Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 6

Lesson 3: Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirish (murakkab)

Ratsional ifodalarni qoʻshish/ayirishning asosiy tushunchalarini oʻrgandingizmi? Ajoyib! Bir necha murakkab misollar yordamida bilimingizni oshiring.

Bu dars uchun nimalarni bilishimiz kerak

Ratsional ifoda – bu ikki koʻphadlarning nisbati.

Bir xil maxrajli ratsional ifodalarni qoʻshish yoki ayirish uchun biz shunchaki suratlarni qoʻshib yoki ayirib hamda natijani umumiy maxrajning ustiga yozib qoʻyamiz.

Agar maxrajlari bir xil boʻlmasa, ularni bir xil koʻrinishga keltirishimiz kerak.

Agar bu siz uchun yangi mavzu boʻlsa, u holda dastlab quyidagi darsni koʻrib chiqing:

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Bu darsda siz turli maxrajli ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishni mashq qilasiz. Umumiy maxraj sifatida eng kichik umumiy maxrajdan foydalanasiz hamda buning ahamiyatini tushunib yetasiz.

Kirish: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍

Ikki ratsional ifodalarni ayirish uchun har bir kasr bir xil maxrajga ega boʻlishi kerak!

Ushbu misolda biz birinchi kasrni

(\frac{x + 1}{x + 1})

ga va ikkinchi kasrni

(\frac{x - 2}{x - 2})

ga koʻpaytirish orqali umumiy maxraj hosil qilishimiz mumkin.

[Nimaga bunday qilishimiz mumkin?]

Keyin suratlarni ayirib, natijani umumiy maxraj ustiga yozamiz.

\begin{aligned} \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \\ = \frac{3}{x - 2} (\frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{2}{x + 1} (\frac{x - 2}{x - 2}) & Umumiy maxraj \\ = \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} \\ = \frac{3 (x + 1) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1)} & Ayiring \\ = \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{x + 7}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

Tushunganingizni tekshiring

1) $\frac{5 x}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} =$ ‍

[Yordam kerak!]

Eng kichik umumiy maxrajlar

Sonli kasrlar

Baʼzan kasrlar har xil maxrajga ega boʻlsa-da, biroq ularning umumiy koʻpaytuvchilari boʻladi.

Masalan,

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

ifodani olsak:

$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{2 \cdot 3} (\frac{2}{2}) & Eng kichik umumiy maxraj hosil qiling \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

Ahamiyat bering, bu misolda ishlatilgan umumiy maxraj ikkala kasr maxrajlarining koʻpaytmasi

(24)

emas. Uning oʻrniga

4

6

ning eng kichik umumiy karralisi

(12)

olindi.

[Eng kichik umumiy karrali nimani anglatadi?]

Ikki yoki koʻproq kasrlar maxrajlarning eng kichik umumiy karralisi eng kichik umumiy maxraj deyiladi.

[Bu yerda 12 eng kichik umumiy maxraj ekanini qayerdan bildingiz?]

Oʻzgaruvchili ifodalar

Endi bu taʼrifni ushbu qoʻshishda sinab koʻramiz:

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}$ ‍

Dastlab eng kichik umumiy maxrajni topsak:

Shunday qilib, eng kichik umumiy maxraj

(x - 2) (x + 1) (x + 3)

Ratsional ifodalarni quyidagicha qoʻshishimiz mumkin:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{x + 3}{x + 3}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{x - 2}{x - 2}) & Eng kichik umumiy maxraj \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 3) + 3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} & Qoʻshing \\ = \frac{2 x + 6 + 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

Mavzu boʻyicha bilimingizni tekshiring

2) $\frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} =$ ‍

[Yordam kerak!]

3) $\frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} =$ ‍

[Yordam kerak!]

Murakkab misol

4*)

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} =

[Yordam kerak!]

Nima uchun eng kichik umumiy maxrajdan foydalanamiz?

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishda eng kichik umumiy maxraj nega shunchalik muhimligiga hayron boʻlishingiz mumkin.

Aslida bu majburiyat emas, songa karrali boshqa maxraj ishlatilsa, shuning oʻzi yetadi.

Misol uchun, quyidagi jadvalda

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

ifodani ikki xil maxrajdan foydalanib yechilishi koʻrsatilgan, bittasi eng kichik umumiy maxraj

(12)

, boshqasida esa ikkala maxrajlarning koʻpaytmasi

(24)

Eng kichik umumiy maxraj $(12)$ ‍	‍Umumiy maxraj $(24)$ ‍
$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{6} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{6}{6}) + \frac{1}{6} (\frac{4}{4}) \\ = \frac{18}{24} + \frac{4}{24} \\ = \frac{22}{24} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

Ahamiyat bergan boʻlsangiz, umumiy maxrajda

24

dan foydalanish koʻproq amallarni talab etadi. Sonlar ham katta, hosil boʻlgan kasrni soddalashtirish kerak.

Agar siz ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishda eng kichik umumiy maxrajdan foydalanmasangiz ham xuddi shu holat roʻy beradi.

Ammo ratsional ifodalar bilan bu jarayon ancha murakkabroq, chunki surat va maxrajlar butun sonlardan emas, koʻphadlardan iboratdir! Siz katta darajali koʻphadlar bilan arifmetik amal bajarshingizga toʻgʻri keladi hamda kasrni soddalashtirish uchun koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratishingiz lozim boʻladi.

[Men buni ratsional ifodalar misolida koʻrmoqchiman.]

Ratsional ifodalarni qoʻshish va ayirishdagi barcha ortiqcha ovoragarchiliklar eng kichik umumiy maxrajni tanlash orqali bartaraf etiladi.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 6

Bu dars uchun nimalarni bilishimiz kerak

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Kirish: 3x−2−2x+1‍

Tushunganingizni tekshiring

Eng kichik umumiy maxrajlar

Sonli kasrlar

Oʻzgaruvchili ifodalar

Mavzu boʻyicha bilimingizni tekshiring

Murakkab misol

Nima uchun eng kichik umumiy maxrajdan foydalanamiz?

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍