Asosiy kontent

Course: Geometriya > Unit 6

Lesson 3: Ixtiyoriy uchburchaklarga oid masalalar

Sinus va kosinuslar teoremasi sharhi

Sinuslar va kosinuslar teoremasini koʻrib chiqing va undan foydalanib uchburchaklarga oid misollarni yechiing.

Sinuslar teoremasi

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}

Kosinuslar teoremasi

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)

Sinuslar teoremasi haqida koʻproq bilimga ega boʻlmoqchimisiz? Ushbu videoni tomosha qiling.
Kosinuslar teoremasi haqida koʻproq bilimga ega boʻlmoqchimisiz? Ushbu videoni tomosha qiling.

1-amaliy mashq: uchburchaklarni sinuslar teoremasidan foydalanib yeching

Bu teorema burchak va ikki tomon berilgan boʻlsa, nomaʼlum burchakni aniqlash uchun yoki ikki burchak va bir tomon berilgan boʻlsa, nomaʼlum tomonni aniqlash uchun xizmat qiladi.

1-mashq: nomaʼlum tomonni aniqlash

Quyidagi uchburchakda

A C

ni aniqlaylik:

Sinuslar teoremasiga koʻra,

\frac{A B}{\sin (∠ C)} = \frac{A C}{\sin (∠ B)}

. Endi qiymatlarni oʻrniga qoʻyib, masalani ishlaymiz:

\begin{aligned} \frac{A B}{\sin (∠ C)} & = \frac{A C}{\sin (∠ B)} \\ \frac{5}{\sin (33^{\circ})} & = \frac{A C}{\sin (67^{\circ})} \\ \frac{5 \sin (67^{\circ})}{\sin (33^{\circ})} & = A C \\ 8, 45 & \approx A C \end{aligned}

2-mashq: nomaʼlum burchakni aniqlash

Quyidagi uchburchakda

m ∠ A

ni aniqlaylik:

Sinuslar teoremasiga koʻra,

\frac{B C}{\sin (∠ A)} = \frac{A B}{\sin (∠ C)}

. Endi qiymatlarni oʻrniga qoʻyib, masalani ishlaymiz:

\begin{aligned} \frac{B C}{\sin (∠ A)} & = \frac{A B}{\sin (∠ C)} \\ \frac{11}{\sin (∠ A)} & = \frac{5}{\sin (25^{\circ})} \\ 11 \sin (25^{\circ}) & = 5 \sin (∠ A) \\ \frac{11 \sin (25^{\circ})}{5} & = \sin (∠ A) \end{aligned}

Biz endi kalkulyator yordamida hisoblaymiz va yaxlitlaymiz:

m ∠ A = \sin^{- 1} (\frac{11 \sin (25^{\circ})}{5}) \approx 68, 4^{\circ}

Yodda tutingki, nomaʼlum burchak oʻtmas boʻlsa, biz

180^{\circ}

ni olishimiz va undan kalkulyatorda olgan natijamizni ayirishimiz kerak.

1.1-masala

B C =

Javobingizni oʻndan birlar xonasigacha yaxlitlang.

Shu kabi koʻproq masalani ishlamoqchimisiz? Ushbu mashqni koʻrib chiqing.

2-amaliy mashq: uchburchaklarni kosinuslar teoremasidan foydalanib yeching

Bu teorema barcha tomon uzunliklari berilganda nomaʼlum burchaklarni aniqlash uchun qulaydir. Shuningdek, bu ikki tomon va burchak berilgan boʻlsa, qolgan bir tomonni aniqlash uchun ham juda zarur.

1-mashq: nomaʼlum burchakni aniqlash

Quyidagi uchburchakda

m ∠ B

ni aniqlaylik:

Kosinuslar teoremasiga muvofiq:

(A C)^{2} = (A B)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A B) (B C) \cos (∠ B)

Endi qiymatlarni qoʻyib, yechishimiz mumkin:

\begin{aligned} (5)^{2} & = (10)^{2} + (6)^{2} - 2 (10) (6) \cos (∠ B) \\ 25 & = 100 + 36 - 120 \cos (∠ B) \\ 120 \cos (∠ B) & = 111 \\ \cos (∠ B) & = \frac{111}{120} \end{aligned}

Biz endi kalkulyator yordamida hisoblaymiz va yaxlitlaymiz:

m ∠ B = \cos^{- 1} (\frac{111}{120}) \approx 22, 33^{\circ}

2-mashq: nomaʼlum tomonni aniqlash

Quyidagi uchburchakda

A B

ni aniqlaylik:

Kosinuslar teoremasiga muvofiq:

(A B)^{2} = (A C)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A C) (B C) \cos (∠ C)

Endi qiymatlarni qoʻyib, yechishimiz mumkin:

\begin{aligned} (A B)^{2} & = (5)^{2} + (16)^{2} - 2 (5) (16) \cos (61^{\circ}) \\ (A B)^{2} & = 25 + 256 - 160 \cos (61^{\circ}) \\ A B & = \sqrt{281 - 160 \cos (61^{\circ})} \\ A B & \approx 14, 3 \end{aligned}

2.1-masala

m ∠ A =

^{\circ}

Javobingizni eng yaqin butun gradusgacha yaxlitlang.

Koʻproq shu kabi misollarni ishlamoqchimisiz? Ushbu mashqni koʻrib chiqing.

3-amaliy misollar: oddiy uchburchak masalalari

3.1-masala

“Faqat biri qoladi”. Rustam ukasiga bekingan joyidan turib ovoz beradi.

Murod soʻnggi yovuz robotni topib, boshi bilan ishora qiladi.

“

34

gradusda”. Murod Rustamga u va robot oʻrtasidagi burchakni kuzatish orqali xabar beradi.

Rustam bu qiymatni diagrammaga (quyida tasvirlangan) qoʻyadi va hisob-kitob qiladi. Toʻgʻri masofada lazerini moslash orqali u turib, moʻljalga oladi va oʻq uzadi.

Rustam qanday masofada lazerini moslaydi?
Hisob-kitob jarayonida yaxlitlamang. Soʻnggi javobingizni yaqin metrgacha yaxlitlang.

m

Mavzuga oid koʻproq misollarni ishlashni xohlaysizmi? Ushbu misolni koʻrib chiqing.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.