If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 6

Lesson 3: Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish
Matematika
Algebra II
Ratsional munosabatlar
Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish (murakkab)

Google sinfxona
Ratsional ifodalarni qoʻshish/ayirishning asosiy tushunchalarini oʻrgandingizmi? Ajoyib! Bir necha murakkab misollar yordamida bilimingizni oshiring.

Bu dars uchun nimalarni bilishimiz kerak

Ratsional ifoda – bu ikki koʻphadlarning nisbati.
Bir xil maxrajli ratsional ifodalarni qoʻshish yoki ayirish uchun biz shunchaki suratlarni qoʻshib yoki ayirib hamda natijani umumiy maxrajning ustiga yozib qoʻyamiz.
Agar maxrajlari bir xil boʻlmasa, ularni bir xil koʻrinishga keltirishimiz kerak.
Agar bu siz uchun yangi mavzu boʻlsa, u holda dastlab quyidagi darsni koʻrib chiqing:

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Bu darsda siz turli maxrajli ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishni mashq qilasiz. Umumiy maxraj sifatida eng kichik umumiy maxrajdan foydalanasiz hamda buning ahamiyatini tushunib yetasiz.

Kirish: start fraction, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, minus, start fraction, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction

Ikki ratsional ifodalarni ayirish uchun har bir kasr bir xil maxrajga ega boʻlishi kerak!
Ushbu misolda biz birinchi kasrni left parenthesis, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, plus, 1, end fraction, right parenthesis ga va ikkinchi kasrni left parenthesis, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, right parenthesis ga koʻpaytirish orqali umumiy maxraj hosil qilishimiz mumkin.
Keyin suratlarni ayirib, natijani umumiy maxraj ustiga yozamiz.
=3x−2−2x+1=3x−2(x+1x+1)−2x+1(x−2x−2)Umumiy maxraj=3(x+1)(x−2)(x+1)−2(x−2)(x+1)(x−2)=3(x+1)−2(x−2)(x−2)(x+1)Ayiring=3x+3−2x+4(x−2)(x+1)=x+7(x−2)(x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}{\dfrac{3}{\blueD{x-2}}-\dfrac{2}{\greenD{x+1}}}\\\\\\ &=\dfrac{3}{\blueD{x-2}}{\left(\greenD{\dfrac{x+1}{x+1}}\right)}-\dfrac{2}{\greenD{x+1}}{\left(\blueD{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)}&&\small{\gray{\text{Umumiy maxraj}}}\\\\\\ &=\dfrac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)}&&\small{\gray{\text{Ayiring}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3x+3-2x+4}{(x-2)(x+1)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{x+7}{(x-2)(x+1)} \end{aligned}

Tushunganingizni tekshiring

1) start fraction, 5, x, divided by, x, plus, 3, end fraction, plus, start fraction, 4, divided by, x, plus, 2, end fraction, equals

Eng kichik umumiy maxrajlar

Sonli kasrlar

Baʼzan kasrlar har xil maxrajga ega boʻlsa-da, biroq ularning umumiy koʻpaytuvchilari boʻladi.
Masalan, start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction ifodani olsak:
=34+16=32⋅2+12⋅3=32⋅2(33)+12⋅3(22)Eng kichik umumiy maxraj hosil qiling=912+212=1112\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}\\\\\\ &=\dfrac{3}{\blueD2\cdot \greenD2}+\dfrac{1}{\blueD2\cdot \goldD3}\\ \\ &=\dfrac{3}{\blueD2\cdot \greenD2} {\left(\dfrac{\goldD3}{\goldD3}\right)}+\dfrac{1}{\blueD2\cdot\goldD3}{\left(\dfrac{\greenD2}{\greenD2}\right)}&&\small{\gray{\text{Eng kichik umumiy maxraj hosil qiling}}}\\ \\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\\ \\ &=\dfrac{11}{12} \end{aligned}
Ahamiyat bering, bu misolda ishlatilgan umumiy maxraj ikkala kasr maxrajlarining koʻpaytmasi left parenthesis, 24, right parenthesis emas. Uning oʻrniga 4 va 6 ning eng kichik umumiy karralisi left parenthesis, 12, right parenthesis olindi.
Ikki yoki koʻproq kasrlar maxrajlarning eng kichik umumiy karralisi eng kichik umumiy maxraj deyiladi.

Oʻzgaruvchili ifodalar

Endi bu taʼrifni ushbu qoʻshishda sinab koʻramiz:
start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Dastlab eng kichik umumiy maxrajni topsak:
Shunday qilib, eng kichik umumiy maxraj start color #11accd, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end color #11accd, start color #1fab54, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color #1fab54, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #aa87ff.
Ratsional ifodalarni quyidagicha qoʻshishimiz mumkin:
=2(x−2)(x+1)+3(x+1)(x+3)=2(x−2)(x+1)(x+3x+3)+3(x+1)(x+3)(x−2x−2)Eng kichik umumiy maxraj=2(x+3)(x−2)(x+1)(x+3)+3(x−2)(x+1)(x+3)(x−2)=2(x+3)+3(x−2)(x−2)(x+1)(x+3)Qoʻshing=2x+6+3x−6(x−2)(x+1)(x+3)=5x(x−2)(x+1)(x+3)\small\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{2}{\blueD{(x-2)}\greenD{(x+1)}}+\dfrac{3}{\greenD{(x+1)}\purpleC{(x+3)}}\\ \\\\ &=\dfrac{2}{\blueD{(x-2)}\greenD{(x+1)}}{\left(\purpleC{\dfrac{x+3}{x+3}}\right)}+\dfrac{3}{\greenD{(x+1)}\purpleC{(x+3)}}{\left(\blueD{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)}&&\tiny{\gray{\text{Eng kichik umumiy maxraj}}}\\\\ \\\\ &=\dfrac{2(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+3)}+\dfrac{3(x-2)}{(x+1)(x+3)(x-2)}\\ \\\\ &=\dfrac{2(x+3)+3(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+3)}&&\small{\gray{\text{Qoʻshing}}}\\ \\\\ &=\dfrac{2x+6+3x-6}{(x-2)(x+1)(x+3)}\\ \\\\ &=\dfrac{5x}{(x-2)(x+1)(x+3)} \end{aligned}

Mavzu boʻyicha bilimingizni tekshiring

2) start fraction, 1, divided by, x, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, equals

3) start fraction, 3, x, divided by, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end fraction, minus, start fraction, 4, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end fraction, equals

Murakkab misol

4*) start fraction, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, end fraction, equals

Nima uchun eng kichik umumiy maxrajdan foydalanamiz?

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishda eng kichik umumiy maxraj nega shunchalik muhimligiga hayron boʻlishingiz mumkin.
Aslida bu majburiyat emas, songa karrali boshqa maxraj ishlatilsa, shuning oʻzi yetadi.
Misol uchun, quyidagi jadvalda start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction ifodani ikki xil maxrajdan foydalanib yechilishi koʻrsatilgan, bittasi eng kichik umumiy maxraj left parenthesis, 12, right parenthesis, boshqasida esa ikkala maxrajlarning koʻpaytmasi left parenthesis, 24, right parenthesis.
Eng kichik umumiy maxraj left parenthesis, 12, right parenthesisspace, space, space, space, spaceUmumiy maxraj left parenthesis, 24, right parenthesis
 34+16=34(33)+16(22)=912+212=111212\begin{aligned}~\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}&=\dfrac{3}{\blueD4} {\left(\dfrac{\goldD3}{\goldD3}\right)}+\dfrac{1}{\greenD6}{\left(\dfrac{\purpleD2}{\purpleD2}\right)}\\\\&=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\\\\&=\dfrac{11}{12}\\\\&\phantom{\dfrac{1}{2}}\end{aligned}       34+16=34(66)+16(44)=1824+424=2224=1112~~~~~~~\begin{aligned}\dfrac{3}{\blueD4}+\dfrac{1}{\greenD6}&=\dfrac{3}{\blueD4}\left(\greenD{\dfrac{6}{6}}\right)+\dfrac{1}{\greenD6}\left(\blueD{\dfrac{4}{4}}\right)\\\\&=\dfrac{18}{24}+\dfrac{4}{24}\\\\&=\dfrac{22}{24}\\\\&=\dfrac{11}{12}\end{aligned}
Ahamiyat bergan boʻlsangiz, umumiy maxrajda 24 dan foydalanish koʻproq amallarni talab etadi. Sonlar ham katta, hosil boʻlgan kasrni soddalashtirish kerak.
Agar siz ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishda eng kichik umumiy maxrajdan foydalanmasangiz ham xuddi shu holat roʻy beradi.
Ammo ratsional ifodalar bilan bu jarayon ancha murakkabroq, chunki surat va maxrajlar butun sonlardan emas, koʻphadlardan iboratdir! Siz katta darajali koʻphadlar bilan arifmetik amal bajarshingizga toʻgʻri keladi hamda kasrni soddalashtirish uchun koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratishingiz lozim boʻladi.
Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishdagi barcha ortiqcha ovoragarchiliklar eng kichik umumiy maxrajni tanlash orqali bartaraf etiladi.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.