If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 6

Lesson 2: Ratsional ifodalarni koʻpaytirish va boʻlish
Matematika
Algebra II
Ratsional munosabatlar
Ratsional ifodalarni koʻpaytirish va boʻlish
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Ratsional ifodalarni boʻlish

Google sinfxona
Ikkita ratsional ifodaning boʻlinmasini topishni oʻrganing.

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Ratsional ifodalar ikki koʻphadlarning nisbatidir. Ratsional ifodalarning aniqlanish sohasi bu maxrajni nol qiladigan qiymatlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir.
Biz ratsional ifodalarni xuddi sonli kasrlar kabi koʻpaytiramiz – koʻpaytuvchilarga ajratish, umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartirish va qayta koʻpaytirish orqali.
Agar bu sizga notanish boʻlsa, u holda dastlab quyidagi darsni koʻrib chiqing:

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Bu darsda ratsional ifodalarni boʻlishni oʻrganasiz.

Kasrlarni boʻlish

Sonli kasrlarni boʻlish uchun boʻlinuvchini (birinchi kasr) boʻlinmaning teskarisiga (ikkinchi kasr) koʻpaytiramiz. Masalan:
=29÷83=29⋅38Boʻluvchini aylantirib koʻpaytiring=23⋅3⋅32⋅4Surat va maxrajni koʻpaytuvchiga ajrating=23⋅3⋅32⋅4Umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring=112Qayta koʻpaytiring\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{9}\div{\dfrac{8}{3}}\\\\\\ &=\dfrac{2}{9}\cdot {\dfrac{3}{8}}&&\small{\gray{\text{Boʻluvchini aylantirib koʻpaytiring}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD2}{\greenD3\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Surat va maxrajni koʻpaytuvchiga ajrating}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{2}}}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring}}}\\\\ &=\dfrac{1}{12}&&\small{\gray{\text{Qayta koʻpaytiring}}} \end{aligned}
Biz bu usuldan ratsional ifodalarni boʻlishda ham foydalanishimiz mumkin.

1-misol: start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, divided by, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction

=3x44÷9x10=3x44⋅109xBoʻluvchini aylantirib koʻpaytiring=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xSurat va maxrajni koʻpaytuvchiga ajrating=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xUmumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring=5x36Qayta koʻpaytiring\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^4}{4}\div\dfrac{9x}{10}\\\\\\ &=\dfrac{3x^4}{4}\cdot \dfrac{10}{9x}&&\small{\gray{\text{Boʻluvchini aylantirib koʻpaytiring}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD3\cdot \greenD{x}\cdot x^3}{\goldD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD 2\cdot 5}{\blueD3\cdot 3\cdot \greenD{x}}&&\small{\gray{\text{Surat va maxrajni koʻpaytuvchiga ajrating}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{x}}\cdot x^3}{\goldD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD{\cancel{2}}\cdot 5}{\blueD{\cancel{3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{x}}}&&\small{\gray{\text{Umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring}}}\\\\ &=\dfrac{5x^3}{6}&&\small{\gray{\text{Qayta koʻpaytiring}}} \end{aligned}
Har doimgidek, cheklangan qiymatlar haqida unutmasligimiz kerak. Ikkita ratsional ifodani boʻlganda boʻlinma yechimga ega emas...
  • asl ratsional ifodaning istalgan birini yechimga ega qilmaydigan qiymati uchun
  • hamda boʻluvchi qiymatini nol qiluvchi har qanday qiymat uchun
Xulosa shuki, start fraction, A, divided by, B, end fraction, divided by, start fraction, C, divided by, D, end fraction ifodaning natijasi B, equals, 0, C, equals, 0 yoki D, equals, 0 qiymatda maʼnoga ega emas.
Ushbu misolda boʻlinuvchi va boʻluvchilarni aniqlash sohasida cheklanganlik borligini tekshirib koʻramiz.
  • Boʻlinuvchi start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction barcha x qiymatlarida aniqlangan.
  • Boʻluvchi start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction barcha x qiymatlarida aniqlangan va x, equals, 0 boʻlganda nolga teng.
Shu bois xulosa qiladigan boʻlsak, boʻlinma x, does not equal, 0 boʻlganda aniqlangan. Bu bizning yakuniy javobimiz:
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction bu yerda x, does not equal, 0

Tushunganingizni tekshiring

1) boʻling va natijani soddalashtiring:
start fraction, 3, divided by, 10, x, squared, end fraction, divided by, start fraction, 6, divided by, 15, x, start superscript, 5, end superscript, end fraction, equals
bu yerda x, does not equal
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

2-misol: start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, divided by, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction

Har doimgidek, boʻlinuvchini boʻluvchining teskarisiga koʻpaytiramiz. Soʻngra koʻpaytuvchilarga ajratamiz, umumiy koʻpaytuvchini qisqartiramiz va qayta koʻpaytiramiz. Yakunida cheklangan qiymatlarini koʻrib chiqamiz.
=x2+x−6x2+3x−10÷x+3x−5=x2+x−6x2+3x−10⋅x−5x+3Boʻluvchini teskariga oʻgirilganiga koʻpaytiring=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅x−5x+3Koʻpaytuvchilarga ajrating=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅(x−5)x+3 Umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring=x−5x+5Qayta koʻpaytiring\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\div \dfrac{x+3}{x-5}\\\\\\ &=\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\cdot \dfrac{x-5}{x+3}&&\small{\gray{\text{Boʻluvchini teskariga oʻgirilganiga koʻpaytiring}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD{(x+3)}\greenD{(x-2)}}{(x+5)\greenD{(x-2)}}\cdot \dfrac{x-5}{\blueD{x+3}}&&\small{\gray{\text{Koʻpaytuvchilarga ajrating}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x+3)}}\greenD{\cancel{(x-2)}}}{(x+5)\greenD{\cancel{(x-2)}}}\cdot \dfrac{(x-5)}{\blueD{\cancel{x+3}}}&&\small{\gray{\text{ Umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring}}}\\\\ &=\dfrac{x-5}{x+5}&&\small{\gray{\text{Qayta koʻpaytiring}}} \end{aligned}
Ushbu misolda boʻlinuvchi va boʻluvchilarning aniqlash sohasidagi cheklangan qiymatlarni tekshiramiz. Bu ifodalarning koʻpaytuvchilarga ajratilgan shakllaridan foydalanish ancha qulay.
  • Boʻlinuvchi start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction, x, does not equal, minus, 5, comma, 2 boʻlganda aniqlanmagan.
  • Bluvchi start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction x, does not equal, 5 boʻlganda aniqlangan hamda x, equals, minus, 3 boʻlganda nolga teng.
Shu bois xulosa qiladigan boʻlsak, boʻlinma x, does not equal, minus, 5, comma, minus, 3, comma, 2, comma, 5 boʻlganda aniqlangan.
Shu bois x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3 qiymatga eʼtibor berishimiz kerak. x, does not equal, minus, 5 qiymatga ahamiyat berish muhim emas, sababi bu ifodadan maʼlum. Bu bizning yakuniy javobimiz:
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction , bu yerda x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3

Tushunganingizni tekshiring

2) boʻling va natijani soddalashtiring:
start fraction, x, minus, 7, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction, divided by, start fraction, x, squared, minus, 6, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 4, end fraction, equals
Hosil boʻlgan ifodaning aniqlash sohasidagi cheklangan qiymatlar qaysilar?
Toʻgʻri keladigan barcha javoblarni tanlang:

3) boʻling va natijani soddalashtiring:
start fraction, x, plus, 4, divided by, x, squared, minus, 9, end fraction, divided by, start fraction, x, minus, 1, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 3, end fraction, equals
Hosil boʻlgan ifodaning aniqlash sohasidagi cheklangan qiymatlar qaysilar?
Toʻgʻri keladigan barcha javoblarni tanlang:

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.