Algebraik modellarning simmetrikligi

Ammo oldin funksiyalarning simmetriyasi haqidagi bilimlarimizni yodga olsak.

Misolga qaraymiz.

Prujinada toʻplangan $E(x)$E, left parenthesis, x, right parenthesis energiya (joulda), prujinaning tinch holatidan prujina $x$x, metrda, koʻchishi funksiyasi boʻlib, musbat $x$x prujinani tortilgan holatini va manfiy $x$x esa siqilgan holatini ifodalaydi. $y=E(x)$y, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis grafigi quyida koʻrsatilgan:

Uning grafigi simmetriyasidan nimani oʻrganishimiz mumkin?

$E$E funksiya simmetriyasi haqida bilganlarimizni qoʻllaymiz.

Agar siz $E$E funksiya grafigini $Oy$O, y-oʻqiga nisbatan simmetrik aks ettirsangiz, u oʻz-oʻzi bilan ustma-ust tushadi.

Shu bois $E$E funksiya juft funksiyadir. Algebraik jihatdan bu barcha $x$x uchun $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis boʻlishini anglatadi.

“Barcha $x$x uchun $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis” nima degani?

Barcha $x$x uchun taʼrif toʻgʻri boʻlgani sababli $x=2$x, equals, 2, $x=4$x, equals, 4, $x=10$x, equals, 10 va boshqa qiymatlarda $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis toʻgʻri deb ayta olamiz. Keling, $x$x ning maxsus qiymatlari uchun taʼrif nimani anglatishi haqida oʻylab koʻramiz, jumladan, $x=2$x, equals, 2 boʻlganda.

$x=2$x, equals, 2 boʻlganda, tenglik $E(-2)=E(2)$E, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, 2, right parenthesis koʻrinishga keladi.

Har bir oʻzgaruvchi nimani aks ettirishiga eʼtibor qaratish ushbu izohga yordam beradi. Esingizda boʻlsa, musbat erkli had prujinaning tortilishini va manfiy erkli had prujinaning siqilishini koʻrsatadi hamda hosil boʻlgan erksiz oʻzgaruvchi prujinada toʻplangan energiyani ifodalaydi.

Bu yerda koʻramizki $\purpleC{E}(\greenD{-2})=\purpleC{E}(\goldD{2})$start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, equals, start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis ifoda $\greenD{\text{2 metrga siqilgan prujina } \text{ }}$start color #1fab54, start text, 2, space, m, e, t, r, g, a, space, s, i, q, i, l, g, a, n, space, p, r, u, j, i, n, a, space, end text, start text, space, end text, end color #1fab54 bilan $\goldD{\text{xuddi shu prujinani 2 metrga tortilgani } \text{ }}$start color #e07d10, start text, x, u, d, d, i, space, s, h, u, space, p, r, u, j, i, n, a, n, i, space, 2, space, m, e, t, r, g, a, space, t, o, r, t, i, l, g, a, n, i, space, end text, start text, space, end text, end color #e07d10 bir xil miqdordagi$\purpleC{\text{ energiya}}$start color #aa87ff, start text, space, e, n, e, r, g, i, y, a, end text, end color #aa87ffni sarflanishini anglatadi.

Endi yanada umumiy taʼrifni sharhlashga tayyormiz, $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis, bu esa bizning ustivor maqsadimizdir.

Yuqoridagi misolni qoʻllanma uchun ishlatib shuni koʻramizki, $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis ifoda $x$x metrga siqilgan prujina bilan $x$x metrga tortilgan prujina bir xil miqdordagi energiya talab etishini anglatadi.

Boshqacha aytganda: Muayyan miqdorga siqilgan prujina bilan shuncha miqdorga tortilgan prujina bir xil miqdordagi energiya sarflaydi.

Boshqa misolni koʻraylik.

Sobir uyining temperaturasini $25$25 darajada (Tselsiyda) ushlab turish uchun pechkaga kuniga $20$20 kilogram oʻtin ishlatadi. U harorat qanday oʻzgarishini koʻrish maqsadida yoqayotgan oʻtin $w$w massasini aniqlaydi. Mos ravishda, musbat $w$w qoʻshimcha $w$w kilogramm oʻtinni, manfiy $w$w esa kamaygan $w$w kilogramm oʻtinni ifodalaydi. $y=T(w)$y, equals, T, left parenthesis, w, right parenthesis grafigi quyida koʻrsatilgan, bu yerda $T(w)$T, left parenthesis, w, right parenthesis funksiya Sobirning uyidagi harorat oʻzgarishini aks ettiradi.

$T$T funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir.

Shu bois $T$T funksiya toq funksiyadir. Algebraik jihatdan bu barcha $w$w uchun $T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis boʻlishini anglatadi.

Ushbu holatda simmetriyani sharhlash uchun “$w$w ning istalgan qiymati uchun $T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis” matematik taʼrifni matn holiga keltiramiz.

$w$w ning muayyan qiymatida buni tushunishga urinib koʻramiz. Soʻng orqaga qaytib umumlashtirishimiz mumkin.

Bunga yordam berish maqsadida shuni unutmangki, musbat erkli oʻzgaruvchi qoʻshilgan oʻtin va manfiy erkli oʻzgaruvchi esa kamaygan oʻtinni ifodalaydi hamda funksiya harorat oʻzgarishini taʼminlaydi.

Shu bois $\blueC{T}(\maroonC{-1})=-{\blueC T}(\purpleD{1})$start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #ed5fa6, minus, 1, end color #ed5fa6, right parenthesis, equals, minus, start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #7854ab, 1, end color #7854ab, right parenthesis ifoda $\blueC{\text{harorat oʻzgarishi}}$start color #63d9ea, start text, h, a, r, o, r, a, t, space, o, ʻ, z, g, a, r, i, s, h, i, end text, end color #63d9eani $\maroonC{1 \text{ kilogram kam oʻtin }}$start color #ed5fa6, 1, start text, space, k, i, l, o, g, r, a, m, space, k, a, m, space, o, ʻ, t, i, n, space, end text, end color #ed5fa6 yoqish natijasi $\purpleD{1 {\text { kilogram koʻp oʻtin }}}$start color #7854ab, 1, start text, space, k, i, l, o, g, r, a, m, space, k, o, ʻ, p, space, o, ʻ, t, i, n, space, end text, end color #7854ab yoqish natijasiga teskari ekanini anglatadi.

Endi umumiy $w$w uchun simmetriya taʼrifini umumlashtirib, sharhlashga tayyormiz.

Boshqacha aytganda: Oʻtinni maʼlum miqdorda koʻpaytirish va kamaytirishga uyning mos haroratlari bir-biriga qarama-qarshi.

Umumiy hollarda simmetriya mohiyatini funksiya grafigida aks ettirish uchun quyidagini amalga oshirish foydali:

$1$1-qadam: Funksiya juft yoki toqligini aniqlang va buning algebraik jihatdan mohiyatini aniqlang.

$2$2-qadam: Har bir oʻzgaruvchi berilgan vaziyatda nimani ifodalashini tushuning.

$3$3-bosqich: Oʻzgaruvchilar maʼnosi qoʻllangan va teskari erkli qiymatlar uchun erksiz qiymatlarni taqqoslaydigan taʼrifni ishlab chiqing.

Tohir yangi turdagi avtoulovni haydashni oʻrganyapti. Avtotransportning tezligi burish tutqichining holatiga qarab belgilanadi. Avtotransport tezligi, $V(x)$V, left parenthesis, x, right parenthesis, (soatiga milda) burish tutqichi, $x$x, funksiyasidir. Ahamiyat bering, $x>0$x, is greater than, 0 bu tutqich soat yoʻnalishi boʻylab $x$x birlik burilganini va $x<0$x, is less than, 0 esa tutqichning soat yoʻnalishiga qarshi $x$x birlik burilganini anglatadi.

$y=V(x)$y, equals, V, left parenthesis, x, right parenthesis ning grafigi quyida koʻrsatilgan: