If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 8

Lesson 3: Logarifm xossalari
Matematika
Algebra II
Koʻrsatkichli funksiyalar va logarifmlar
Logarifm xossalari
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Logarifm xossalarini asoslash

Google sinfxona
Koʻpaytmaning, boʻlinmaning logarifmi va darajaning logarifmi uchun qoidalar qanday isbotlanganini oʻrganing.
Bu darsda biz logarifmning uchta xossasini isbotlaymiz: koʻpaytma qoidasi, boʻlinma qoidasi va daraja qoidasi. Buni boshlashdan oldin bizga foydali boʻlgan bir faktga qaraylik.
log, start base, b, end base, left parenthesis, b, start superscript, c, end superscript, right parenthesis, equals, c
Boshqacha aytganda, bunda b asosli logarifm yoʻqolib, faqat b ning daraja koʻrsatkichi qoladi!
Har safar isbot qilganimizda shuni yodingizda saqlang.

Koʻpaytma xossasi: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Qoidani isbotlashni M, equals, 4, N, equals, 8 va b, equals, 2 boʻlgan holdan boshlaylik.
Ushbu qiymatlarni log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis ga qoʻysak:
log⁡2(4⋅8)=log⁡2(22⋅23)22=4 va 23=8=log⁡2(22+3)am⋅an=am+n=2+3log⁡b(bc)=c=log⁡2(4)+log⁡2(8) 2=log⁡2(4) and 3=log⁡2(8)\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(2^2\cdot 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ va } 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{ $2=\log_2(4)$ and $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}
Hamda biz log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, dot, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis ga ega boʻlamiz.
Endi bu qoida yordamida misollarni koʻrib chiqsak boʻladi.
4 va 8 sonlarni 2 ning darajalari sifatida yozish isbotlashning kaliti ekaniga eʼtibor bering. Shunda M va N lar b ning darajalari boʻlsa yaxshi boʻlar edi. x va y haqiqiy sonlar uchun M, equals, b, start superscript, x, end superscript va N, equals, b, start superscript, y, end superscript deylik.
Taʼrifga koʻra, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x va log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y oʻrinli.
U holda:
log⁡b(MN)=log⁡b(bx⋅by)Oʻrniga qoʻyish=log⁡b(bx+y)Daraja xossasi=x+ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)+log⁡b(N)Oʻrniga qoʻyish\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\cdot b^y)&&\small{\gray{\text{Oʻrniga qoʻyish}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{Daraja xossasi}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Oʻrniga qoʻyish}}} \end{aligned}

Boʻlinma xossasi: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Ushbu xossaning isboti yuqorida bajarilgandek boʻladi.
Agar M, equals, b, start superscript, x, end superscript va N, equals, b, start superscript, y, end superscript boʻlsa, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x va log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y boʻladi.
Boʻlinma qoidasini quyidagidek isbotlay olamiz:
log⁡b(MN)=log⁡b(bxby)Oʻrniga qoʻyish=log⁡b(bx−y)Daraja xossasi=x−ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)−log⁡b(N)Oʻrniga qoʻyish\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{Oʻrniga qoʻyish}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{Daraja xossasi}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Oʻrniga qoʻyish}}} \end{aligned}

Daraja qoidasi: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Bu safar asosiy vazifani M oʻynaydi, bunda M, equals, b, start superscript, x, end superscript ga teng, bu esa log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x ni beradi.
Daraja qoidasining isboti quyida berilgan:
log⁡b(Mp)=log⁡b((bx)p)Oʻrniga qoʻyish=log⁡b(bxp)Daraja xossasi=xplog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)⋅pOʻrniga qoʻyish=p⋅log⁡b(M)Koʻpaytirishda oʻrin almashtirish xossasi\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{Oʻrniga qoʻyish}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{Daraja xossasi}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\cdot p&&\small{\gray{\text{Oʻrniga qoʻyish}}}\\ \\ &=p\cdot \log_b(M)&&\small{\gray{\text{Koʻpaytirishda oʻrin almashtirish xossasi}}} \end{aligned}
Buni koʻpaytma qoidasiga koʻra isbotlashimiz ham mumkin.
Misol uchun, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, dot, M, dot, point, point, point, dot, M, right parenthesis, bu yerda M p marta koʻpaytirilgan.
Isbotlashni tugatish uchun koʻpaytma qoidasidan foydalanamiz. Bu quyida koʻrsatilgan:
log⁡b(Mp)=log⁡b(M⋅M⋅...⋅M)Daraja taʼrifi=log⁡b(M)+log⁡b(M)+...+log⁡b(M)Koʻpaytma qoidasi=p⋅log⁡b(M)Takrorli qoʻshishning koʻpaytma shakli\begin{aligned} \log_b(M^p) &=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M)&&\small{\gray{\text{Daraja taʼrifi}}}\\ \\ &= \log_b(M)+\log_b(M)+...+\log_b(M)&& \small{\gray{\text{Koʻpaytma qoidasi}}}\\\\ &= p\cdot \log_b(M) &&\small{\gray{\text{Takrorli qoʻshishning koʻpaytma shakli}}}\end{aligned}
Logarifm xossalarining uchtasini isbotlab boʻldik!

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.