|w{|}^2$‍ ga boʻlamiz.

Jumladan, bu yerda toʻgʻridan toʻgʻri $1+2i$‍ songa boʻlish qanday boʻlishi keltirilgan:

Bu yerda dastlab uning qoʻshmasiga $1-2i$‍ koʻpaytirilib, soʻngra modulining kvadratiga boʻlingani $|1+2i{|}^2=5$‍ keltirilgan.

Har ikkalasining natijasi bir xil.