Teskari funksiya haqida dastlabki tushunchalar

Teskari funksiyalar, umumiy maʼnoda, bu bir-birining "aksiʻ boʻlgan funksiyalardir.

Masalan, bu yerda $f$f funksiya $x$x ga $1$1 ni, $z$z ga $2$2 ni, va $y$y ga $3$3 ni mos qoʻyishini koʻramiz:

$f$f funksiyaga teskari funksiya $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript deb belgilanadi va "$f$f ga teskari funksiya" deb oʻqiladi. Bunday funksiya, akslantirish diagrammasida koʻrsatilganidek, teskari yoʻnalishda aks ettiradi. $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript funksiya $x$x ni $1$1 ga, $y$y ga $3$3 ni, $z$z ga esa $2$2 ni mos qoʻyadi.

Umuman olganda, agar $f$f funksiya $a$a ga $b$b ni mos qoʻysa, u holda $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript teskari funksiya $b$b ga $a$a ni mos qoʻyadi.

Bundan teskari funksiyaning taʼrifi kelib chiqadi:

Bir necha misollarni yechish orqali ushbu taʼrifni yaxshiroq tushunishga urinib koʻramiz.

$h$h funksiya yuqoridagi akslantirish diagrammasi orqali aniqlangan boʻlsin. $h^{-1}(9)$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis qiymati nechaga teng?

Bizga $h$h funksiyaga oid maʼlumot berilib, $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript funksiya haqida savol berilgan. Teskari funksiyalar akslantirish yoʻnalishlari bir-biriga teskari boʻlgani sababli fikrimizni ham oʻzgartirishimiz kerak.

Jumladan, $h^{-1}(9)$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis qiymatni topish uchun $h$h erksiz oʻzgaruvchiga mos boʻlgan $9$9 erkli oʻzgaruvchini topamiz. Chunki agar $h^{-1}(9)=x$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x boʻlsa, u holda teskari funksiya taʼrifiga koʻra, $h(x)=9$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9 boʻladi.

Akslantirish diagrammasidan $h(6)=9$h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9 ekanini koʻramiz va shu bois $h^{-1}(9)=6$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6 boʻladi.

Bu $g$g funksiya grafigi. Keling, $g^{-1}(-7)$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis ni topamiz.

$g^{-1}(-7)$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis ni topish uchun $g$g funksiyaning $-7$minus, 7 erksiz oʻzgaruvchisiga toʻgʻri keluvchi erkli oʻzgaruvchini topamiz. Sababi $g^{-1}(-7)=x$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, x boʻlsa, u holda teskari funksiya taʼrifiga koʻra, $g(x)=-7$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 7 boʻladi.

Grafikdan koʻramizki, $g(-3)=-7$g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7.

Shuning uchun $g^{-1}(-7)=-3$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.

Yuqoridagi misollarda funksiya va uning teskarisi oʻrtasidagi algebraik munosabat koʻrsatilgan, ammo ularning grafiklari oʻrtasida ham bogʻliqlik mavjud!

Grafigi va qiymatlar jadvali berilgan $f$f funksiyani olsak:

Biz $f$f funksiyani erkli va erksiz oʻzgaruvchilarini bir-biri bilan almashtirib $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript funksiyaning erkli va erksiz oʻzgaruvchilarini topishimiz mumkin. Shu bois agar $(a,b)$left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis nuqta $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis ning grafigida yotsa, u holda $(b,a)$left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis nuqta $y=f^{-1}(x)$y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis ning grafigida yotadi.

Bu bizga $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript ning grafigini va qiymatlar jadvalini beradi.

Rasmdagi grafiklarga qarasak, $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis va $y=f^{-1}(x)$y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis grafiklari $y=x$y, equals, x toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrik ekanini koʻramiz.

Bu umuman olgandatoʻgʻridir, funksiya va unga teskari boʻlgan funksiyaning grafiklari $y=x$y, equals, x toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrik boʻladi.

Teskari funksiyalar bilan qiziqish keraksizdek tuyulishi mumkin, ammo aslida biz ularni har doim ishlatamiz!

$C=\dfrac59(F-32)$C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis tenglama Farangeytlardagi, $F$F, ob-havo haroratini Seltsiy, $C$C, graduslariga oʻtkazishda ishlatilishi mumkin.

Ammo bizga buning aksini ifodalovchi tenglama kerak – Seltsiydagi havo darajasini Farangeytdagi havo darajasiga oʻzgartirish kerak. Bu $F=\dfrac95C+32$F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32 funksiya bilan yoki teskari funksiya bilan ifodalanadi.

Keyinchalik, biz "oʻzgaruvchini ajratish" usuli orqali matematikada koʻplab tenglamalarni yechamiz. Oʻzgaruvchini ajratib olsak, uning atrofidagi narsalarni "yoʻq qilamiz". Shu tarzda biz tenglamalarni yechishda teskari funksiyalar gʻoyasidan foydalanamiz.