If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 8

Lesson 3: Logarifm xossalari
Matematika
Algebra II
Koʻrsatkichli funksiyalar va logarifmlar
Logarifm xossalari
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Logarifm xossalariga kirish

Google sinfxona
Logarifm xossalarini va ulardan foydalanishni oʻrganing. Misol uchun, log₂(3a) ni yigʻindi koʻrinishida yozing.
Koʻpaytma qoidasilog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Boʻlinma qoidasilog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Daraja qoidasilog, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, dot, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
(Ushbu xossalar M, N, is greater than, 0 va 0, is less than, b, does not equal, 1 boʻlganidagina oʻrinli boʻladi)

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Logarifm nimaligini bilishingiz kerak, agar bilmasangiz, logarifmga kirish mavzusini qaytadan koʻrib chiqing.

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Logarifmlarda, koʻrsatkichlar kabi, logarifmik ifodalarni soddalashtirish va logarifmik tenglamalarni yechish uchun bir qancha xossalar mavjud. Bu mavzu uchta xossani tushuntiradi.
Keling, har bir xossani alohida koʻrib chiqamiz.

Koʻpaytma qoidasi: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Bu xossa ikkita logarifmning yigʻindisi koʻpaytmaning logarifmga teng ekanini koʻrsatadi.
Logarifmik ifodalarni qaytadan yozish uchun koʻpaytma xossasidan foydalanamiz.

1-misol: logarifmlarni yoyish

Logarifmlarni yoyish ikkita yoki undan ortiq logarifmlarning yigʻindi shaklida yozishdir.
Keling, log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis ni yoyib yozamiz.
Logarifm argumentidagi ikkita koʻpaytuvchi (start color #11accd, 5, end color #11accd va start color #1fab54, y, end color #1fab54) ga eʼtibor bering. Biz bu yerda logarifmni yoyib yozish uchun koʻpaytma qoidasidan foydalanamiz.
log⁡6(5y)=log⁡6(5⋅y)=log⁡6(5)+log⁡6(y)Koʻpaytma qoidasi\begin{aligned} \log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y) \\\\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&{\gray{\text{Koʻpaytma qoidasi}}} \end{aligned}

2-misol: logarifmlarni birlashtirish

Ikki yoki undan ortiq logarifmni birlashtirish ularni bitta logarifmga keltirib yozishni bildiradi.
Keling, log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis ni birlashtiramiz.
Ikkala logarifmning asosi bir xil (3) boʻlgani uchun koʻpaytma qoidasidan teskari ravishda foydalana olamiz:
log⁡3(10)+log⁡3(x)=log⁡3(10⋅x)Koʻpaytma qoidasi=log⁡3(10x)\begin{aligned} \log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&{\gray{\text{Koʻpaytma qoidasi}}} \\\\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Muhim eslatma

Koʻpaytma qoidasi orqali logarifmik qoidalarni birlashtirganimizda logarifmlarning asoslari bir xil boʻlishi shart.
Misol uchun, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis kabi ifodalarni koʻpaytma qoidasi orqali soddalashtira olmaymiz.

Tushunganingizni tekshiring

1) log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis ni yoyib yozing.

2) log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis ni birlashtiring.

Boʻlinma qoidasi: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Bu xossa boʻlinmaning logarifmi boʻlinuvchining logarifmidan va boʻluvchining logarifmini ayirganga tengligini ifodalaydi.
Logarifmik ifodalarni qaytadan yozish uchun boʻlinmaning qoidasidan foydalanamiz.

1-misol: logarifmlarni yoyish

log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis ni ikkita logarifmning ayirmasi shaklida yoyamiz va boʻlinma qoidasidan foydalanamiz.
log⁡7(a2)=log⁡7(a)−log⁡7(2)Boʻlinma qoidasi\begin{aligned} \log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &{\gray{\text{Boʻlinma qoidasi}}} \end{aligned}

2-misol: logarifmlarni birlashtirish

Keling, log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis ni birlashtiramiz.
Ikkala logarifmning asosi bir xil (4) boʻlgani uchun boʻlinma qoidasidan teskari ravishda foydalana olamiz:
log⁡4(x3)−log⁡4(y)=log⁡4(x3y)Boʻlinma qoidasi\begin{aligned} \log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&{\gray{\text{Boʻlinma qoidasi}}} \end{aligned}

Muhim eslatma

Boʻlinma qoidasi orqali logarifmik qoidalarni birlashtirganimizda logarifmlarning asoslari bir xil boʻlishi shart.
Misol uchun, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis kabi ifodalarni boʻlinma qoidasi orqali soddalashtira olmaymiz.

Tushunganingizni tekshiring

3) log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis ni yoyib yozing.

4) log, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, log, left parenthesis, 8, right parenthesis ni birlashtiring.

Daraja qoidasi: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Bu xossa quyidagini bildiradi: son darajasining logarifmi shu sonning logarifmi daraja koʻrsatkichiga koʻpaytirilganiga teng.
Logarifmik ifodalarni qaytadan yozish uchun daraja qoidasidan foydalanamiz.

1-misol: logarifmlarni yoyish

Yagona logarifmni yoyish boshqa logarifmning koʻpaytiruv shaklida yozishni anglatadi.
log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis ni yoyish uchun daraja qoidasidan foydalanamiz.
log⁡2(x3)=3⋅log⁡2(x)Daraja qoidasi=3log⁡2(x)\begin{aligned} \log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&{\gray{\text{Daraja qoidasi}}} \\\\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

2-misol: logarifmlarni birlashtirish

Bir qancha logarifmni birlashtirish yagona logarifmni yozishni bildiradi.
4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis ni birlashtirish uchun daraja qoidasidan foydalanamiz.
Logarifmik ifodani daraja qoidasi orqali birlashtirganimizda har qanday koʻpaytuvchini darajaga olib bora olamiz.
4log⁡5(2)=log⁡5(24)Daraja qoidasi=log⁡5(16)\begin{aligned} \maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)&&{\gray{\text{Daraja qoidasi}}} \\\\ &=\log_5(16) \end{aligned}

Tushunganingizni tekshiring

5) log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis ni yoying.

6) 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis ni birlashtiring.

Murakkab masalalar

Keyingi misollarni yechish uchun turli xil xossalardan foydalanishingiz kerak. Harakat qilib koʻring!
7) Quyidagilarning qaysi biri log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis ga ekvivalent?
Bitta javobni tanlang:

8) quyidagilarning qaysi biri 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis ga teng?
Bitta javobni tanlang:

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.