Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 8

Lesson 3: Logarifm xossalari

Logarifm xossalarini asoslash

Koʻpaytmaning, boʻlinmaning logarifmi va darajaning logarifmi uchun qoidalar qanday isbotlanganini oʻrganing.

Bu darsda biz logarifmning uchta xossasini isbotlaymiz: koʻpaytma qoidasi, boʻlinma qoidasi va daraja qoidasi. Buni boshlashdan oldin bizga foydali boʻlgan bir faktga qaraylik.

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

Boshqacha aytganda, bunda

b

asosli logarifm yoʻqolib, faqat

b

ning daraja koʻrsatkichi qoladi!

[Nega bu toʻgʻri?]

Har safar isbot qilganimizda shuni yodingizda saqlang.

Koʻpaytma xossasi: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Qoidani isbotlashni

M = 4

N = 8

b = 2

boʻlgan holdan boshlaylik.

Ushbu qiymatlarni

\log_{b} (M N)

ga qoʻysak:

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{3}) & 2^{2} = 4 va 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & 2 = \log_{2} (4) and 3 = \log_{2} (8) \end{aligned}$ ‍

Hamda biz

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

ga ega boʻlamiz.

Endi bu qoida yordamida misollarni koʻrib chiqsak boʻladi.

4

8

sonlarni

2

ning darajalari sifatida yozish isbotlashning kaliti ekaniga eʼtibor bering. Shunda

M

N

lar

b

ning darajalari boʻlsa yaxshi boʻlar edi.

x

y

haqiqiy sonlar uchun

M = b^{x}

N = b^{y}

deylik.

[Nimaga bunday qilishimiz mumkin?]

Taʼrifga koʻra,

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

oʻrinli.

U holda:

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \cdot b^{y}) & Oʻrniga qoʻyish \\ = \log_{b} (b^{x + y}) & Daraja xossasi \\ = x + y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & Oʻrniga qoʻyish \end{aligned}$ ‍

Boʻlinma xossasi: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Ushbu xossaning isboti yuqorida bajarilgandek boʻladi.

Agar

M = b^{x}

N = b^{y}

boʻlsa,

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

boʻladi.

Boʻlinma qoidasini quyidagidek isbotlay olamiz:

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) & Oʻrniga qoʻyish \\ = \log_{b} (b^{x - y}) & Daraja xossasi \\ = x - y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & Oʻrniga qoʻyish \end{aligned}$ ‍

Daraja qoidasi: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Bu safar asosiy vazifani

M

oʻynaydi, bunda

M = b^{x}

ga teng, bu esa

\log_{b} (M) = x

ni beradi.

Daraja qoidasining isboti quyida berilgan:

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) & Oʻrniga qoʻyish \\ = \log_{b} (b^{x p}) & Daraja xossasi \\ = x p & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) \cdot p & Oʻrniga qoʻyish \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Koʻpaytirishda oʻrin almashtirish xossasi \end{aligned}$ ‍

Buni koʻpaytma qoidasiga koʻra isbotlashimiz ham mumkin.

Misol uchun,

\log_{b} (M^{p}) = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M)

, bu yerda

M

p

marta koʻpaytirilgan.

Isbotlashni tugatish uchun koʻpaytma qoidasidan foydalanamiz. Bu quyida koʻrsatilgan:

\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M) & Daraja taʼrifi \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (M) + … + \log_{b} (M) & Koʻpaytma qoidasi \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Takrorli qoʻshishning koʻpaytma shakli \end{aligned}

Logarifm xossalarining uchtasini isbotlab boʻldik!

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 8

Koʻpaytma xossasi: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Boʻlinma xossasi: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Daraja qoidasi: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Koʻpaytma xossasi: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Boʻlinma xossasi: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Daraja qoidasi: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍