Teskari funksiya haqida dastlabki tushunchalar

Teskari funksiyalar, umumiy maʼnoda, bu bir-birining "aksiʻ boʻlgan funksiyalardir.

Masalan, bu yerda $f$‍ funksiya $x$‍ ga $1$‍ ni, $z$‍ ga $2$‍ ni, va $y$‍ ga $3$‍ ni mos qoʻyishini koʻramiz:

$f$‍ funksiyaga teskari funksiya $f^{-1}$‍ deb belgilanadi va "$f$‍ ga teskari funksiya" deb oʻqiladi. Bunday funksiya, akslantirish diagrammasida koʻrsatilganidek, teskari yoʻnalishda aks ettiradi. $f^{-1}$‍ funksiya $x$‍ ni $1$‍ ga, $y$‍ ga $3$‍ ni, $z$‍ ga esa $2$‍ ni mos qoʻyadi.

Umuman olganda, agar $f$‍ funksiya $a$‍ ga $b$‍ ni mos qoʻysa, u holda $f^{-1}$‍ teskari funksiya $b$‍ ga $a$‍ ni mos qoʻyadi.

Bundan teskari funksiyaning taʼrifi kelib chiqadi:

Bir necha misollarni yechish orqali ushbu taʼrifni yaxshiroq tushunishga urinib koʻramiz.

$h$‍ funksiya yuqoridagi akslantirish diagrammasi orqali aniqlangan boʻlsin. $h^{-1}(9)$‍ qiymati nechaga teng?

Bizga $h$‍ funksiyaga oid maʼlumot berilib, $h^{-1}$‍ funksiya haqida savol berilgan. Teskari funksiyalar akslantirish yoʻnalishlari bir-biriga teskari boʻlgani sababli fikrimizni ham oʻzgartirishimiz kerak.

Jumladan, $h^{-1}(9)$‍ qiymatni topish uchun $h$‍ erksiz oʻzgaruvchiga mos boʻlgan $9$‍ erkli oʻzgaruvchini topamiz. Chunki agar $h^{-1}(9)=x$‍ boʻlsa, u holda teskari funksiya taʼrifiga koʻra, $h(x)=9$‍ boʻladi.

Akslantirish diagrammasidan $h(6)=9$‍ ekanini koʻramiz va shu bois $h^{-1}(9)=6$‍ boʻladi.

Bu $g$‍ funksiya grafigi. Keling, $g^{-1}(-7)$‍ ni topamiz.

$g^{-1}(-7)$‍ ni topish uchun $g$‍ funksiyaning $-7$‍ erksiz oʻzgaruvchisiga toʻgʻri keluvchi erkli oʻzgaruvchini topamiz. Sababi $g^{-1}(-7)=x$‍ boʻlsa, u holda teskari funksiya taʼrifiga koʻra, $g(x)=-7$‍ boʻladi.

Grafikdan koʻramizki, $g(-3)=-7$‍.

Shuning uchun $g^{-1}(-7)=-3$‍.

Yuqoridagi misollarda funksiya va uning teskarisi oʻrtasidagi algebraik munosabat koʻrsatilgan, ammo ularning grafiklari oʻrtasida ham bogʻliqlik mavjud!

Grafigi va qiymatlar jadvali berilgan $f$‍ funksiyani olsak:

Biz $f$‍ funksiyani erkli va erksiz oʻzgaruvchilarini bir-biri bilan almashtirib $f^{-1}$‍ funksiyaning erkli va erksiz oʻzgaruvchilarini topishimiz mumkin. Shu bois agar $(a,b)$‍ nuqta $y=f(x)$‍ ning grafigida yotsa, u holda $(b,a)$‍ nuqta $y=f^{-1}(x)$‍ ning grafigida yotadi.

Bu bizga $f^{-1}$‍ ning grafigini va qiymatlar jadvalini beradi.

Rasmdagi grafiklarga qarasak, $y=f(x)$‍ va $y=f^{-1}(x)$‍ grafiklari $y=x$‍ toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrik ekanini koʻramiz.

Bu umuman olgandatoʻgʻridir, funksiya va unga teskari boʻlgan funksiyaning grafiklari $y=x$‍ toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrik boʻladi.

Teskari funksiyalar bilan qiziqish keraksizdek tuyulishi mumkin, ammo aslida biz ularni har doim ishlatamiz!

$C={\displaystyle \frac{5}{9}}(F-32)$‍ tenglama Farangeytlardagi, $F$‍, ob-havo haroratini Seltsiy, $C$‍, graduslariga oʻtkazishda ishlatilishi mumkin.

Ammo bizga buning aksini ifodalovchi tenglama kerak – Seltsiydagi havo darajasini Farangeytdagi havo darajasiga oʻzgartirish kerak. Bu $F={\displaystyle \frac{9}{5}}C+32$‍ funksiya bilan yoki teskari funksiya bilan ifodalanadi.

Keyinchalik, biz "oʻzgaruvchini ajratish" usuli orqali matematikada koʻplab tenglamalarni yechamiz. Oʻzgaruvchini ajratib olsak, uning atrofidagi narsalarni "yoʻq qilamiz". Shu tarzda biz tenglamalarni yechishda teskari funksiyalar gʻoyasidan foydalanamiz.