If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 6

Lesson 2: Ratsional ifodalarni koʻpaytirish va boʻlish
Matematika
Algebra II
Ratsional munosabatlar
Ratsional ifodalarni koʻpaytirish va boʻlish
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Ratsional ifodalarni koʻpaytirish

Google sinfxona
Ikkita ratsional ifodaning koʻpaytmasini topishni oʻrganing.

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Ratsional ifodalar ikki koʻphadlarning nisbatidir. Ratsional ifodalarning aniqlanish sohasi bu maxrajni nol qiladigan qiymatlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir.
Biz ratsional ifodalarni surat va maxrajini umumiy koʻpaytuvchilarga qisqartirish orqali soddalashtirishimiz mumkin.
Agar bu sizga notanish boʻlsa, u holda dastlab quyidagi darsni koʻrib chiqing:

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Bu darsda ratsional ifodalarni koʻpaytirishni oʻrganasiz.

Kasrlarni koʻpaytirilishi

Boshlashdan oldin sonli kasrlarni koʻpaytirishni esga olamiz.
Ushbu misolni koʻrib chiqamiz:
=34⋅109=32⋅2⋅2⋅53⋅3Surat va maxrajni koʻpaytuvchilarga ajratamiz=32⋅2⋅2⋅53⋅3Umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiramiz=56Qolgan sonlarni koʻpaytiramiz\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{10}{9}\\\\ &=\dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD2\cdot 5}{\greenD3\cdot 3} &&\small{\gray{\text{Surat va maxrajni koʻpaytuvchilarga ajratamiz}}} \\\\ &=\dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD{\cancel{2}}\cdot 5}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}&&\small{\gray{\text{Umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiramiz}}} \\\\ &=\dfrac{5}{6}&&\small{\gray{\text{Qolgan sonlarni koʻpaytiramiz}}} \end{aligned}
Demak, ikki sonli kasrlarni koʻpaytirish uchun koʻpaytuvchilarga ajratdik, umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartirdik va qayta koʻpaytirdik.

1-misol: start fraction, 3, x, squared, divided by, 2, end fraction, dot, start fraction, 2, divided by, 9, x, end fraction

Biz ratsional ifodalarni xuddi sonli kasrlar kabi koʻpaytiramiz.
=3x22⋅29x=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xSurat va maxrajlarni koʻpaytuvchilarga ajrating(Ahamiyat bering x≠0)=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xUmumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring=x3Qayta koʻpaytiring\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^2}{2}\cdot\dfrac{2}{9x}\\\\\\ &=\dfrac{3\cdot x\cdot x}{2}\cdot \dfrac{2}{3\cdot 3\cdot \goldD x}&& \small{\gray{\text{Surat va maxrajlarni koʻpaytuvchilarga ajrating}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Ahamiyat bering } \goldD{x\neq 0})}\\ \\ \\&=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{ x}}\cdot x}{\purpleC{\cancel{2}}}\cdot \dfrac{\purpleC{\cancel{2}}}{\blueD{\cancel{ 3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{ x}}}&& \small{\gray{\text{Umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring}}} \\ \\ &=\dfrac{x}{3}&&\small{\gray{\text{Qayta koʻpaytiring}}} \end{aligned}
Esingizda boʻlsa, asl ifoda uchun x, does not equal, 0 ekani maʼlum edi. Soddalashtirilgan ifodaga ham xuddi shu cheklov amal qilishi kerak. Shu sababli x, does not equal, 0 ekanini eʼtiborga olishimiz lozim.
Qisqartirilgan ifodani quyidagicha yozamiz:
start fraction, x, divided by, 3, end fraction , bu yerda x, does not equal, 0

Tushunganingizni tekshiring

1) koʻpaytiring va natijani soddalashtiring:
start fraction, 4, x, start superscript, 6, end superscript, divided by, 5, end fraction, dot, start fraction, 1, divided by, 12, x, cubed, end fraction, equals
, bu yerda x, does not equal
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

2-misol: start fraction, x, squared, minus, x, minus, 6, divided by, 5, x, plus, 5, end fraction, dot, start fraction, 5, divided by, x, minus, 3, end fraction

Yana bir bor koʻpaytuvchilarga ajratamiz, umumiy koʻpaytuvchini qisqartiramiz, soʻngra qayta koʻpaytiramiz. Va nihoyat, barcha joiz qiymatlarini, albatta, ajratamiz.
=x2−x−65x+5⋅5x−3=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Koʻpaytuvchilarga ajrating(Eʼtiborga oling x≠−1, va x≠3)=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring=x+2x+1Qayta koʻpaytiring\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2-x-6}{5x+5}\cdot\dfrac {5}{x-3}\\\\\\ &=\dfrac{(x-3)(x+2)}{5\cdot \goldD{(x+1)}}\cdot \dfrac{5}{\maroonD{x-3}}&&\small{\gray{\text{Koʻpaytuvchilarga ajrating}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Eʼtiborga oling }\goldD{x\neq -1}}, \text{ va }\maroonD{x\neq 3} )\\ \\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x-3)}}{(x+2)}}{\greenD{\cancel{5}}\cdot({x+1})}\cdot \dfrac{{\greenD{\cancel{5}}}}{\blueD{\cancel{x-3}}}&&\small{\gray{\text{Umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring}}}\\ \\ &=\dfrac{x+2}{x+1}&&\small{\gray{\text{Qayta koʻpaytiring}}} \end{aligned}
Asl tenglamada x, does not equal, minus, 1, comma, 3 ekani maʼlum. Soddalashtirilgan koʻpaytma ham xuddi shu cheklovlarga boʻysunishi kerak.
Xulosa qilsak, ikkala ratsional ifodalar koʻpaytmasi uchun yechimga ega boʻlmagan qiymati uning asl ratsional ifodasi uchun ham yechimga ega emas.

Tushunganingizni tekshiring

2) natijani koʻpaytiring va soddalashtiring:
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 5, x, plus, 10, end fraction, dot, start fraction, x, squared, minus, 4, divided by, x, squared, end fraction, equals
Hosil boʻlgan ifodaning aniqlash sohasiga kirmagan barcha qiymatlar qaysilar?
Toʻgʻri keladigan barcha javoblarni tanlang:

3) koʻpaytiring va natijani soddalashtiring:
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction, dot, start fraction, x, minus, 4, divided by, x, minus, 3, end fraction, equals
Hosil boʻlgan ifodaning aniqlash sohasiga kirmagan barcha qiymatlar qaysilar?
Toʻgʻri keladigan barcha javoblarni tanlang:

Keyingisi nima?

Agar koʻpaytirishga oid bilimingizdan qoniqsangiz, davom etishingiz mumkin ratsional ifodalarni boʻlish.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.