If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 1

Lesson 8: Funksiyalar oʻzaro teskari boʻlishini tekshirish
Matematika
Algebra II
Funksiyalar
Funksiyalar oʻzaro teskari boʻlishini tekshirish
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Murakkab funksiya tuzish yordamida funksiyalar oʻzaro teskari boʻlishini tekshirish

Google sinfxona
Murakkab funksiyani tuzish yordamida funksiyalar oʻzaro teskari boʻlishini tekshirishni oʻrganing. Misol uchun, f(x)=5x-7 va g(x)=x/5+7 funksiyalar oʻzaro teskari funksiyalarmi?
Bu dars koʻplab murakkab funksiyalarni oʻz ichiga oladi. Agar shu mavzuni mustahkamlashni xohlasangiz, buni oʻqishdan oldin biz sizga shu yerga kirishni tavsiya qilamiz.
Teskari funksiyalar, umumiy maʼnoda, bu bir-birini "teskarilovchi" funksiyalardir. Misol uchun, agar funksiya a erkli oʻzgaruvchiga b ni mos qoʻysa, unda teskari funksiya b erkli oʻzgaruvchiga a ni mos qoʻyadi.
f va g funksiyalariga qaraylik: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction va g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2 va g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 5 tengliklar qanday hosil boʻlganiga ahamiyat bering.
Bu yerda biz oldin f funksiyani, soʻng g funksiyani qoʻllaganimizda, biz erkli oʻzgaruvchini hosil qilamiz. Bu shart murakkab funksiya yordamida quyidagicha yoziladi: g, left parenthesis, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, right parenthesis, equals, 5.
Ammo ikkita funksiya oʻzaro teskari boʻlishi uchun biz f va g ni qay tartibda qoʻllanishidan qatʼi nazar, erkli oʻzgaruvchining barcha joiz qiymatlari uchun bajarilishini koʻrsatishimiz kerak. Bu esa murakkab funksiya qoidasiga olib keladi.

Murakkab funksiya qoidasi

Bu yerda f va g funksiyalar oʻzaro teskari boʻlishining shartlari keltirilgan:
  • g ning aniqlash sohasidagi barcha x lar uchun f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x
  • f ning aniqlash sohasidagi barcha x lar uchun g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x
Chunki agar f va g oʻzaro teskari funksiyalar boʻlsa, f va g funksiyalardan hosil boʻlgan murakkab funksiya barcha erkli oʻzgaruvchilar uchun shu erkli oʻzgaruvchini hosil qiladi. Biz bunday funksiyani "birlik funksiya" deb ataymiz.

1-misol: f va g - oʻzaro teskari funksiyalar

Yuqoridagi funksiyalar haqiqatan teskari ekanini tekshirish maqsadida murakkab funksiya qoidasidan foydalanaylik.
Esingizda boʻlsa, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction va g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 edi.
Keling, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis va g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis funksiyalarni topamiz.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=g(x)+13=3x−1+13=3x3=x\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=\dfrac{\greenD{g(x)}+1}{3}\\\\&=\dfrac{\greenD{3x-1}+1}{3}\\\\&=\dfrac{3x}{3}\\\\&=x\\\end{aligned}g(f(x))=3(f(x))−1=3(x+13)−1=x+1−1=x\qquad\qquad \begin{aligned}g(\purpleC{f(x)})&=3\left(\purpleC{f(x)}\right)-1\\\\&=3\left(\purpleC{\dfrac{x+1}{3}}\right)-1\\\\&=x+1-1\\\\&=x\\\end{aligned}
Shu bois f va g - oʻzaro teskari funksiyalardir, chunki f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x va g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x

2-misol: f va g - oʻzaro teskari funksiyalar emas

Agar f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis yoki g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis lar x ga teng boʻlmasa, u holda f va g oʻzaro teskari boʻla olmaydi.
Buni f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, minus, 7 va g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, divided by, 5, end fraction, plus, 7 funksiyalarda sinab koʻramiz.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=5(g(x))−7=5(x5+7)−7=x+35−7=x+28\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=5(\greenD{g(x)})-7\\\\&=5\left(\greenD{\dfrac{x}{5}+7}\right)-7\\\\&=x+35-7\\\\&=x+28\end{aligned}\qquad g(f(x))=f(x)5+7=5x−75+7=x−75+7=x+285\qquad\begin{aligned} g(\purpleC{f(x)})&=\dfrac{\purpleC{f(x)}}{5}+7\\\\&=\dfrac{\purpleC{5x-7}}{5}+7\\\\&=x-\dfrac75+7\\\\&=x+\dfrac{28}{5}\\\end{aligned}
Shunday qilib, f va g oʻzaro teskari funksiyalar emas, sababi f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x va g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x.
(Shu yeriga ahamiyat bering, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, plus, 28 ni koʻrsatib ham biz f va g funksiyalar oʻzaro teskari funksiyalar emas degan xulosaga kelishimiz mumkin edi.)

Tushunganingizni tekshiring

Umuman olganda, f va g funksiyalar teskari funksiya ekanini tekshirish uchun ulardan murakkab funksiya hosil qilishimiz mumkin. Agar natija x boʻlsa, funksiyalar teskaridir. Aks holda, ular teskari emas.

1) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 7 va h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 7, divided by, 2, end fraction

x oʻzgaruvchili f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis va h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis funksiyalar uchun soddalashtirilgan ifodani yozing.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f va h funksiyalar oʻzaro teskari funksiyalar boʻladimi?
Bitta javobni tanlang:

2) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, plus, 10 va g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, minus, 10

x oʻzgaruvchili f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis va g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis funksiyalar uchun soddalashtirilgan ifodani yozing.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f va g funksiyalar oʻzaro teskari funksiyalar boʻladimi?
Bitta javobni tanlang:

3) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, x, minus, 8 va h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, plus, 8, right parenthesis

x oʻzgaruvchili f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis va h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis funksiyalar uchun soddalashtirilgan ifodani yozing.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f va h funksiyalar oʻzaro teskari funksiyalar boʻladimi?
Bitta javobni tanlang:

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.