If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Logarifm xossalarini asoslash

Koʻpaytmaning, boʻlinmaning logarifmi va darajaning logarifmi uchun qoidalar qanday isbotlanganini oʻrganing.
Bu darsda biz logarifmning uchta xossasini isbotlaymiz: koʻpaytma qoidasi, boʻlinma qoidasi va daraja qoidasi. Buni boshlashdan oldin bizga foydali boʻlgan bir faktga qaraylik.
logb(bc)=c
Boshqacha aytganda, bunda b asosli logarifm yoʻqolib, faqat b ning daraja koʻrsatkichi qoladi!
Har safar isbot qilganimizda shuni yodingizda saqlang.

Koʻpaytma xossasi: logb(MN)=logb(M)+logb(N)

Qoidani isbotlashni M=4, N=8 va b=2 boʻlgan holdan boshlaylik.
Ushbu qiymatlarni logb(MN) ga qoʻysak:
log2(48)=log2(2223)22=4 va 23=8=log2(22+3)aman=am+n=2+3logb(bc)=c=log2(4)+log2(8) 2=log2(4) and 3=log2(8)
Hamda biz log2(48)=log2(4)+log2(8) ga ega boʻlamiz.
Endi bu qoida yordamida misollarni koʻrib chiqsak boʻladi.
4 va 8 sonlarni 2 ning darajalari sifatida yozish isbotlashning kaliti ekaniga eʼtibor bering. Shunda M va N lar b ning darajalari boʻlsa yaxshi boʻlar edi. x va y haqiqiy sonlar uchun M=bx va N=by deylik.
Taʼrifga koʻra, logb(M)=x va logb(N)=y oʻrinli.
U holda:
logb(MN)=logb(bxby)Oʻrniga qoʻyish=logb(bx+y)Daraja xossasi=x+ylogb(bc)=c=logb(M)+logb(N)Oʻrniga qoʻyish

Boʻlinma xossasi: logb(MN)=logb(M)logb(N)

Ushbu xossaning isboti yuqorida bajarilgandek boʻladi.
Agar M=bx va N=by boʻlsa, logb(M)=x va logb(N)=y boʻladi.
Boʻlinma qoidasini quyidagidek isbotlay olamiz:
logb(MN)=logb(bxby)Oʻrniga qoʻyish=logb(bxy)Daraja xossasi=xylogb(bc)=c=logb(M)logb(N)Oʻrniga qoʻyish

Daraja qoidasi: logb(Mp)=plogb(M)

Bu safar asosiy vazifani M oʻynaydi, bunda M=bx ga teng, bu esa logb(M)=x ni beradi.
Daraja qoidasining isboti quyida berilgan:
logb(Mp)=logb((bx)p)Oʻrniga qoʻyish=logb(bxp)Daraja xossasi=xplogb(bc)=c=logb(M)pOʻrniga qoʻyish=plogb(M)Koʻpaytirishda oʻrin almashtirish xossasi
Buni koʻpaytma qoidasiga koʻra isbotlashimiz ham mumkin.
Misol uchun, logb(Mp)=logb(MMM), bu yerda M p marta koʻpaytirilgan.
Isbotlashni tugatish uchun koʻpaytma qoidasidan foydalanamiz. Bu quyida koʻrsatilgan:
logb(Mp)=logb(MMM)Daraja taʼrifi=logb(M)+logb(M)++logb(M)Koʻpaytma qoidasi=plogb(M)Takrorli qoʻshishning koʻpaytma shakli
Logarifm xossalarining uchtasini isbotlab boʻldik!