If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Algebra II

Course: Algebra II > Unit 8

Lesson 1: Logarifmga kirish
Matematika
Algebra II
Koʻrsatkichli funksiyalar va logarifmlar
Logarifmga kirish
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Logarifmga kirish

Google sinfxona
Logarifm nimaligini tushunib oling va uni qanday hisoblashni oʻrganing. 

Bu darsni oʻqishdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Darajalar va manfiy darajalarni bilishingiz kerak

Bu darsda oʻrganadigan narsalaringiz

Siz logarifm aslida nima ekani va sodda logarifmlarni hisoblashni oʻrganasiz.

Logarifm nima?

Logarifm – koʻrsatkichli tenglikni yozishning boshqa bir yoʻli.
Misol uchun, start color #11accd, 2, end color #11accd ning start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, end text, end superscript-darajasi start color #e07d10, 16, end color #e07d10 ga tengligini bilamiz. Bu koʻrsatkichli tenglikda start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10 shaklida ifodalanadi.
Tasavvur qiling, sizdan bir kishi “start color #11accd, 2, end color #11accd ning nechanchi darajasi start color #e07d10, 16, end color #e07d10 ga teng?” deb soʻradi. Javob start color #0d923f, 4, end color #0d923f, comma deb javob berdingiz. Bu esa logarifmik tenglama deb ifodalanadi va log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f shaklida yoziladi va bu “ikki asosga koʻra 16, 4 ga teng” deb oʻqiladi.
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f
Ikkala tenglama start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f va start color #e07d10, 16, end color #e07d10 orasidagi munosabatni bir xil ifodalaydi, bu yerda start color #11accd, 2, end color #11accd son asos, start color #0d923f, 4, end color #0d923f son esa koʻrsatkich.
Farqa shundaki, koʻrsatkichli shakl natijani, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, yashiradi, logarifmik shakl esa koʻrsatkichni, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, yashiradi.
Bu yerda logarifmik va koʻrsatkichli tengliklar ekvivalent boʻlganiga misollar berilgan.
Logarifmik shaklKoʻrsatkichli shakl
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Logarifmning taʼrifi

Yuqoridagi misollarni umumlashtirish bizga logarifmning taʼrifini beradi.
log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10
Ikkala tenglama start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd va start color #0d923f, c, end color #0d923f orasidagi munosabatni bir xil ifodalaydi:
  • start color #11accd, b, end color #11accd start color #11accd, start text, a, s, o, s, end text, end color #11accd,
  • start color #0d923f, c, end color #0d923f start color #0d923f, start text, k, o, ʻ, r, s, a, t, k, i, c, h, end text, end color #0d923f,
  • start color #e07d10, a, end color #e07d10 start color #e07d10, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #e07d10.

Foydali maslahat

Koʻrsatkichli tengliklarni logarifmik shaklda yoki logarifmik shakllarni koʻrsatkichli shaklda qaytadan yozayotganimizda logarifmning asosi koʻrsatkichning asosi bilan bir xil boʻlishini yodda saqlashimiz kerak.

Tushunganingizni tekshiring

Quyidagi misollarda koʻrsatkichli va logarifmik shaklllar oʻrtasida oʻzaro oʻzgartirishlarni mashq qilasiz.
1-masala
Quyidagilarning qaysi biri 2, start superscript, 5, end superscript, equals, 32 ga ekvivalent?
Bitta javobni tanlang:

2-masala
Quyidagilarning qaysi biri 5, cubed, equals, 125 ga ekvivalent?
Bitta javobni tanlang:

3-misol
log, start base, 2, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, 6 ni koʻrsatkichli shaklda yozing.

4-masala
4) log, start base, 4, end base, left parenthesis, 16, right parenthesis, equals, 2 ni koʻrsatkichli shaklda yozing.

Logarifmlarni hisoblash

Ajoyib! Koʻrsatkichli ifoda va logarifmning orasidagi munosabatni tushunib oldik. Keling, endi logarifmlarni hisoblay olishimizni koʻramiz.
Misol uchun, log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis ni hisoblaymiz.
Ifodani x ga tenglashdan boshlaymiz.
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, x
Buni quyidagidek koʻrsatkichli tenglama shaklida yozish mumkin:
4, start superscript, x, end superscript, equals, 64
4 ning nechanchi darajasi 64 ga teng? Yaxshi, start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10 va shunda log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Mashqlarni bajargandan soʻng bir qancha bosqichlarni qisqartira olishingiz va log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis ni shunchaki “4 ning nechanchi darajasi 64 ga teng?” deb yecha olishingiz mumkin.

Tushunganingizni tekshiring

Yodda tuting, log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis ni hisoblayotganingizda oʻzingizdan soʻrashingiz mumkin: “start color #11accd, b, end color #11accd ning nechanchi darajasi start color #e07d10, a, end color #e07d10 ga teng?”
5-masala
log, start base, 6, end base, left parenthesis, 36, right parenthesis, equals
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

6-masala
log, start base, 3, end base, left parenthesis, 27, right parenthesis, equals
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

7-masala
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

8-masala
log, start base, 5, end base, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

Murakkab masala
log, start base, 3, end base, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 9, end fraction, right parenthesis, equals
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

Oʻzgaruvchilardagi cheklovlar

b musbat boʻlsa va 1 ga teng boʻlmasa hamda argument a musbat boʻlsagina log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis toʻgʻri boʻladi. Bu cheklovlar logarifm va koʻrsatkichlar orasidagi bogʻliqlik tufaylidir.
CheklovSabab
b, is greater than, 0Koʻrsatkichli funksiyada asos b doimo musbat boʻladi.
a, is greater than, 0log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c tenglik b, start superscript, c, end superscript, equals, a ni bildiradi. Chunki musbat son har qanday darajaga oshirilsa, musbat hosil boʻladi, yaʼni b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0 va bunda a, is greater than, 0.
b, does not equal, 1b ni 1 deb tasavvur qiling. Endi log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x tenglamaga eʼtibor bering. Buning ekvivalent koʻrsatkichli shakli 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3 boʻladi. Ammo 1 ning har qanday darajasi 1 ga teng. Demak, b, does not equal, 1.

Maxsus logarifmlar

Logarifmning asosida turli xil qiymatlar boʻlishi mumkin va ular ikki xil asoslardir hamda bular boshqalaridan koʻra koʻproq ishlatiladi.
Boshqacharoq qilib aytganda, kalkulyatorlarda faqat shu ikki turdagi logarifmlarni hisoblash uchun tugmalar mavjud. Keling, tekshirib koʻramiz.

Umumiy logarifm

Oʻn asosli logarifm – bu asosi 10 ga teng boʻlgan logarifm ("asos-10 logarifm").
Ushbu logarifmlarni yozayotganimizda asoslarni tushirib yozishimiz mumkin. Bunda asosda 10 bor deb tushuniladi.
log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, right parenthesis

Natural logarifm

Natural logarifm – bu asosi e ga teng boʻlgan logarifm (“asosi e logarifm”).
Asosga e ni yozishning oʻrniga shunchaki natural log deb yoza olasiz.
log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Bu jadval ikkita maxsus logarifmlar haqida bilishimiz kerak boʻlgan narsalarni koʻrsatadi:
NomiAsosiOddiy shakliMaxsus shakli
Oʻn asosli logarifm10log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesislog, left parenthesis, x, right parenthesis
Natural logarifmelog, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesisnatural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Shakllar turli xil boʻlsa ham, logarifmlarni hisoblash gʻoyasi aynan bir xil!

Nega logarifmlarni oʻrganyapmiz?

Bilib olganingizdek, logarifm koʻrsatkichli ifodaning teskarisidir. Shuning uchun bular koʻrsatkichli tenglamalarni yechganimizda kerak boʻladi.
Misol uchun, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 ning natijasini logarifm shaklida berish mumkin, x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. Keyingi darslar davomida logarifmik ifodalarning qiymatlarini qanday qilib hisoblashni oʻrganasiz.
Logarifmik ifodalar va funksiyalar juda ham qiziqarli hamda hayotimizda tez-tez uchrab turadi. Misol uchun, koʻplab tabiiy hodisalar logarifmik shkalalar orqali oʻlchanadi.

Keyingisi nima?

Logarifm xossalarini va asosni oʻzgartirish qoidasini oʻrganing, bularning birinchisi logarifmik tenglamalarni qaytda yozish, ikkinchisi esa har qanday logarifmni hisoblash imkonini beradi.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.