Asosiy kontent

Course: Algebra II > Unit 4

Lesson 15: Koʻphad funksiyalarining simmetriyasi

Koʻphadlarning simmetriyasi

Qanday qilib koʻphad funksiyasining juft, toq yoki juft ham, toq ham emas ekanini aniqlashni oʻrganing.

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Agar funksiyaning grafigi

O y

oʻqiga nisbatan simmetrik boʻlsa, funksiya juft funksiya boʻladi.

Algebraik nuqtayi nazardan, barcha

x

larda

f (- x) = f (x)

boʻlsa,

f

juft funksiya boʻladi.

Agar funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik boʻlsa, funksiya toq funksiya boʻladi.

Algebraik nuqtayi nazardan,

x

ning barcha qiymatlarida

f (- x) = - f (x)

boʻlsa,

f

toq funksiya boʻladi.

Agar bu siz uchun yangilik boʻlsa, funksiyalar simmetrikligi mavzusini tavsiya etamiz.

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Koʻphadning juft yo toq yoki juft ham, toq ham emasligini uning tenglamasidan aniqlashni oʻrganasiz.

Tadqiqot: Birhadlarning simmetriyasi

Bitta hadga ega koʻphad birhaddir. Birhadlar

f (x) = a x^{n}

shakliga ega, unda

a

haqiqiy son va

n

0

ga teng yoki undan katta boʻlgan butun sondir.

Ushbu tadqiqotda bir nechta birhadlarning simmetriyalarini tahlil qilish orqali birhad juft yoki toq boʻladigan umumiy holatlarni aniqlashimiz mumkin ekanini koʻrib chiqamiz.

Umuman olganda,

f

funksiyaning juft, toq yoki juft ham, toq ham emasligini aniqlash uchun

f (- x)

ifodasini tahlil qilamiz.

Agar $f (- x)$ ‍ bilan $f (x)$ ‍ bir xil boʻlsa, unda $f$ ‍ juftdir.
Agar $f (- x)$ ‍ bilan $f (x)$ ‍ qarama-qarshi boʻlsa, unda $f$ ‍ toqdir.
Aks holda, u juft ham, toq ham emas.

Birinchi misol tariqasida,

f (x) = 4 x^{3}

ning juft, toq yoki juft ham, toq ham emasligini aniqlaymiz.

$\begin{aligned} f (- x) & = 4 (- x)^{3} \\ = 4 (- x^{3}) & (- x)^{3} = - x^{3} \\ = - 4 x^{3} & Soddalashtiring \\ = - f (x) & Chunki f (x) = 4 x^{3} \end{aligned}$ ‍

Bu yerda

f (- x) = - f (x)

va shuning uchun

f

toq funksiyadir.

Funksiyaning turini aniqlay olishingizni bilish uchun oʻzingiz bir nechta misollar yechib koʻring.

1) $g (x) = 3 x^{2}$ ‍ juftmi, toqmi yoki juft ham, toq ham emasmi?

5) $h (x) = 2 x^{5}$ ‍ juftmi, toqmi yoki juft ham, toq ham emasmi?

Tadqiqotdan xulosa chiqarish

Yuqoridagi misollardan agar

f

birhadning darajasi juft boʻlsa, unda

f

juft funksiya boʻlishini koʻrishimiz mumkin. Shuningdek, agar

f

birhadning darajasi toq boʻlsa, unda

f

toq funksiya boʻladi.

	Juft funksiya	Toq funksiya
Misollar	$g (x) = 3 x^{2}$ ‍	$h (x) = - 2 x^{5}$ ‍
Umumiy holda	$f (x) = a x^{n}$ ‍ , bu yerda $n$ ‍ $juft$ ‍	$f (x) = a x^{n}$ ‍ , bu yerda $n$ ‍ $toq$ ‍

Buning sababi shuki,

n

- juft boʻlganda

(- x)^{n} = x^{n}

n

toq boʻlganda esa

(- x)^{n} = - x^{n}

Ehtimol, aynan shu sababli juft va toq funksiyalar shunday nomlangandir.

Tadqiqot: Koʻphadlarning simmetriyasi

Ushbu tadqiqotda bir qancha hadga ega boʻlgan koʻphadlarning simmetriyasini koʻrib chiqamiz.

1- misol: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

f

ni juft, toq yoki juft ham, toq ham emasligini aniqlash uchun

f (- x)

ni topamiz.

\begin{aligned} f (- x) & = 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} - 5 \\ = 2 (x^{4}) - 3 (x^{2}) - 5 & (- x)^{n} = x^{n} n juft boʻlganda \\ = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 & Soddalashtiring \\ = f (x) & Chunki f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 \end{aligned}

f (- x) = f (x)

boʻlgani tufayli,

f

juft funksiyadir.

f

ning barcha hadlari juft darajada ekaniga eʼtibor bering.

2-misol: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

Yana

g (- x)

ni topish orqali boshlaymiz.

\begin{aligned} g (- x) & = 5 (- x)^{7} - 3 (- x)^{3} + (- x) \\ = 5 (- x^{7}) - 3 (- x^{3}) + (- x) & (- x)^{n} = - x^{n} n toq boʻlganida \\ = - 5 x^{7} + 3 x^{3} - x & Soddalashtiring \end{aligned}

Mazkur holatda,

g (- x)

ning har bir hadi

g (x)

ning har bir hadiga qarama-qarshi ekaniga eʼtibor bering. Boshqa soʻz bilan aytganda,

g (- x) = - g (x)

, demak,

g

toq funksiyadir.

g

ning barcha hadlari toq darajada ekaniga eʼtibor bering.

3- misol: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

Keling,

h (- x)

ni topamiz.

\begin{aligned} h (- x) & = 2 (- x)^{4} - 7 (- x)^{3} \\ = 2 (x^{4}) - 7 (- x^{3}) & (- x)^{4} = x^{4} va (- x)^{3} = - x^{3} \\ = 2 x^{4} + 7 x^{3} & Soddalashtiring \end{aligned}

2 x^{4} + 7 x^{3}

h (x)

ga teng emas,

h (x)

ga qarama-qarshi ham emas.

Matematik nuqtayi nazardan,

h (- x) \neq h (x)

h (- x) \neq - h (x)

va shuning uchun

h

juft ham, toq ham emas.

h

bitta juft darajali va bitta toq darajali hadga ega ekaniga eʼtibor bering.

Tadqiqotdan xulosa chiqarish

Umuman olganda, koʻphadning juft, toq yoki juft ham, toq ham emasligini aniqlash uchun uning har bir hadini koʻrib chiqish yetarli boʻladi.

‍	Umumiy qoida	Koʻphad misoli
Juft	Agar koʻphadning har bir hadi juft darajali boʻlsa, u juft funksiyadir.	$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍
Toq	Agar koʻphadning har bir hadi toq darajali boʻlsa, u toq funksiyadir.	$g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍
Juft ham, toq ham emas	Juft va toq darajali hadlardan tashkil topgan koʻphad juft ham, toq ham emasdir.	$h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

Tushunganingizni tekshiring

3) $f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5$ ‍ juftmi, toqmi yoki juft ham, toq ham emasmi?

Avvalo,

f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5

ning har bir hadi juft yoki toq ekanini aniqlab olamiz.

$- 3 x^{4}$ ‍ juft funksiya, chunki u $juft$ ‍ darajali birhaddir.
$- 7 x^{2}$ ‍ juft funksiya, chunki u $juft$ ‍ darajali birhaddir.
$5$ ‍ juft funksiya, chunki u $juft$ ‍ darajali birhaddir. U $5 \cdot x^{0}$ ‍ koʻrinishida yozilishi mumkin ekaniga eʼtibor bering.

Koʻphad funksiyadagi har bir had juft darajali boʻlgani tufayli, koʻphad ham juftdir.

Algebraik jihatdan, buni

f (- x) = f (x)

koʻrinishida tasvirlashimiz mumkin.

\begin{aligned} f (- x) \\ = - 3 (- x)^{4} - 7 (- x)^{2} + 5 \\ = - 3 (x^{4}) - 7 (x^{2}) + 5 & (- x)^{n} = x^{n} uchun n \\ = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5 & Soddalashtiring \\ = f (x) \end{aligned}

4) $g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}$ ‍ juftmi, toqmi yoki juft ham, toq ham emasmi?

Avvalo,

g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}

ning har bir hadi juft yoki toq ekanini aniqlab olamiz.

$8 x^{7}$ ‍ toq funksiya, chunki u $toq$ ‍ darajali birhaddir.
$- 6 x^{3}$ ‍ toq funksiya, chunki u $toq$ ‍ darajali birhaddir.
$x^{2}$ ‍ juft funksiya, chunki u $juft$ ‍ darajali birhaddir.

Koʻphaddagi hadlar aralash (juft va toq) boʻlgani tufayli, koʻphad juft ham, toq ham emas.

Buni algebraik nuqtayi nazardan ham tekshirishimiz mumkin.

g (- x)

g (x)

ga ham, uning aksiga ham teng emas ekaniga eʼtibor bering.

\begin{aligned} g (- x) & = 8 (- x)^{7} - 6 (- x)^{3} + (- x)^{2} \\ = 8 (- x^{7}) - 6 (- x^{3}) + x^{2} \\ = - 8 x^{7} + 6 x^{3} + x^{2} & Soddalashtiring \end{aligned}

5) $h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x$ ‍ juftmi, toqmi yoki juft ham, toq ham emasmi?

Avvalo,

h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x

ning har bir hadi juft yoki toq ekanini aniqlab olamiz.

$10 x^{5}$ ‍ toq funksiya, chunki u $toq$ ‍ darajali birhaddir.
$2 x^{3}$ ‍ toq funksiya, chunki u $toq$ ‍ darajali birhaddir.
$- x$ ‍ toq funksiya, chunki u $toq$ ‍ darajali birhaddir. U $- 1 \cdot x^{1}$ ‍ koʻrinishida yozilishi mumkin ekaniga eʼtibor bering.

Koʻphad funksiyadagi har bir had toq darajali boʻlgani tufayli, koʻphad ham toqdir.

Algebraik jihatdan, buni

h (- x) = - h (x)

koʻrinishida tasvirlashimiz mumkin.

\begin{aligned} h (- x) & = 10 (- x)^{5} + 2 (- x)^{3} - (- x) \\ = 10 (- x^{5}) + 2 (- x^{3}) - (- x) & (- x)^{n} = - x^{n} n toq boʻlganida \\ = - 10 x^{5} - 2 x^{3} + x & Soddalashtiring \\ = - h (x) \end{aligned}

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 4

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Tadqiqot: Birhadlarning simmetriyasi

Tadqiqotdan xulosa chiqarish

Tadqiqot: Koʻphadlarning simmetriyasi

1- misol: f(x)=2x4−3x2−5‍

2-misol: g(x)=5x7−3x3+x‍

3- misol: h(x)=2x4−7x3‍

Tadqiqotdan xulosa chiqarish

Tushunganingizni tekshiring

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

1- misol: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

2-misol: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

3- misol: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍