If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 1

Lesson 1: Funksiyalar ustida amallar
Matematika
Algebra II
Funksiyalar
Funksiyalar ustida amallar
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Funksiyalarni qoʻshish va ayirish

Google sinfxona
Ikki funksiyani qoʻshib yoki ayirib yangi funksiya hosil qilishimizni koʻring.
Sonlarni qoʻshib va ayirib bilganimiz kabi, funksiyalarni ham qoʻshib va ayirib bilamiz. Misol uchun, agar f va g funksiyalarimiz boʻlsa, ulardan ikkita yangi funksiya hosil qilishimiz mumkin: f, plus, g va f, minus, g.

Ikkita funksiyani qoʻshish

Misol

Keling, buni ushbu misolda koʻramiz:
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1 va g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x, plus, 5 funksiyalar berilgan, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis ni toping.

Yechim

Funksiyalar ustida amallarni kiritishning eng qiyin jihati bu belgilashlarni tushunishdir. left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis nimani anglatadi?
left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis funksiya f, left parenthesis, x, right parenthesis va g, left parenthesis, x, right parenthesis yigʻindilarini topishni anglatadi. Matematik nuqtayi nazardan, bu left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis ifodaga toʻgʻri keladi.
Endi bu tanish misolga aylanadi.
(f+g)(x)=f(x)+g(x)                             Aniqlang.=(x+1)+(x2−2x+5)        Oʻrniga qoʻying.=x+1+x2−2x+5                Qavslarni oching.=x2−x+6                                Bir xil hadlarni qoʻshing.\begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x)+g(x) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Aniqlang.}}}\\\\ &= \left(x+1\right)+\left(x^2-2x+5\right) ~~~~~~~~\small{\gray{\text{Oʻrniga qoʻying.}}}\\\\ &= x+1+x^2-2x+5~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Qavslarni oching.}}}\\\\ &=x^2-x+6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Bir xil hadlarni qoʻshing.}}} \end{aligned}

Buni grafikda ham koʻrishimiz mumkin:

Quyidagi chizmada y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis va y, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis grafiklari aks ettirilgan:
Birinchi grafikdan f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 va g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #11accd, 5, end color #11accd ekanini koʻrishimiz mumkin. Ikkinchi grafikdan esa left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10 ekanini koʻrishimiz mumkin.
Demak, f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 2, right parenthesis boʻladi, sababi start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 5, end color #11accd, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
Endi siz ham urinib koʻring. f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis boʻlishiga oʻzingizni ishontiring.
Har bir ifodaning qiymatini hisoblang.
f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi
g, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi
left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

Keling, mavzuga oid bir nechta mashqlarni bajarib koʻramiz:

1 va 2-misolda a, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, minus, 5, x, plus, 2 va b, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 8, x, minus, 10 boʻlsin.

1-masala

left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis ni toping .

2-masala

Hisoblang: left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

Ikkita funksiyani ayirish

Ikkita funksiyani ayirish ham xuddi shunday amalga oshiriladi. Quyida bunga misol keltirilgan:

Misol

p, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 2, t, minus, 1 va q, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, minus, 4, t, minus, 1.
left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis ni topaylik.

Yechim

Bu yerda eng qiyin jihati bu belgilashlarni tushunishdir. Ammo qoʻshimcha misolni yechib koʻrsak, left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis siz oʻylagan narsa ekanini anglab yetasiz.
Taʼrifga koʻra, left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, q, left parenthesis, t, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, t, right parenthesis. Endi, misolni yechishimiz mumkin.
=(q−p)(t)=q(t)−p(t)Aniqlang.=(−t2−4t−1)−(2t−1)Oʻrniga qoʻying.=−t2−4t−1−2t+1Manfiy ishorani yoying.=−t2−6tBir xil hadlarni qoʻshing.\begin{aligned} &\phantom{=}(q-p)(t) \\\\ &=q(t)-p(t)\quad\small{\gray{\text{Aniqlang.}}} \\\\ &= (-t^2-4t-1)-(2t-1)\quad\small{\gray{\text{Oʻrniga qoʻying.}}}\\\\ &=-t^2-4t-1-2t+1\quad\small{\gray{\text{Manfiy ishorani yoying.}}}\\\\ &=-t^2-6t \quad\small{\gray{\text{Bir xil hadlarni qoʻshing.}}}\end{aligned}
Shunday qilib, left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, minus, 6, t, point

Keling, mavzuga oid bir nechta mashqlarni bajarib koʻramiz:

3-masala

j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, n, cubed, minus, n, squared, plus, 8
k, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 8, n, squared, plus, 3, n, minus, 5
left parenthesis, j, minus, k, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis ni toping.

4-misol

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, squared, minus, 7, x, plus, 2
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 5
Hisoblang: left parenthesis, h, minus, g, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

Tatbiqlar

Bir kollej qayd etishicha, 1980-yildan boshlab t yil mobaynida bakalavr darajasiga erishgan erkaklar M soni va ayollar W soni mos ravishda M, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 526, minus, t va W, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 474, plus, 2, t funksiyalari bilan modellashtirilar ekan.
N – 1980-yildan buyon t yil mobaynida kollejda bakalavr darajasiga erishgan jami talabalar soni boʻlsin.
N, left parenthesis, t, right parenthesis uchun ifodani yozing.
N, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

Murakkab masala

y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis va y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis grafiklari quyidagi tekislikda chizilgan.
Qaysi biri y, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis ning grafigi?
Bitta javobni tanlang:

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.