Teskari funksiyalarni topish

Teskari funksiyalar, umumiy maʼnoda, bu bir-birini "teskarilovchi" funksiyalardir. Misol uchun, agar $f$f funksiya $a$a erkli oʻzgaruvchisi, $b$b esa erksiz oʻzgaruvchisi boʻlsa, unda $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript teskari funksiya uchun $b$b erkli oʻzgaruvchi, $a$a esa erksiz oʻzgaruvchisi boʻladi.

Yoki boshqacha aytganda, $f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a$f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a.

Ushbu maqolada biz funksiya biror formula bilan berilgan boʻlsa teskari funksiya uchun formulani topishni oʻrganamiz.

Bu darsda $f(x)=3x+2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2 ga teskari funksiyani topamiz.

Buni amalga oshirishdan oldin $f^{-1}(8)$f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis funksiyani qanday topish haqida oʻylasak.

$f^{-1}(8)$f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis topish uchun $f$f funksiyaning $8$8 erksiz oʻzgaruvchisiga mos erkli oʻzgaruvchini topishimiz kerak. Sababi $f^{-1}(8)=x$f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, x boʻlsa, u holda teskari funksiya taʼrifiga koʻra, $f(x)=8$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8 boʻladi.

Shunday qilib, $f(2)=8$f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 8 ga teng, yaʼni $f^{-1}(8)=2$f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, 2.

Biz yuqoridagi amallarimizni umumlashtirib, istalgan $y$y qiymati uchun $f^{-1}(y)$f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis topishimiz mumkin.

$f^{-1}(y)$f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis topish uchun $f$f funksiyaning $y$y erksiz oʻzgaruvchisiga mos erkli oʻzgaruvchini topamiz. Sababi $f^{-1}(y)=x$f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, x boʻlsa, u holda teskari funksiya taʼrifiga koʻra, $f(x)=y$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, y boʻladi.

Shunday qilib, $f^{-1}(y)=\dfrac{y-2}{3}$f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, start fraction, y, minus, 2, divided by, 3, end fraction.

Oʻzgaruvchi uchun belgini tanlash ixtiyorimizda boʻlgani uchun biz buni $f^{-1}(x)=\dfrac{x-2}{3}$f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 2, divided by, 3, end fraction deb yoza olamiz.