If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Mavhum sonlar mavzusiga kirish

i mavhum birlik, mavhum sonlar va manfiy sonlarning kvadrat ildizlari haqida bilib oling.
Matematikani oʻrganish jarayonida baʼzi kvadrat tenglamalar haqiqiy sonlarda yechimga ega emasligiga guvoh boʻlgandirsiz.
Misol uchun, qoʻlingizdan kelgancha urinsangiz ham, x2=1 tenglamaning haqiqy sonlarda yechimini topishga muvaffaq boʻlmaysiz. Sababi haqiqiy sonlarni kvadratga oshirib manfiy sonni hosil qilish mumkin emas!
Biroq x2=1 tenglama yechimi yangi sonlar tizimida mavjud, u kompleks sonlar tizimi deb yuritiladi.

Mavhum birlik

Ushbu yangi sonlar tizimining asosida mavhum birlik yoki i soni yotadi.
Ushbu i soni uchun quyidagilar oʻrinli:
  • i=1
  • i2=1
Ikkinchi xossa i soni haqiqatan x2=1 tenglama yechimi ekanini koʻrsatadi. Ilgari yechib boʻlmaydigan tenglama endi mavhum birlik qoʻshilishi bilan yechiladi!

Mavhum sonlar

i soni shubhasiz yagonadir! Ushbu mavhum birlikning karralilarini olib cheksiz koʻp mavhum sonlarni hosil qilishimiz mumkin.
Jumladan, 3i, i5 va 12i mavhum sonlarga misolldir. Umuman, bi koʻrinishdagi sonlar mavhum sonlar boʻladi, bu yerda b - nol boʻlmagan haqiqiy son.
Ushbu sonlarni kvadratga oshirib, ularning haqiqiy sonlarga qanday aloqasi borligini koʻrsatib beramiz. 3i sonni tadqiq qilaylik. Butun darajaga koʻtarish xossasi oʻzgarmasdan qoladi, demak, 3i ni quyidagicha kvadratga koʻtarishimiz mumkin.
(3i)2=32i2=9i2
i2=1 dadan foydalanib, uni quyida koʻrsatilganidek soddalashtirishimiz mumkin:
(3i)2=9i2=9(1)=9
(3i)2=9 tenglik 3i son 9ning kvadrat ildizi ekanini anglatadi.

Tushunganingizni tekshiring

(4i)2 ni toping.
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3/5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7/4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1 3/4 kabi aralash son
  • 0.75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12 pi yoki 2/3 pi kabi pi ning karralisi

Quyidagilarning qaysi biri 16ning kvadrat ildizi boʻladi?
Bitta javobni tanlang:

Shu yoʻl bilan koʻrishimiz mumkinki mavhum son manfiy sonlarning kvadrat ildizidir!

Mavhum sonlarni soddalashtirish

Quyidagi jadvalda soddalashtirilgan va soddalashtirilmagan shakldagi mavhum sonlarga oid misollar berilgan.
Soddalashtirilmagan koʻrinishSoddalashtirilgan koʻrinish
93i
5i5
14412i
Ammo bu mavhum sonlarni qanday soddalashtiramiz?
Keling, birinchi misolga yaxshiroq nazar solamiz va uni soddalashtirish haqida oʻylab koʻramiz.
TenglikAsoslash
9=3i9 ning kvadrat ildizi mavhum sondir. 9 ning kvadrat ildizi 3, demak, manfiy 9 ning kvadrat ildizi 3 ta mavhum birlikdir yoki 3i.
Quyidagi xossa yuqoridagi "asoslash"ni matematik terminlarda tushuntiradi:
a>0 uchun a=ia
Agar biz buni ildizlarni soddalashtirish haqida oldin oʻrgangan bilimlarimiz bilan birlashtirsak, barcha mavhum sonlarni soddalashtirishimiz mumkin. Bir misolni koʻrib chiqaylik.

Misol

18 ni soddalashtiring.

Yechim

Dastlab 18 mavhum son ekaniga ahamiyat beramiz, chunki u manfiy sonning kvadrat ildizidir. Shuning uchun biz 18 ifodani i18 tarzida yozishdan boshlashimiz mumkin.
Keyin 18 sonni, ildizlarni soddalashtirish haqida bilganlarimizdan foydalanib, soddalashtirishimiz mumkin.
Ish quyida koʻrsatilgan:
18=i18a>0 uchun a=ia=i929 soni 18ning toʻliq kvadrat boʻlgan boʻluvchisidir.=i92ab=ab agar a,b0=i329=3=3i2Koʻpaytuvchilarning oʻrnini almashtiramiz.
Shuning uchun 18=3i2.

Misollarni yechamiz

1-masala

Soddalashtiring : 25.

2-masala

Soddalashtiring: 10.

3-masala

Soddalashtiring: 24.

Nima uchun bizga mavhum sonlar kerak?

Javob oddiy. i mavhum soni haqiqiy sonda yechimi boʻlmagan koʻplab tenglamalarga yechim topishga yordam beradi.
Bu gʻalati tuyulishi mumkin, ammo tenglamalarning bir sonli tizimda yechilmasligi, biroq boshqasida, umumiyroq sonlar tizimida, yechimga ega boʻlishi aslida juda koʻp uchraydi.
Sizga tanish boʻlgan baʼzi misollar.
  • Natural sonlarda x+8=1 tenglamani yecha olmaymiz, buning uchun bizga butun sonlar kerak!
  • Butun sonlarda 3x1=0 tenglamani yecha olmaymiz, buning uchun bizga ratsional sonlar kerak!
  • Ratsional sonlarda x2=2 tenglamani yecha olmaymiz. Irratsional sonlar va haqiqiy sonlar tizimini kiriting!
Shunday qilib, haqiqiy sonlarda x2=1 tenglamani yecha olmaymiz. Buning uchun bizga mavhum sonlar kerak boʻladi!
Matematikani oʻrganishda davom etsangiz, bu sonlarning muhimligini tushunishni boshlaysiz.