If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Ichki chizilgan burchak teoremasining isboti

Ichki chizilgan burchak bir xil yoyga yopishgan markaziy burchakning yarmiga tengligini isbotlash

Ishga kirishamiz

Teorema isbotiga oʻtishdan oldin, keling, aylanaga oid bir nechta ajoyib atamalarni tushunganimizga ishonch hosil qilib olamiz.
Bu yerda atamalarni mustaqil topa olishingizni tekshirish maqsadida qisqagina mashq berilgan:
Rasmdan foydalanib oʻzgaruvchilarni mos atamalarga toʻgʻrilang.
1

Ajoyib javob! Biz bu terminlardan darsimiz davomida foydalanamiz.

Nimani isbotlamoqchimiz?

Biz aylanaga ichki chizilgan burchak (ψ) va markaziy burchak (θ) bitta yoyga tiralsa, qanday ajoyib hodisa roʻy berishini isbotlamoqchimiz: markaziy burchak oʻlchami ichki chizilgan burchak oʻlchamidan ikki marta katta.
θ=2ψ

Isbotning qisqacha mazmuni

Barcha θ va ψ lar uchun (yuqorida taʼkidlaganimizdek) θ=2ψ ekanini isbotlash maqsadida uchta alohida holatni koʻrib chiqamiz:
A holatB holatC holat
Uchala holat ham markaziy burchak va ichki burchak bir yoyga tiralgan holatdagi barcha mavjud vaziyatlarni koʻrib chiqadi.

A holat: diametr ichki chizilgan burchak ψ ning bitta nurida yotadi.

1-qadam: teng yonli uchburchakni toping.

BC va BD kesmalar radiuslardir, shu bois ularning uzunligi teng. Bu esa CBD teng yonli ekanini anglatadi, shuningdek, asosiga yopishgan burchaklar ham teng.
mC=mD=ψ

2-qadam: yoyiq burchakni toping.

ABC yoyiq burchak, shuning uchun:
θ+mDBC=180mDBC=180θ

3-qadam: tenglama tuzing va ψ ni toping.

CBD ning ichki burchaklari ψ, ψ va (180θ) va bizga maʼlumki, har qanday uchburchakning ichki burchaklari yigʻindisi 180 ga teng.
ψ+ψ+(180θ)=1802ψ+180θ=1802ψθ=02ψ=θ
Ajoyib! A holat yuzasidan isbotimizni tugatdik. Atigi ikkita holat qoldi!

B holat: diametr ichki chizilgan burchak ψ nurlari oʻrtasida joylashadi.

1-bosqich: bilimingizni ishga solib diametr chizing.

Diametrdan foydalanib ψ ni ψ1 va ψ2 larga hamda θ ni θ1 va θ2 larga quyidagicha boʻlamiz:

2-bosqich: ikkita tenglama hosil qilish uchun A holatda oʻrganganlarimizdan foydalaning.

Yangi diagrammada diametr aylanani teng ikkiga boʻladi. Har qaysi yarim aylanada ichki chizilgan burchak boʻlib, nurlarining biri aylana diametridir. Bu A holat bilan bir xil vaziyat, shu bois biz quyidagilarni bilishimiz mumkin:
(1)θ1=2ψ1
va
(2)θ2=2ψ2
A holatda oʻrganganlarimizga muvofiq.

3-bosqich: tenglamani yeching.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2 Qoʻshing (1) va (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Oʻzgaruvchilarni guruhlangθ=2ψθ=θ1+θ2 va ψ=ψ1+ψ2
B holat tugadi. Yana bitta holat qoldi!

C holat: diametr ichki chizilgan burchak nurlaridan tashqarida.

1-bosqich: bilimingizni ishga solib diametr chizing.

Diametrdan foydalanib ikkita yangi burchak hosil qilamiz: θ2 va ψ2 quyidagi tarzdadir:

2-bosqich: ikkita tenglama hosil qilish uchun A holatda oʻrganganlarimizdan foydalaning.

B holatdagi kabi A holatda oʻrganganlarimizdan foydalanish maqsadida diagramma hosil qildik. Ushbu diagrammadan quyidagilarni aniqlashimiz mumkin:
(1)θ2=2ψ2
(2)(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)

3-bosqich: oʻrniga qoʻying va soddalashtiring.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ
Bajarib boʻldik! Hamma holatlarda θ=2ψ ekanini isbotladik.

Qilgan ishlarimiz haqida qisqacha maʼlumot

Biz markaziy burchak oʻlchami ichki chizilgan burchak oʻlchamidan ikki marta katta ekanini isbotladik, bu yerda har ikki burchak bir yoy ostida kesishadi.
Isbotimizni uch xil holat bilan boshladik. Uchala holat ham markaziy burchak va ichki burchak bir yoy ostida kesishgan holatdagi barcha mavjud vaziyatlarni koʻrib chiqdi.
A holatB holatC holat
A holatda teng yonli uchburchak va yoyiq burchaklarni topdik. Ulardan ψ va θ ishtirokida bir necha tenglamalar tuzdik. Qisqagina algebradan foydalanib θ=2ψ ligini isbotladik.
B va C holatlarda aql bilan diametrni kiritdik:
B holatC holat
Bu A holatda erishgan natijalarimizdan foydalanish imkonini berdi. B holat va C holatlarda tasvirdagi oʻzgaruvchilardan iborat tenglama hosil qildik, bunga faqat A holatda oʻrganganlarimizga tayandik. Teglamalarimizni tuzib boʻlgach, bir necha algebraviy amallarni bajarib, θ=2ψ ekanini isbotladik.