Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 8

Lesson 3: Logarifm xossalari

Logarifm xossalariga kirish

Logarifm xossalarini va ulardan foydalanishni oʻrganing. Misol uchun, log₂(3a) ni yigʻindi koʻrinishida yozing.


Koʻpaytma qoidasi	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
Boʻlinma qoidasi	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
Daraja qoidasi	$\log_{b} (M^{p}) = p \cdot \log_{b} (M)$ ‍

(Ushbu xossalar

M

N > 0

0 < b \neq 1

boʻlganidagina oʻrinli boʻladi)

[Bularning barchasi yana nimani anglatadi?]

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Logarifm nimaligini bilishingiz kerak, agar bilmasangiz, logarifmga kirish mavzusini qaytadan koʻrib chiqing.

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Logarifmlarda, koʻrsatkichlar kabi, logarifmik ifodalarni soddalashtirish va logarifmik tenglamalarni yechish uchun bir qancha xossalar mavjud. Bu mavzu uchta xossani tushuntiradi.

Keling, har bir xossani alohida koʻrib chiqamiz.

Koʻpaytma qoidasi: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Bu xossa ikkita logarifmning yigʻindisi koʻpaytmaning logarifmga teng ekanini koʻrsatadi.

[Buni sonlar qatnashgan misollar bilan koʻrsating.]

Logarifmik ifodalarni qaytadan yozish uchun koʻpaytma xossasidan foydalanamiz.

1-misol: logarifmlarni yoyish

Logarifmlarni yoyish ikkita yoki undan ortiq logarifmlarning yigʻindi shaklida yozishdir.

Keling,

\log_{6} (5 y)

ni yoyib yozamiz.

Logarifm argumentidagi ikkita koʻpaytuvchi (

5

y

) ga eʼtibor bering. Biz bu yerda logarifmni yoyib yozish uchun koʻpaytma qoidasidan foydalanamiz.

\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \cdot y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) & Koʻpaytma qoidasi \end{aligned}

2-misol: logarifmlarni birlashtirish

Ikki yoki undan ortiq logarifmni birlashtirish ularni bitta logarifmga keltirib yozishni bildiradi.

Keling,

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

ni birlashtiramiz.

Ikkala logarifmning asosi bir xil (

3

) boʻlgani uchun koʻpaytma qoidasidan teskari ravishda foydalana olamiz:

\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \cdot x) & Koʻpaytma qoidasi \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}

Muhim eslatma

Koʻpaytma qoidasi orqali logarifmik qoidalarni birlashtirganimizda logarifmlarning asoslari bir xil boʻlishi shart.

Misol uchun,

\log_{2} (8) + \log_{3} (y)

kabi ifodalarni koʻpaytma qoidasi orqali soddalashtira olmaymiz.

Tushunganingizni tekshiring

1) $\log_{2} (3 a)$ ‍ ni yoyib yozing.

2) $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍ ni birlashtiring.

Boʻlinma qoidasi: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Bu xossa boʻlinmaning logarifmi boʻlinuvchining logarifmidan va boʻluvchining logarifmini ayirganga tengligini ifodalaydi.

[Buni sonlar qatnashgan misollar bilan koʻrsating.]

Logarifmik ifodalarni qaytadan yozish uchun boʻlinmaning qoidasidan foydalanamiz.

1-misol: logarifmlarni yoyish

\log_{7} (\frac{a}{2})

ni ikkita logarifmning ayirmasi shaklida yoyamiz va boʻlinma qoidasidan foydalanamiz.

\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) & Boʻlinma qoidasi \end{aligned}

2-misol: logarifmlarni birlashtirish

Keling,

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

ni birlashtiramiz.

Ikkala logarifmning asosi bir xil (

4

) boʻlgani uchun boʻlinma qoidasidan teskari ravishda foydalana olamiz:

\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) & Boʻlinma qoidasi \end{aligned}

Muhim eslatma

Boʻlinma qoidasi orqali logarifmik qoidalarni birlashtirganimizda logarifmlarning asoslari bir xil boʻlishi shart.

Misol uchun,

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

kabi ifodalarni boʻlinma qoidasi orqali soddalashtira olmaymiz.

Tushunganingizni tekshiring

3) $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍ ni yoyib yozing.

4) $\log (3 z) - \log (8)$ ‍ ni birlashtiring.

Daraja qoidasi: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Bu xossa quyidagini bildiradi: son darajasining logarifmi shu sonning logarifmi daraja koʻrsatkichiga koʻpaytirilganiga teng.

[Misol koʻrsating, iltimos.]

Logarifmik ifodalarni qaytadan yozish uchun daraja qoidasidan foydalanamiz.

1-misol: logarifmlarni yoyish

Yagona logarifmni yoyish boshqa logarifmning koʻpaytiruv shaklida yozishni anglatadi.

\log_{2} (x^{3})

ni yoyish uchun daraja qoidasidan foydalanamiz.

\begin{aligned} \log_{2} (x^{3}) & = 3 \cdot \log_{2} (x) & Daraja qoidasi \\ = 3 \log_{2} (x) \end{aligned}

2-misol: logarifmlarni birlashtirish

Bir qancha logarifmni birlashtirish yagona logarifmni yozishni bildiradi.

4 \log_{5} (2)

ni birlashtirish uchun daraja qoidasidan foydalanamiz.

Logarifmik ifodani daraja qoidasi orqali birlashtirganimizda har qanday koʻpaytuvchini darajaga olib bora olamiz.

\begin{aligned} 4 \log_{5} (2) & = \log_{5} (2^{4}) & Daraja qoidasi \\ = \log_{5} (16) \end{aligned}

Tushunganingizni tekshiring

5) $\log_{7} (x^{5})$ ‍ ni yoying.

6) $6 \ln (y)$ ‍ ni birlashtiring.

Murakkab masalalar

Keyingi misollarni yechish uchun turli xil xossalardan foydalanishingiz kerak. Harakat qilib koʻring!

7) Quyidagilarning qaysi biri $\log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5})$ ‍ ga ekvivalent?

8) quyidagilarning qaysi biri $3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5)$ ‍ ga teng?

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 8

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Koʻpaytma qoidasi: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

1-misol: logarifmlarni yoyish

2-misol: logarifmlarni birlashtirish

Muhim eslatma

Tushunganingizni tekshiring

Boʻlinma qoidasi: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

1-misol: logarifmlarni yoyish

2-misol: logarifmlarni birlashtirish

Muhim eslatma

Tushunganingizni tekshiring

Daraja qoidasi: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

1-misol: logarifmlarni yoyish

2-misol: logarifmlarni birlashtirish

Tushunganingizni tekshiring

Murakkab masalalar

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Koʻpaytma qoidasi: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Boʻlinma qoidasi: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Daraja qoidasi: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍