Asosiy kontent

Course: Algebra II > Unit 8

Lesson 4: Logarifmda boshqa asosga oʻtish formulasi

Logarifmdagi asos oʻzgartirish qoidasiga kirish

Turli xil asosdan foydalangan holda har qanday logarifmni qaytadan yozishni oʻrganing.

Tasavvur qiling,

\log_{2} (50)

ifodaning qiymatini topmoqchimiz.

50

soni

2

ning ratsional darajasi boʻlmagani uchun buni kalkulyatorsiz hisoblash qiyin.

Ammo aksariyat kalkulyatorlar faqatgina asosi

10

yoki

e

boʻlgan logarifmlarni hisoblay oladi. Demak,

\log_{2} (50)

ning qiymatini aniqlash uchun birinchi navbatda, boshqa asosga oʻtish qoidasidan foydalanishimiz kerak.

Boshqa asosga oʻtish qoidasi

Quyidagi qoidadan foydalangan holda har qanday logarifmning asosini oʻzgartira olamiz.

Eslatmalar:

Bu xossadan foydalanganimizda logarifmning asosini ixtiyoriy $x$ ‍ asosga almashtirishimiz mumkin.
Logarifm ostidagi ifoda va uning asosi ham musbat boʻlishi va $1$ ‍ ga teng boʻlmasligi lozim.

Misol: $\log_{2} (50)$ ‍ ni hisoblash

Agar logarifmning qiymatini aniqlamoqchi boʻlsangiz, asosni

10

ga yoki

e

ga oʻzgartiring, chunki bularni kalkulyator orqali hisoblash mumkin.

\log_{2} (50)

ning asosini

10

ga oʻzgartiraylik.

Endi

b = 2

a = 50

x = 10

uchun boshqa asosga oʻtish qoidasini qoʻllaymiz.

$\begin{aligned} \log_{2} (50) & = \frac{\log_{10} (50)}{\log_{10} (2)} & Boshqa asosga oʻtish qoidasi \\ = \frac{\log (50)}{\log (2)} & \log_{10} (x) = \log (x) \end{aligned}$ ‍

Endi kalkulyatordan foydalangan holda qiymatni aniqlay olamiz.

$\begin{array}{r} \approx 5,644 \end{array}$ ‍

Mavzu boʻyicha bilimingizni sinab koʻring

1) $\log_{3} (20)$ ‍ ni hisoblang.
Javobingizni minglar xonasigacha yaxlitlang.

2) $\log_{7} (400)$ ‍ ni hisoblang.
Javobingizni minglar xonasigacha yaxlitlang.

3) $\log_{4} (0.3)$ ‍ ni hisoblang.
Javobingizni minglar xonasigacha yaxlitlang.

Boshqa asosga oʻtish qoidasini isbotlash

"Nega qoida aynan shunday?" deb savol berishingiz mumkin.

$\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)} \leftarrow Boshqa asosga oʻtish qoidasi$ ‍

Berilgan

\log_{2} (50)

ifodaga qaytamiz. Agar

\log_{2} (50) = n

desak,

2^{n} = 50

boʻladi.

Logarifmning ikkala tarafini har qanday bir xil asosga olib kela olamiz. Shunda:

$\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log_{x} (2^{n}) & = \log_{x} (50) & Agar Y = Z boʻlsa, unda \log_{x} (Y) = \log_{x} (Z) \\ n \log_{x} (2) & = \log_{x} (50) & Daraja qoidasi \\ n & = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)} & Ikkala tarafni \log_{x} (2) ga boʻlish \end{aligned}$ ‍

n = \log_{2} (50)

boʻlgani uchun

\log_{2} (50) = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)}

boʻladi.

Agar

2

b

ga,

50

ni esa

a

ga oʻzgartirsak, isbot shundoqqina qoʻlimizda!

Murakkab masalalar

1) kalkulyatordan foydalanmagan holda $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ ‍ ni hisoblang.

2) qaysi ifoda $\log (6) \cdot \log_{6} (a)$ ‍ ga ekvivalent?

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.

Algebra II