Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 6

Lesson 3: Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish mavzusi bilan tanishish

Ikkita ratsional ifodani qoʻshib yoki ayirib bitta ifodaga keltirishni oʻrganing.

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Ratsional ifodalar bu ikki koʻphadlarning nisbatidir. Jumladan, start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction bu ratsional ifodadir.

Agar ratsional ifodalar bilan tanish boʻlmasangiz, u holda ushbu havola bilan tanishing ratsional ifodalarga kirish.

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Bu darsda ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishni oʻrganasiz.

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish (bir xil maxraj)

Sonli kasrlar

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish xuddi sonli kasrlarni qoʻshish va ayirishga oʻxshaydi.

Bir xil maxrajli kasrlarni qoʻshish yoki ayirish uchun biz shunchaki suratlarni qoʻshib yoki ayirib hamda natijani umumiy maxrajning ustiga yozib qoʻyamiz.

$\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD4}{\purpleC5}-\dfrac{\blueD1}{\purpleC5}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{4}-\blueD{1}}{\purpleC 5}\\ \\ &=\dfrac{3}{5} \end{aligned}$

Oʻzgaruvchili ifodalar

Jarayon ratsional ifoda bilan bir xil:

$\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD{7a+3}}{\purpleC{a+2}}+\dfrac{\blueD{2a-1}}{\purpleC{a+2}}\\\\\\ &=\dfrac{(\blueD{7a+3})+(\blueD{2a-1})}{\purpleC{a+2}}&&\small{\gray{\text{Qoʻshing}}}\\ \\ &=\dfrac{{7a+3}+{2a-1}}{{a+2}}&&\small{\gray{\text{Qavslarni oching}}}\\ \\ &=\dfrac{9a+2}{a+2}&&\small{\gray{\text{Bir xil hadlarni qoʻshing}}} \end{aligned}$

Suratlarni qavsga olish juda yaxshi samara beradi, ayniqsa, ratsional ifodalarni ayirganda. Bu yoʻl bilan manfiy ishoraning toʻgʻri yoyilishiga erishiladi.

Masalan:

$\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD{b+1}}{\purpleC{b^2}}-\dfrac{\blueD{4-b}}{\purpleC{b^2}}\\\\\\ &=\dfrac{(\blueD{b+1})-(\blueD{4-b})}{\purpleC{b^2}}&&\small{\gray{\text{Ayiring}}}\\ \\ &=\dfrac{b+1-4+b}{{b^2}}&&\small{\gray{\text{Qavslarni oching va manfiy ishorani yoying}}}\\ \\ &=\dfrac{2b-3}{b^2}&&\small{\gray{\text{Bir xil hadlarni qoʻshing}}} \end{aligned}$

Tushunganingizni tekshiring

1) start fraction, x, plus, 5, divided by, x, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, minus, 1, end fraction, equals

[Yordam kerak!]

2) start fraction, x, plus, 1, divided by, 2, x, end fraction, minus, start fraction, 5, x, minus, 2, divided by, 2, x, end fraction, equals

[Yordam kerak!]

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish (turli maxrajlar)

Sonli kasrlar

Turli maxrajli ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishni oʻrganishdan oldin, keling, bu amalni sonli kasrlarda bajarilishini tekshiramiz.

Masalan, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction kasrlarni qoʻshamiz.

$\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueD3}+\dfrac{1}{\tealD2}\\\\\\ &=\dfrac{2}{\blueD3} \left(\tealD{\dfrac{2}{2}}\right)+\dfrac{1}{\tealD2}\left( \blueD{\dfrac{3}{3}}\right)&&\small{\gray{\text{Umumiy maxraj topamiz}}}\\ \\ &=\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}\\ \\ &=\dfrac{7}{6} \end{aligned}$

Ahamiyat bering, ikkala kasrni qoʻshish uchun umumiy maxraj 6 ga teng.

Birinchi kasrdagi maxraj left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, right parenthesis ga start color #01a995, 2, end color #01a995 koʻpaytuvchi kerak boʻladi.
Ikkinchi kasrdagi maxraj left parenthesis, start color #01a995, 2, end color #01a995, right parenthesis uchun start color #11accd, 3, end color #11accd koʻpaytuvchi kerak boʻladi.

Har bir kasr umumiy maxrajga erishishi uchun 1 shaklga koʻpaytiriladi.

Oʻzgaruvchili ifodalar

Endi buni quyidagi misolga qoʻyamiz:

start fraction, 1, divided by, start color #11accd, x, minus, 3, end color #11accd, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, start color #01a995, x, plus, 5, end color #01a995, end fraction

Ikkala maxraj bir xil boʻlishi uchun birinchi kasrga start color #01a995, x, plus, 5, end color #01a995 koʻpaytuvchi va ikkinchi kasrga start color #11accd, x, minus, 3, end color #11accd koʻpaytuvchi kerak boʻladi. Keling, buni amalga oshirish uchun kasrlarni hisoblaymiz. Soʻng odatdagidek qoʻshamiz.

\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{1}{\blueD{x-3}}+\dfrac{2}{\tealD{x+5}}}\\\\\\ &=\dfrac{1}{\blueD{x-3}}{\left(\tealD{\dfrac{x+5}{x+5}}\right)}+\dfrac{2}{\tealD{x+5}}{\left(\blueD{\dfrac{x-3}{x-3}}\right)}&&\small{\gray{\text{Umumiy maxrajni topamiz}}}\\\\\\ &=\dfrac{1(x+5)}{(x-3)(x+5)}+\dfrac{2(x-3)}{(x+5)(x-3)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{1(x+5)+2(x-3)}{(x-3)(x+5)}&&\small{\gray{\text{Qoʻshamiz}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{1x+5+2x-6}{(x-3)(x+5)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3x-1}{(x-3)(x+5)} \end{aligned}

Ahamiyat bering, birinchi amalni bajarishning iloji bor, chunki start fraction, x, plus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction va start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 3, end fraction boʻlinma 1 ga teng va kasrni 1 ga koʻpaytirish ifoda qiymatini oʻzgartirmaydi!

[Cheklangan qiymatlar haqida nima deyish mumkin?]

Oxirgi ikki amalda suratni soddalashtirdik. Maxrajda left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis va left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis ni koʻpaytirishning iloji bor, faqat ularni koʻpaytuvchi koʻrinishida qoldirish umumiydir.

Tushunganingizni tekshiring

3) start fraction, 3, divided by, x, plus, 4, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, equals

[Yordam kerak!]

4) start fraction, 2, divided by, x, minus, 1, end fraction, minus, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, equals

[Yordam kerak!]

Keyingisi nima?

Bizning keyingi darsimiz ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish boʻyicha murakkabroq misollarni oʻz ichiga oladi.

Siz eng kichik umumiy maxraj hamda ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishda umumiy maxrajdan foydalanish qanchalik muhimligini oʻrganasiz.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.