Asosiy kontent

Course: Algebra II > Unit 6

Lesson 1: Ratsional ifodalarni soddalashtirish

Ratsional ifodalar mavzusiga kirish

Ratsional ifodalar va ularning qaysi qiymatlarda aniqlanmaganini oʻrganing.

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Bu darsda siz ratsional ifodalar bilan tanishasiz. Ratsional ifoda maʼnoga ega boʻlmaganda uni aniqlashni hamda uning aniqlash sohasini topishni oʻrganasiz.

Ratsional ifoda nima?

Koʻphad bu

x

ning butun darajalari yigʻindisidir, masalan

3 x^{2} - 6 x - 1

Ratsional ifoda bu oddiygina ikki koʻphadning boʻlinmasi. Yoki boshqacha aytganda, surat va maxraji koʻphad boʻlgan kasrdir.

Quyidagilar ratsional ifodalarga misol boʻladi:

$\frac{1}{x}$ ‍, $\frac{x + 5}{x^{2} - 4 x + 4}$ ‍, $\frac{x (x + 1) (2 x - 3)}{x - 6}$ ‍

Eʼtibor bering, surat oʻzgarmas boʻlishi hamda koʻphadlar turli darajalarga ega boʻlishi va koʻpaytma koʻrinishida boʻlishi mumkin.

Ratsional ifodalar va aniqlanmagan qiymatlar

\frac{2 x + 3}{x - 2}

ratsional ifodani koʻrib chiqamiz.

Ifodaning qiymatini muayyan

x

qiymatida aniqlaymiz. Masalan,

x = 1

da ifodaning qiymatini topamiz.

$\begin{aligned} \frac{2 (1) + 3}{1 - 2} & = \frac{5}{- 1} \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

Bundan koʻrishimiz mumkinki,

x = 1

boʻlganda ifodaning qiymati

- 5

ga teng.

Endi

x = 2

boʻlganda ifodaning qiymatini topamiz.

$\begin{aligned} \frac{2 (2) + 3}{2 - 2} & = \frac{7}{0} \\ = yechimga ega emas! \end{aligned}$ ‍

Erkli oʻzgaruvchining

2

ga teng qiymatida maxraj

0

ga teng boʻladi.

0

ga boʻlish amali aniqlanmagan, demak,

x = 2

ushbu ifodaga joiz qiymat boʻla olmaydi.

Ratsional ifodalarning aniqlash sohasi

Har qanday ifodaning aniqlash sohasi bu barcha joiz erkli oʻzgaruvchilari toʻplamidir.

Ratsional ifodalarda esa, erkli oʻzgaruvchi qilib, maxrajni

0

ga teng qiladigan qiymatlardan boshqa barcha qiymatlarni olishimiz mumkin (chunki

0

ga boʻlish amali aniqlanmagan).

Boshqacha aytganda, ratsional ifodalarni aniqlanish sohasi maxrajni nolga aylantiradigan qiymatlardan boshqa barcha haqiqiy sonlar toʻplamidir.

Misol: $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍ ifodaning aniqlash sohasini topish.

Maxrajni nolga aylantiradigan qiymatlarni topamiz:

$\begin{aligned} (x - 3) (x + 4) = 0 \\ x - 3 = 0 yoki x + 4 = 0 & Nolga teng boʻlgandagi qiymatlar \\ x = 3 or x = - 4 & x ni toping \end{aligned}$ ‍

Shunday qilib, aniqlash sohasi $3$ ‍ va $-4$ ‍ dan tashqari barcha haqiqiy sonlardir yoki

x \neq 3, - 4

Mavzu boʻyicha bilimingizni sinab koʻring

1) $\frac{x + 1}{x - 7}$ ‍ ifodaning aniqlash sohasini toping.

2) $\frac{3 x - 7}{2 x + 1}$ ‍ ifodaning aniqlash sohasini toping.

Ratsional ifodaning aniqlash sohasi bu maxrajni nol qiluvchi qiymatdan tashqari barcha aniq sonlardir.

Maxrajni nol qiluvchi qiymatlarni topamiz:

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 & 1 ni har ikki tomonidan ayiring. \\ x & = - \frac{1}{2} & Har ikki tomonini 2 ga boʻling. \end{aligned}$ ‍

- \frac{1}{2}

soni maxrajni

0

ga teng qilgani bois biz buni aniqlash sohasidan chiqarib tashlaymiz.

Aniqlash sohasi $- \frac{1}{2}$ ‍ dan tashqari barcha aniq sonlar yoki

x \neq - \frac{1}{2}

3) $\frac{2 x - 3}{x (x + 1)}$ ‍ ifodaning aniqlash sohasini toping.

Ratsional ifodaning aniqlash sohasi bu maxrajni nol qiluvchi qiymatdan tashqari barcha aniq sonlardir.

Maxrajni nol qiluvchi qiymatlarni topamiz:

$\begin{aligned} x (x + 1) = 0 \\ x = 0 yoki x + 1 = 0 & Nolga teng boʻlgandagi qiymati \\ x = 0 yoki x = - 1 & x ni toping. \end{aligned}$ ‍

Maxrajni nol qiluvchi qiymatlar

0

- 1

boʻlgani bois aniqlash sohasiga bu qiymatlar kirmaydi.

Aniqlash sohasi $0$ ‍ va $- 1$ ‍ dan tashqari barcha aniq sonlar. Boshqacha aytganda,

x \neq 0, - 1

Murakkab masalalar

4) $\frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 8}$ ‍ ifodaning aniqlash sohasini toping.

Ratsional ifodaning aniqlash sohasi bu maxrajni nol qiluvchi qiymatdan tashqari barcha aniq sonlardir.

Ushbu holatda maxraj koʻpaytuvchi koʻrinishga ega emas. Shu bois biz yo maxrajni koʻpaytuvchilarga ajratishimiz kerak, yo uni nol qiluvchi boshqa usullardan foydalanishimiz kerak.

Eʼtibor bering

x^{2} - 2 x - 8 = 0

ifoda osongina koʻpaytuvchilarga ajraladi. Shunda bizda quyidagilar hosil boʻladi:

$\begin{aligned} x^{2} - 2 x - 8 = 0 \\ (x - 4) (x + 2) = 0 \\ x - 4 = 0 yoki x + 2 = 0 & Nolga teng boʻlgandagi qiymati \\ x = 4 yoki x = - 2 & x ni toping. \end{aligned}$ ‍

Maxrajni nol qiluvchi qiymatlar

- 2

4

boʻlgani bois aniqlash sohasiga bu qiymatlar kirmaydi.

Aniqlash sohasi $- 2$ ‍ va $4$ ‍ dan tashqari barcha aniq sonlar. Boshqacha aytganda,

x \neq - 2, 4

5) $\frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ ‍ ifodaning aniqlash sohasini toping.

Ratsional ifodaning aniqlash sohasi bu maxrajni nol qiluvchi qiymatdan tashqari barcha aniq sonlardir.

Biroq ushbu vaziyatda maxraj hech qachon nolga teng boʻlmaydi. Sababi

x^{2} + 4 > 0

ifoda

x

ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun toʻgʻri.

Buni topishning yana bir yoʻli maxrajni nolga tenglashtirib,

x

ni topish kerak.

$\begin{aligned} x^{2} + 4 & = 0 \\ x^{2} & = - 4 & Haqiqiy son kvadratga oshirilganda har doim musbat son hosil boʻladi! \end{aligned}$ ‍

Biroq bu yerda buni iloji yoʻq, sababi haqiqiy sonning kvadrati hech qachon manfiy boʻla olmaydi!

Maxraj

0

boʻla olmagani uchun aniqlash sohasida cheklov yoʻq. Shunday qilib, aniqlash sohasi barcha haqiqiy sonlarning toʻplamidir.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 6

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Ratsional ifoda nima?

Ratsional ifodalar va aniqlanmagan qiymatlar

Ratsional ifodalarning aniqlash sohasi

Misol: x+1(x−3)(x+4)‍ ifodaning aniqlash sohasini topish.

Mavzu boʻyicha bilimingizni sinab koʻring

Murakkab masalalar

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Misol: $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍ ifodaning aniqlash sohasini topish.