If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Logarifmga kirish

Logarifm nimaligini tushunib oling va uni qanday hisoblashni oʻrganing. 

Bu darsni oʻqishdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Darajalar va manfiy darajalarni bilishingiz kerak

Bu darsda oʻrganadigan narsalaringiz

Siz logarifm aslida nima ekani va sodda logarifmlarni hisoblashni oʻrganasiz.

Logarifm nima?

Logarifm – koʻrsatkichli tenglikni yozishning boshqa bir yoʻli.
Misol uchun, 2 ning 4-darajasi 16 ga tengligini bilamiz. Bu koʻrsatkichli tenglikda 24=16 shaklida ifodalanadi.
Tasavvur qiling, sizdan bir kishi “2 ning nechanchi darajasi 16 ga teng?” deb soʻradi. Javob 4, deb javob berdingiz. Bu esa logarifmik tenglama deb ifodalanadi va log2(16)=4 shaklida yoziladi va bu “ikki asosga koʻra 16, 4 ga teng” deb oʻqiladi.
24=16log2(16)=4
Ikkala tenglama 2, 4 va 16 orasidagi munosabatni bir xil ifodalaydi, bu yerda 2 son asos, 4 son esa koʻrsatkich.
Farqa shundaki, koʻrsatkichli shakl natijani, 16, yashiradi, logarifmik shakl esa koʻrsatkichni, 4, yashiradi.
Bu yerda logarifmik va koʻrsatkichli tengliklar ekvivalent boʻlganiga misollar berilgan.
Logarifmik shaklKoʻrsatkichli shakl
log2(8)=323=8
log3(81)=434=81
log5(25)=252=25

Logarifmning taʼrifi

Yuqoridagi misollarni umumlashtirish bizga logarifmning taʼrifini beradi.
logb(a)=cbc=a
Ikkala tenglama a, b va c orasidagi munosabatni bir xil ifodalaydi:
  • b asos,
  • c koʻrsatkich,
  • a argument.

Foydali maslahat

Koʻrsatkichli tengliklarni logarifmik shaklda yoki logarifmik shakllarni koʻrsatkichli shaklda qaytadan yozayotganimizda logarifmning asosi koʻrsatkichning asosi bilan bir xil boʻlishini yodda saqlashimiz kerak.

Tushunganingizni tekshiring

Quyidagi misollarda koʻrsatkichli va logarifmik shaklllar oʻrtasida oʻzaro oʻzgartirishlarni mashq qilasiz.
1-masala
Quyidagilarning qaysi biri 25=32 ga ekvivalent?
Bitta javobni tanlang:

2-masala
Quyidagilarning qaysi biri 53=125 ga ekvivalent?
Bitta javobni tanlang:

3-misol
log2(64)=6 ni koʻrsatkichli shaklda yozing.

4-masala
4) log4(16)=2 ni koʻrsatkichli shaklda yozing.

Logarifmlarni hisoblash

Ajoyib! Koʻrsatkichli ifoda va logarifmning orasidagi munosabatni tushunib oldik. Keling, endi logarifmlarni hisoblay olishimizni koʻramiz.
Misol uchun, log4(64) ni hisoblaymiz.
Ifodani x ga tenglashdan boshlaymiz.
log4(64)=x
Buni quyidagidek koʻrsatkichli tenglama shaklida yozish mumkin:
4x=64
4 ning nechanchi darajasi 64 ga teng? Yaxshi, 43=64 va shunda log4(64)=3.
Mashqlarni bajargandan soʻng bir qancha bosqichlarni qisqartira olishingiz va log4(64) ni shunchaki “4 ning nechanchi darajasi 64 ga teng?” deb yecha olishingiz mumkin.

Tushunganingizni tekshiring

Yodda tuting, logb(a) ni hisoblayotganingizda oʻzingizdan soʻrashingiz mumkin: “b ning nechanchi darajasi a ga teng?”
5-masala
log6(36)=
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3/5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7/4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1 3/4 kabi aralash son
  • 0.75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12 pi yoki 2/3 pi kabi pi ning karralisi

6-masala
log3(27)=
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3/5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7/4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1 3/4 kabi aralash son
  • 0.75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12 pi yoki 2/3 pi kabi pi ning karralisi

7-masala
log4(4)=
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3/5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7/4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1 3/4 kabi aralash son
  • 0.75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12 pi yoki 2/3 pi kabi pi ning karralisi

8-masala
log5(1)=
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3/5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7/4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1 3/4 kabi aralash son
  • 0.75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12 pi yoki 2/3 pi kabi pi ning karralisi

Murakkab masala
log3(19)=
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3/5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7/4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1 3/4 kabi aralash son
  • 0.75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12 pi yoki 2/3 pi kabi pi ning karralisi

Oʻzgaruvchilardagi cheklovlar

b musbat boʻlsa va 1 ga teng boʻlmasa hamda argument a musbat boʻlsagina logb(a) toʻgʻri boʻladi. Bu cheklovlar logarifm va koʻrsatkichlar orasidagi bogʻliqlik tufaylidir.
CheklovSabab
b>0Koʻrsatkichli funksiyada asos b doimo musbat boʻladi.
a>0logb(a)=c tenglik bc=a ni bildiradi. Chunki musbat son har qanday darajaga oshirilsa, musbat hosil boʻladi, yaʼni bc>0 va bunda a>0.
b1b ni 1 deb tasavvur qiling. Endi log1(3)=x tenglamaga eʼtibor bering. Buning ekvivalent koʻrsatkichli shakli 1x=3 boʻladi. Ammo 1 ning har qanday darajasi 1 ga teng. Demak, b1.

Maxsus logarifmlar

Logarifmning asosida turli xil qiymatlar boʻlishi mumkin va ular ikki xil asoslardir hamda bular boshqalaridan koʻra koʻproq ishlatiladi.
Boshqacharoq qilib aytganda, kalkulyatorlarda faqat shu ikki turdagi logarifmlarni hisoblash uchun tugmalar mavjud. Keling, tekshirib koʻramiz.

Umumiy logarifm

Oʻn asosli logarifm – bu asosi 10 ga teng boʻlgan logarifm ("asos-10 logarifm").
Ushbu logarifmlarni yozayotganimizda asoslarni tushirib yozishimiz mumkin. Bunda asosda 10 bor deb tushuniladi.
log10(x)=log(x)

Natural logarifm

Natural logarifm – bu asosi e ga teng boʻlgan logarifm (“asosi e logarifm”).
Asosga e ni yozishning oʻrniga shunchaki ln deb yoza olasiz.
loge(x)=ln(x)
Bu jadval ikkita maxsus logarifmlar haqida bilishimiz kerak boʻlgan narsalarni koʻrsatadi:
NomiAsosiOddiy shakliMaxsus shakli
Oʻn asosli logarifm10log10(x)log(x)
Natural logarifmeloge(x)ln(x)
Shakllar turli xil boʻlsa ham, logarifmlarni hisoblash gʻoyasi aynan bir xil!

Nega logarifmlarni oʻrganyapmiz?

Bilib olganingizdek, logarifm koʻrsatkichli ifodaning teskarisidir. Shuning uchun bular koʻrsatkichli tenglamalarni yechganimizda kerak boʻladi.
Misol uchun, 2x=5 ning natijasini logarifm shaklida berish mumkin, x=log2(5). Keyingi darslar davomida logarifmik ifodalarning qiymatlarini qanday qilib hisoblashni oʻrganasiz.
Logarifmik ifodalar va funksiyalar juda ham qiziqarli hamda hayotimizda tez-tez uchrab turadi. Misol uchun, koʻplab tabiiy hodisalar logarifmik shkalalar orqali oʻlchanadi.

Keyingisi nima?

Logarifm xossalarini va asosni oʻzgartirish qoidasini oʻrganing, bularning birinchisi logarifmik tenglamalarni qaytda yozish, ikkinchisi esa har qanday logarifmni hisoblash imkonini beradi.