If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Geometriya

Course: Geometriya > Unit 5

Lesson 7: Toʻgʻri burchakli uchburchakda trigonometrik nisbatlardan foydalanib burchaklarni aniqlash
Matematika
Geometriya
Toʻgʻri burchakli uchburchaklar & trigonometriya
Toʻgʻri burchakli uchburchakda trigonometrik nisbatlardan foydalanib burchaklarni aniqlash
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Teskari trigonometrik funksiyalar: kirish

Google sinfxona
Arksinus, arkkosinus va arktangenslarni bilib oling va toʻgʻri burchakli uchburchaklarda berilmagan tomonni aniqlash uchun ulardan qanday foydalanish kerakligini oʻrganing.
Keling, yangi turdagi trigonometrik masalani koʻrib chiqaylik. Qizigʻi shundaki, bu masalalar sinus, kosinus yoki tangens yordamida yechilmaydi.
Masala: quyidagi uchburchakda L burchak qanchaga teng?
Biz biladigan narsa: angle, L ga nisbatan qarama-qarshi va yopishgan katetlar uzunliklaridir. Buni quyidagicha yozishimiz mumkin:
tangent, left parenthesis, L, right parenthesis, equals, start fraction, start text, q, a, r, a, m, a, negative, q, a, r, s, h, i, space, k, a, t, e, t, end text, divided by, start text, y, o, p, i, s, h, g, a, n, space, k, a, t, e, t, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
Ammo bu angle, L burchak oʻlchovini aniqlashda yordam bermaydi. Biz toʻxtab qoldik!
Bizga keraklisi: bunday masalalarni ishlash uchun yangi matematik mexanizm zarur. Bizning doʻstlarimiz – sinus, kosinus va tangens – bu vazifani bajara olmaydi. Ular burchaklarni oladi va tomon nisbatlarini aniqlaydi, ammo bizga tomon nisbatlarini olib, burchaklarni aniqlaydigan funksiyalar kerak. Buning uchun bizga teskari trigonometrik funksiyalar zarur!

Teskari trigonometrik funksiyalar

Teskari amallar haqida biz allaqachon maʼlumotlarga ega boʻldik. Masalan, qoʻshish va ayirish, koʻpaytirish va boʻlish bir-biriga teskari amallardir. Bu amallar bir-biriga qarama-qarshi.
Trigonometriyada ham asos aynan shunday. Yaʼni teskari trigonometrik funksiyalar “oddiy” trigonometrik funksiyalarning qarama-qarshisi hisoblanadi. Masalan:
  • Teskari sinus left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis sinusning qarama-qarshisini bildiradi.
  • Teskari kosinus left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis kosinusning qarama-qarshisini bildiradi.
  • Teskari tangens left parenthesis, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis tangensning qarama-qarshisini bildiradi.
Umuman olganda, sizga trigonometrik nisbat maʼlum, burchak esa nomaʼlum boʻlsa, muvofiq keluvchi trigonometrik funksiyadan foydalanib burchakni aniqlashingiz mumkin. Quyida bu matematik jihatdan ifodalangan:
Trigonometrik funksiyalarning berilgan burchaklari va maʼlum tomon nisbatlariTeskari trigonometrik funksiyalarning berilgan tomon nisbatlari va maʼlum burchaklari
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, q, a, r, a, m, a, negative, q, a, r, s, h, i, space, k, a, t, e, t, end text, divided by, start text, g, i, p, o, t, e, n, u, z, a, end text, end fractionright arrowsine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, q, a, r, a, m, a, negative, q, a, r, s, h, i, space, k, a, t, e, t, end text, divided by, start text, g, i, p, o, t, e, n, u, z, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, y, o, p, i, s, h, g, a, n, space, k, a, t, e, t, end text, divided by, start text, g, i, p, o, t, e, n, u, z, a, end text, end fractionright arrowcosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, y, o, p, i, s, h, g, a, n, space, k, a, t, e, t, end text, divided by, start text, g, i, p, o, t, e, n, u, z, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, q, a, r, a, m, a, negative, q, a, r, s, h, i, space, k, a, t, e, t, end text, divided by, start text, y, o, p, i, s, h, g, a, n, space, k, a, t, e, t, end text, end fractionright arrowtangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, q, a, r, a, m, a, negative, q, a, r, s, h, i, space, k, a, t, e, t, end text, divided by, start text, y, o, p, i, s, h, g, a, n, space, k, a, t, e, t, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta

Notoʻgʻri tushuncha haqida ogohlantirish!

sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis ifodasi start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction ifodasi bilan bir xil emas. Boshqacha aytadigan boʻlsak, minus, 1 eksponent emas. Aksincha, bu oddiy teskari funksiyadir.
Shunga qaramay, bu tushunmovchilikning oldini oluvchi boshqa ifodalar mavjud. Teskari sinus, shuningdek, \arcsin, teskari kosinus \arccos va teskari tangens \arctan deb ifodalanishi ham mumkin. Bu tushunchalar matematikadan koʻra kompyuter dasturlash tilida koʻproq ishlatiladi.

Dastlabki masalani ishlash

Dastlabki masalada qarama-qarshi va yopishgan katet uzunliklari berilgan. Biz burchakni topish uchun teskari tangensdan foydalanishimiz mumkin.
m∠L=tan⁡−1( qarama-qarshi katet  yopishgan katet )Toping.m∠L=tan⁡−1(3565)Qiymatlarni oʻrniga qoʻying.m∠L≈28.30∘Kalkulyator yordamida hisoblang.\begin{aligned} { m\angle L}&=\tan^{-1} \left(\dfrac{\text{} \blueD{\text{ qarama-qarshi katet }} }{\text{}\maroonC{\text{ yopishgan katet} }\text{ }} \right)\quad\small{\gray{\text{Toping.}}} \\\\ m\angle L&=\tan^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)\quad\small{\gray{\text{Qiymatlarni oʻrniga qoʻying.}}} \\\\ m\angle L &\approx 28.30^\circ \quad\small{\gray{\text{Kalkulyator yordamida hisoblang.}}}\end{aligned}

Keling, bir nechta amaliy masalalarni koʻrib chiqaylik.

1-masala
triangle, K, I, P berilgan, siz m, angle, I burchakni toping.
Javobingizni yuzdan birlar xonasigacha yaxlitlang.
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi
degrees

2-masala
triangle, D, E, F berilgan, siz m, angle, E burchakni toping.
Javobingizni yuzdan birlar xonasigacha yaxlitlang.
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi
degrees

3-misol
triangle, K, I, P berilgan, siz m, angle, I burchakni toping.
Javobingizni yuzdan birlar xonasigacha yaxlitlang.
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi
degrees

Murakkab masala
Uchburchakni butunligicha aniqlang. Barcha nomaʼlum tomonlar va nomaʼlum burchaklarni toping.
Javobingizni yuzdan birlar xonasigacha yaxlitlang.
O, E, equals
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi
m, angle, O, equals
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi
degrees
m, angle, Z, equals
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi
degrees

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.