Asosiy kontent

Course: Algebra II > Unit 8

Lesson 1: Logarifmga kirish

Logarifmga kirish

Google sinfxona

Logarifm nimaligini tushunib oling va uni qanday hisoblashni oʻrganing.

Bu darsni oʻqishdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Darajalar va manfiy darajalarni bilishingiz kerak

Bu darsda oʻrganadigan narsalaringiz

Siz logarifm aslida nima ekani va sodda logarifmlarni hisoblashni oʻrganasiz.

Logarifm nima?

Logarifm – koʻrsatkichli tenglikni yozishning boshqa bir yoʻli.

Misol uchun,

2

ning

4^{}

-darajasi

16

ga tengligini bilamiz. Bu koʻrsatkichli tenglikda

2^{4} = 16

shaklida ifodalanadi.

Tasavvur qiling, sizdan bir kishi “

2

ning nechanchi darajasi

16

ga teng?” deb soʻradi. Javob

4,

deb javob berdingiz. Bu esa logarifmik tenglama deb ifodalanadi va

\log_{2} (16) = 4

shaklida yoziladi va bu “ikki asosga koʻra 16, 4 ga teng” deb oʻqiladi.

2^{4} = 16 ⟺ \log_{2} (16) = 4

Ikkala tenglama

2

4

16

orasidagi munosabatni bir xil ifodalaydi, bu yerda

2

son asos,

4

son esa koʻrsatkich.

Farqa shundaki, koʻrsatkichli shakl natijani,

16

, yashiradi, logarifmik shakl esa koʻrsatkichni,

4

, yashiradi.

Bu yerda logarifmik va koʻrsatkichli tengliklar ekvivalent boʻlganiga misollar berilgan.

Logarifmik shakl		Koʻrsatkichli shakl
$\log_{2} (8) = 3$ ‍	$⟺$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$\log_{3} (81) = 4$ ‍	$⟺$ ‍	$3^{4} = 81$ ‍
$\log_{5} (25) = 2$ ‍	$⟺$ ‍	$5^{2} = 25$ ‍

Logarifmning taʼrifi

Yuqoridagi misollarni umumlashtirish bizga logarifmning taʼrifini beradi.

\log_{b} (a) = c ⟺ b^{c} = a

Ikkala tenglama

a

b

c

orasidagi munosabatni bir xil ifodalaydi:

$b$ ‍ $asos$ ‍,
$c$ ‍ $koʻrsatkich$ ‍,
$a$ ‍ $argument$ ‍.

Foydali maslahat

Koʻrsatkichli tengliklarni logarifmik shaklda yoki logarifmik shakllarni koʻrsatkichli shaklda qaytadan yozayotganimizda logarifmning asosi koʻrsatkichning asosi bilan bir xil boʻlishini yodda saqlashimiz kerak.

Tushunganingizni tekshiring

Quyidagi misollarda koʻrsatkichli va logarifmik shaklllar oʻrtasida oʻzaro oʻzgartirishlarni mashq qilasiz.

1-masala

Quyidagilarning qaysi biri $2^{5} = 32$ ‍ ga ekvivalent?

2-masala

Quyidagilarning qaysi biri $5^{3} = 125$ ‍ ga ekvivalent?

3-misol

$\log_{2} (64) = 6$ ‍ ni koʻrsatkichli shaklda yozing.

4-masala

4) $\log_{4} (16) = 2$ ‍ ni koʻrsatkichli shaklda yozing.

Logarifmlarni hisoblash

Ajoyib! Koʻrsatkichli ifoda va logarifmning orasidagi munosabatni tushunib oldik. Keling, endi logarifmlarni hisoblay olishimizni koʻramiz.

Misol uchun,

\log_{4} (64)

ni hisoblaymiz.

Ifodani

x

ga tenglashdan boshlaymiz.

\log_{4} (64) = x

Buni quyidagidek koʻrsatkichli tenglama shaklida yozish mumkin:

4^{x} = 64

4

ning nechanchi darajasi

64

ga teng? Yaxshi,

4^{3} = 64

va shunda

\log_{4} (64) = 3

Mashqlarni bajargandan soʻng bir qancha bosqichlarni qisqartira olishingiz va

\log_{4} (64)

ni shunchaki “ $4$ ‍ ning nechanchi darajasi $64$ ‍ ga teng?” deb yecha olishingiz mumkin.

Tushunganingizni tekshiring

Yodda tuting,

\log_{b} (a)

ni hisoblayotganingizda oʻzingizdan soʻrashingiz mumkin: “

b

ning nechanchi darajasi

a

ga teng?”

5-masala

\log_{6} (36) =

6-masala

\log_{3} (27) =

7-masala

\log_{4} (4) =

8-masala

\log_{5} (1) =

Murakkab masala

\log_{3} (\frac{1}{9}) =

Oʻzgaruvchilardagi cheklovlar

b

musbat boʻlsa va

1

ga teng boʻlmasa hamda argument

a

musbat boʻlsagina

\log_{b} (a)

toʻgʻri boʻladi. Bu cheklovlar logarifm va koʻrsatkichlar orasidagi bogʻliqlik tufaylidir.

Cheklov	Sabab
$b > 0$ ‍	Koʻrsatkichli funksiyada asos $b$ ‍ doimo musbat boʻladi.
$a > 0$ ‍	$\log_{b} (a) = c$ ‍ tenglik $b^{c} = a$ ‍ ni bildiradi. Chunki musbat son har qanday darajaga oshirilsa, musbat hosil boʻladi, yaʼni $b^{c} > 0$ ‍ va bunda $a > 0$ ‍.
$b \neq 1$ ‍	$b$ ‍ ni $1$ ‍ deb tasavvur qiling. Endi $\log_{1} (3) = x$ ‍ tenglamaga eʼtibor bering. Buning ekvivalent koʻrsatkichli shakli $1^{x} = 3$ ‍ boʻladi. Ammo $1$ ‍ ning har qanday darajasi $1$ ‍ ga teng. Demak, $b \neq 1$ ‍.

Maxsus logarifmlar

Logarifmning asosida turli xil qiymatlar boʻlishi mumkin va ular ikki xil asoslardir hamda bular boshqalaridan koʻra koʻproq ishlatiladi.

Boshqacharoq qilib aytganda, kalkulyatorlarda faqat shu ikki turdagi logarifmlarni hisoblash uchun tugmalar mavjud. Keling, tekshirib koʻramiz.

Umumiy logarifm

Oʻn asosli logarifm – bu asosi

10

ga teng boʻlgan logarifm ("asos-

10

logarifm").

Ushbu logarifmlarni yozayotganimizda asoslarni tushirib yozishimiz mumkin. Bunda asosda

10

bor deb tushuniladi.

\log_{10} (x) = \log (x)

Natural logarifm

Natural logarifm – bu asosi

e

ga teng boʻlgan logarifm (“asosi

e

logarifm”).

Asosga

e

ni yozishning oʻrniga shunchaki

\ln

deb yoza olasiz.

\log_{e} (x) = \ln (x)

Bu jadval ikkita maxsus logarifmlar haqida bilishimiz kerak boʻlgan narsalarni koʻrsatadi:

Nomi	Asosi	Oddiy shakli	Maxsus shakli
Oʻn asosli logarifm	$10$ ‍	$\log_{10} (x)$ ‍	$\log (x)$ ‍
Natural logarifm	$e$ ‍	$\log_{e} (x)$ ‍	$\ln (x)$ ‍

Shakllar turli xil boʻlsa ham, logarifmlarni hisoblash gʻoyasi aynan bir xil!

Nega logarifmlarni oʻrganyapmiz?

Bilib olganingizdek, logarifm koʻrsatkichli ifodaning teskarisidir. Shuning uchun bular koʻrsatkichli tenglamalarni yechganimizda kerak boʻladi.

Misol uchun,

2^{x} = 5

ning natijasini logarifm shaklida berish mumkin,

x = \log_{2} (5)

. Keyingi darslar davomida logarifmik ifodalarning qiymatlarini qanday qilib hisoblashni oʻrganasiz.

Logarifmik ifodalar va funksiyalar juda ham qiziqarli hamda hayotimizda tez-tez uchrab turadi. Misol uchun, koʻplab tabiiy hodisalar logarifmik shkalalar orqali oʻlchanadi.

Keyingisi nima?

Logarifm xossalarini va asosni oʻzgartirish qoidasini oʻrganing, bularning birinchisi logarifmik tenglamalarni qaytda yozish, ikkinchisi esa har qanday logarifmni hisoblash imkonini beradi.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.

Course: Algebra II > Unit 8

Logarifmga kirish

Bu darsni oʻqishdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Bu darsda oʻrganadigan narsalaringiz

Logarifm nima?

Logarifmning taʼrifi

Foydali maslahat

Tushunganingizni tekshiring

Logarifmlarni hisoblash

Tushunganingizni tekshiring

Oʻzgaruvchilardagi cheklovlar

Maxsus logarifmlar

Umumiy logarifm

Natural logarifm

1-misol

1-yechim

2-misol

2-yechim

Nega logarifmlarni oʻrganyapmiz?

Keyingisi nima?

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?