If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 6

Lesson 1: Ratsional ifodalarni soddalashtirish
Matematika
Algebra II
Ratsional munosabatlar
Ratsional ifodalarni soddalashtirish
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Ratsional ifodalarni soddalashtirish mavzusi bilan tanishish

Google sinfxona
Ratsional ifodalarni soddalashtirishning ahamiyatini va uni qanday amalga oshirishni 'oʻrganing!

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Ratsional ifoda ikki koʻphadlarning nisbatidir. Ratsional ifodaning aniqlanish sohasi maxrajni nolga aylantiradigan qiymatlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir.
Masalan, start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction ratsional ifodaning aniqlanish sohasi start text, negative, 1, end text dan boshqa barcha haqiqiy sonlardir yoki x, does not equal, minus, 1.
Agar bu siz uchun yangilik boʻlsa, u holda ushbu ratsional ifodalarga kirish havola bilan tanishing.
Shuningdek, bu dars uchun koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratishni ham bilishingiz kerak.

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Bu darsda ratsional ifodalarni soddalashtirishni bir necha misollar yordamida oʻrganamiz.

Kirish

Ratsional ifoda surat va maxrajining umumiy boʻluvchisi boʻlmasa, u holda ifoda qisqartilmaydigan hisoblanadi.
Ratsional ifodalarni xuddi sonli kasrlarga oʻxshatib qisqartiramiz.
Masalan, start fraction, 6, divided by, 8, end fraction ning qisqartirilgan shakli start fraction, 3, divided by, 4, end fraction.
68=2⋅32⋅4Koʻpaytuvchi=2⋅32⋅4Umumiy boʻluvchiga qisqartiring=34Soddalashtiring\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Koʻpaytuvchi}}} \\\\ &= \dfrac{\tealD{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Umumiy boʻluvchiga qisqartiring}}} \\ \\ &= \dfrac{3}{4} &&\small{\gray{\text{Soddalashtiring}}} \end{aligned}

1-misol: start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction ni qisqartirish

1-qadam: Surat va maxrajni koʻpaytuvchilarga ajratish:
Surat va maxraj umumiy boʻluvchiga ega ekanini tekshirishning yagona yoʻli ularni koʻpaytuvchilarga ajratishdir!
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction
2-qadam: Joiz qiymatlarni aniqlash:
Bu yerda, x ning joiz qiymatlariga ahamiyat berish juda foydali. Bu ifodani qisqargan koʻrinishga olib keladi.
Ifodani 0 ga boʻlish yechim hosil qilmas ekan, shu bois start color #11accd, x, does not equal, 0, end color #11accd va start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 5, end color #aa87ff boʻladi.
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, x, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
3-qadam: Umumiy boʻluvchiga qisqartirish:
Eʼtibor bering, surat va maxraj umumiy x boʻluvchiga ega. Ular qisqartirilishi mumkin.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned}\dfrac{\tealD x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealD {\cancel {x}}(x+3)}{\tealD{\cancel x}(x+5)}\\ \\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
4-qadam: Yakuniy qadam:
Esingizda boʻlsa, asl ifoda x, does not equal, 0, comma, minus, 5 da aniqlanmagan edi. Soddalashtirilgan ifoda ham xuddi shu cheklovga amal qilishi kerak.
Shuning uchun x, does not equal, 0 qiymatga eʼtibor berishimiz kerak. x, does not equal, minus, 5 qiymatga ahamiyat berish shart emas, chunki bu ifodadan maʼlum.
Demak, soddalashtirilgan shakl quyidagicha yoziladi:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, x, does not equal, 0 uchun

Ekvivalent ifodalar haqida eslatma

Asl ifoda\quadQisqartirilgan ifoda
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction\quadstart fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction uchun x, does not equal, 0
Yuqoridagi ifodalar ekvivalentdir. Bu ularning erksiz oʻzgaruvchilari barcha x qiymatlarida bir xilligini anglatadi. Quyidagi jadval bu bir xillikni x, equals, 2 qiymatida tekshiradi.
Asl ifoda\quadQisqartirilgan ifoda
start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff da hisoblash(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2⋅52⋅7=2⋅52⋅7=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{2})^2+3(\purpleC{2})}{(\purpleC{2})^2+5(\purpleC{2})}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleC{{2}}\cdot 5}{\purpleC{{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 5}{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned}2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{2}+3}{\purpleC{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned}
Eslatma:Natija umumiy koʻpaytuvchi start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff ga qisqartirilgani .Natija allaqachon qisqartirilgan, chunki umumiy koʻpaytuvchi x left parenthesisbu yerda start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff, right parenthesis qisqartirish jarayonida tushirib qoldirildi.
Shu sababli ikkala ifoda ham bir xil erkli oʻzgaruvchida bir xil qiymatga ega. Biroq asl tenglamani yechimsiz qiladigan qiymati bu qoidaga tushmaydi. Bu start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff bilan qanday sodir boʻlishiga ahamiyat bering.
Asl ifoda\quadSoddalashtirilgan ifoda (cheklashsiz)
start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff da hisoblash(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=yechimga ega emas\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{0})^2+3(\purpleC{0})}{(\purpleC{0})^2+5(\purpleC{0})}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{yechimga ega emas}\end{aligned}0+30+5=35undefined\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{0}+3}{\purpleC{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\\\\\&\phantom{\text{{undefined}}}\end{aligned}
Ikkala ifoda barcha erkli oʻzgaruvchilarda ekvivalent boʻlgani uchun soddalashtirilgan ifoda uchun ham x, does not equal, 0 talab etiladi.

Notoʻgʻri tushuncha haqida ogohlantirish

Ahamiyat bergan boʻlsangiz, quyidagi ifodada x ni qisqartira olmaymiz. Sababi ular koʻphadlarning koʻpaytuvchilari boʻlmagan hadlaridir.
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10 space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Bu sonli kasrda yanada yaqqol namoyon boʻladi. Masalan, start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff boʻlsin.
start fraction, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 3, divided by, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Qoidaga koʻra, agar surat va maxraj koʻpaytuvchilarga yoyilgan koʻrinishida boʻlgandagina qisqartirishimiz mumkin!

Qisqartirish amalining umumiy xulosasi:

  • 1-qadam: Surat va maxrajni koʻpaytuvchilarga ajrating;
  • 2-qadam: Aniqlanish sohasidagi qiymatlarni aniqlang;
  • 3 - qadam: Umumiy boʻluvchiga qisqartiring;
  • 4-qadam: Soddalashtiring hamda ifoda bilan bogʻliq boʻlmagan har qanday cheklangan qiymatlarga eʼtibor bering.

Tushunganingizni tekshiring

1) soddalashtiring: start fraction, 6, x, plus, 20, divided by, 2, x, plus, 10, end fraction.
Bitta javobni tanlang:

2) soddalashtiring: start fraction, x, cubed, minus, 3, x, squared, divided by, 4, x, squared, minus, 5, x, end fraction.
uchun x, does not equal
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

2-misol: start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction ni soddalashtirish

1-qadam: Surat va maxrajni koʻpaytuvchilarga ajratish:
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
2-qadam: Joiz qiymatlarni aniqlash:
Ifodani 0 ga boʻlish aniqlanmagan, u holda start color #11accd, x, does not equal, minus, 2, end color #11accd va start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 3, end color #aa87ff boʻladi.
start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
3-qadam: Umumiy boʻluvchiga qisqartirish:
Eʼtibor bering, surat va maxraj umumiy start color #01a995, x, plus, 3, end color #01a995 koʻpaytuvchiga ega. Ular qisqartirilishi mumkin.
(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=x−3x+2\begin{aligned}\dfrac{(x-3)\tealD{(x+3)}}{(x+2)\tealD{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealD{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealD{\cancel{(x+3)}}}\\ \\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
4-qadam: Yakuniy qadam:
Qisqartirilgan shaklni quyidagicha yozamiz:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction uchun x, does not equal, minus, 3
Asl ifodada x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3. Biz x, does not equal, minus, 2 ga ahamiyat berishimiz shart emas, sababi bu ifodadan maʼlum.

Tushunganingizni tekshiring

3) soddalashtiring: start fraction, x, squared, minus, 3, x, plus, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction.
Bitta javobni tanlang:

4) qisqartiring: start fraction, x, squared, minus, 2, x, minus, 15, divided by, x, squared, plus, x, minus, 6, end fraction.
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi
x, does not equal uchun

Keyingisi nima?

Ushbu havolamiz orqali oʻrganishda davom eting ratsional ifodalarni qisqartirishga oid murakkab dars. Bu yerda yanada qiyinroq misollarning murakkabroq usulda yechilishini koʻrasiz.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.