Asosiy kontent

Course: Algebra II > Unit 6

Lesson 3: Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish mavzusi bilan tanishish

Ikkita ratsional ifodani qoʻshib yoki ayirib bitta ifodaga keltirishni oʻrganing.

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Ratsional ifodalar bu ikki koʻphadlarning nisbatidir. Jumladan,

\frac{x + 2}{x + 1}

bu ratsional ifodadir.

Agar ratsional ifodalar bilan tanish boʻlmasangiz, u holda ushbu havola bilan tanishing ratsional ifodalarga kirish.

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Bu darsda ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishni oʻrganasiz.

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish (bir xil maxraj)

Sonli kasrlar

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish xuddi sonli kasrlarni qoʻshish va ayirishga oʻxshaydi.

Bir xil maxrajli kasrlarni qoʻshish yoki ayirish uchun biz shunchaki suratlarni qoʻshib yoki ayirib hamda natijani umumiy maxrajning ustiga yozib qoʻyamiz.

$\begin{aligned} \frac{4}{5} - \frac{1}{5} \\ = \frac{4 - 1}{5} \\ = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

Oʻzgaruvchili ifodalar

Jarayon ratsional ifoda bilan bir xil:

$\begin{aligned} \frac{7 a + 3}{a + 2} + \frac{2 a - 1}{a + 2} \\ = \frac{(7 a + 3) + (2 a - 1)}{a + 2} & Qoʻshing \\ = \frac{7 a + 3 + 2 a - 1}{a + 2} & Qavslarni oching \\ = \frac{9 a + 2}{a + 2} & Bir xil hadlarni qoʻshing \end{aligned}$ ‍

Suratlarni qavsga olish juda yaxshi samara beradi, ayniqsa, ratsional ifodalarni ayirganda. Bu yoʻl bilan manfiy ishoraning toʻgʻri yoyilishiga erishiladi.

Masalan:

$\begin{aligned} \frac{b + 1}{b^{2}} - \frac{4 - b}{b^{2}} \\ = \frac{(b + 1) - (4 - b)}{b^{2}} & Ayiring \\ = \frac{b + 1 - 4 + b}{b^{2}} & Qavslarni oching va manfiy ishorani yoying \\ = \frac{2 b - 3}{b^{2}} & Bir xil hadlarni qoʻshing \end{aligned}$ ‍

Tushunganingizni tekshiring

1) $\frac{x + 5}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 1} =$ ‍

2) $\frac{x + 1}{2 x} - \frac{5 x - 2}{2 x} =$ ‍

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish (turli maxrajlar)

Sonli kasrlar

Turli maxrajli ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishni oʻrganishdan oldin, keling, bu amalni sonli kasrlarda bajarilishini tekshiramiz.

Masalan,

\frac{2}{3} + \frac{1}{2}

kasrlarni qoʻshamiz.

$\begin{aligned} \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ = \frac{2}{3} (\frac{2}{2}) + \frac{1}{2} (\frac{3}{3}) & Umumiy maxraj topamiz \\ = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} \\ = \frac{7}{6} \end{aligned}$ ‍

Ahamiyat bering, ikkala kasrni qoʻshish uchun umumiy maxraj

6

ga teng.

Birinchi kasrdagi maxraj $(3)$ ‍ ga $2$ ‍ koʻpaytuvchi kerak boʻladi.
Ikkinchi kasrdagi maxraj $(2)$ ‍ uchun $3$ ‍ koʻpaytuvchi kerak boʻladi.

Har bir kasr umumiy maxrajga erishishi uchun

1

shaklga koʻpaytiriladi.

Oʻzgaruvchili ifodalar

Endi buni quyidagi misolga qoʻyamiz:

$\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5}$ ‍

Ikkala maxraj bir xil boʻlishi uchun birinchi kasrga

x + 5

koʻpaytuvchi va ikkinchi kasrga

x - 3

koʻpaytuvchi kerak boʻladi. Keling, buni amalga oshirish uchun kasrlarni hisoblaymiz. Soʻng odatdagidek qoʻshamiz.

\begin{aligned} \frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5} \\ = \frac{1}{x - 3} (\frac{x + 5}{x + 5}) + \frac{2}{x + 5} (\frac{x - 3}{x - 3}) & Umumiy maxrajni topamiz \\ = \frac{1 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)} + \frac{2 (x - 3)}{(x + 5) (x - 3)} \\ = \frac{1 (x + 5) + 2 (x - 3)}{(x - 3) (x + 5)} & Qoʻshamiz \\ = \frac{1 x + 5 + 2 x - 6}{(x - 3) (x + 5)} \\ = \frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 5)} \end{aligned}

Ahamiyat bering, birinchi amalni bajarishning iloji bor, chunki

\frac{x + 5}{x + 5}

\frac{x - 3}{x - 3}

boʻlinma

1

ga teng va kasrni

1

ga koʻpaytirish ifoda qiymatini oʻzgartirmaydi!

Oxirgi ikki amalda suratni soddalashtirdik. Maxrajda

(x - 3)

(x + 5)

ni koʻpaytirishning iloji bor, faqat ularni koʻpaytuvchi koʻrinishida qoldirish umumiydir.

Tushunganingizni tekshiring

3) $\frac{3}{x + 4} + \frac{2}{x - 2} =$ ‍

Ikkala maxraj bir xil boʻlishi uchun birinchi kasrga

x - 2

koʻpaytuvchi va ikkinchi kasrga

x + 4

koʻpaytuvchi kerak boʻladi. Keling, buni amalga oshirish uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. Soʻng odatdagidek qoʻsha olamiz.

\begin{aligned} \frac{3}{x + 4} + \frac{2}{x - 2} \\ = \frac{3}{x + 4} (\frac{x - 2}{x - 2}) + \frac{2}{x - 2} (\frac{x + 4}{x + 4}) & Umumiy maxrajni topamiz \\ = \frac{3 (x - 2)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} \\ = \frac{3 (x - 2) + 2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} & Qoʻshamiz \\ = \frac{3 x - 6 + 2 x + 8}{(x - 2) (x + 4)} \\ = \frac{5 x + 2}{(x - 2) (x + 4)} \end{aligned}

4) $\frac{2}{x - 1} - \frac{5}{x} =$ ‍

Keyingisi nima?

Bizning keyingi darsimiz ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish boʻyicha murakkabroq misollarni oʻz ichiga oladi.

Siz eng kichik umumiy maxraj hamda ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishda umumiy maxrajdan foydalanish qanchalik muhimligini oʻrganasiz.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.