Algebraik modellarning simmetrikligi

Ammo oldin funksiyalarning simmetriyasi haqidagi bilimlarimizni yodga olsak.

Misolga qaraymiz.

Prujinada toʻplangan $E(x)$‍ energiya (joulda), prujinaning tinch holatidan prujina $x$‍, metrda, koʻchishi funksiyasi boʻlib, musbat $x$‍ prujinani tortilgan holatini va manfiy $x$‍ esa siqilgan holatini ifodalaydi. $y=E(x)$‍ grafigi quyida koʻrsatilgan:

Uning grafigi simmetriyasidan nimani oʻrganishimiz mumkin?

$E$‍ funksiya simmetriyasi haqida bilganlarimizni qoʻllaymiz.

Agar siz $E$‍ funksiya grafigini $Oy$‍-oʻqiga nisbatan simmetrik aks ettirsangiz, u oʻz-oʻzi bilan ustma-ust tushadi.

Shu bois $E$‍ funksiya juft funksiyadir. Algebraik jihatdan bu barcha $x$‍ uchun $E(-x)=E(x)$‍ boʻlishini anglatadi.

“Barcha $x$‍ uchun $E(-x)=E(x)$‍” nima degani?

Barcha $x$‍ uchun taʼrif toʻgʻri boʻlgani sababli $x=2$‍, $x=4$‍, $x=10$‍ va boshqa qiymatlarda $E(-x)=E(x)$‍ toʻgʻri deb ayta olamiz. Keling, $x$‍ ning maxsus qiymatlari uchun taʼrif nimani anglatishi haqida oʻylab koʻramiz, jumladan, $x=2$‍ boʻlganda.

$x=2$‍ boʻlganda, tenglik $E(-2)=E(2)$‍ koʻrinishga keladi.

Har bir oʻzgaruvchi nimani aks ettirishiga eʼtibor qaratish ushbu izohga yordam beradi. Esingizda boʻlsa, musbat erkli had prujinaning tortilishini va manfiy erkli had prujinaning siqilishini koʻrsatadi hamda hosil boʻlgan erksiz oʻzgaruvchi prujinada toʻplangan energiyani ifodalaydi.

Bu yerda koʻramizki $E(-2)=E(2)$‍ ifoda $\text{2 metrga siqilgan prujina }$‍ bilan $\text{xuddi shu prujinani 2 metrga tortilgani }$‍ bir xil miqdordagi$\text{ energiya}$‍ni sarflanishini anglatadi.

Endi yanada umumiy taʼrifni sharhlashga tayyormiz, $E(-x)=E(x)$‍, bu esa bizning ustivor maqsadimizdir.

Yuqoridagi misolni qoʻllanma uchun ishlatib shuni koʻramizki, $E(-x)=E(x)$‍ ifoda $x$‍ metrga siqilgan prujina bilan $x$‍ metrga tortilgan prujina bir xil miqdordagi energiya talab etishini anglatadi.

Boshqacha aytganda: Muayyan miqdorga siqilgan prujina bilan shuncha miqdorga tortilgan prujina bir xil miqdordagi energiya sarflaydi.

Boshqa misolni koʻraylik.

Sobir uyining temperaturasini $25$‍ darajada (Tselsiyda) ushlab turish uchun pechkaga kuniga $20$‍ kilogram oʻtin ishlatadi. U harorat qanday oʻzgarishini koʻrish maqsadida yoqayotgan oʻtin $w$‍ massasini aniqlaydi. Mos ravishda, musbat $w$‍ qoʻshimcha $w$‍ kilogramm oʻtinni, manfiy $w$‍ esa kamaygan $w$‍ kilogramm oʻtinni ifodalaydi. $y=T(w)$‍ grafigi quyida koʻrsatilgan, bu yerda $T(w)$‍ funksiya Sobirning uyidagi harorat oʻzgarishini aks ettiradi.

$T$‍ funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir.

Shu bois $T$‍ funksiya toq funksiyadir. Algebraik jihatdan bu barcha $w$‍ uchun $T(-w)=-T(w)$‍ boʻlishini anglatadi.

Ushbu holatda simmetriyani sharhlash uchun “$w$‍ ning istalgan qiymati uchun $T(-w)=-T(w)$‍” matematik taʼrifni matn holiga keltiramiz.

$w$‍ ning muayyan qiymatida buni tushunishga urinib koʻramiz. Soʻng orqaga qaytib umumlashtirishimiz mumkin.

Bunga yordam berish maqsadida shuni unutmangki, musbat erkli oʻzgaruvchi qoʻshilgan oʻtin va manfiy erkli oʻzgaruvchi esa kamaygan oʻtinni ifodalaydi hamda funksiya harorat oʻzgarishini taʼminlaydi.

Shu bois $T(-1)=-T(1)$‍ ifoda $\text{harorat oʻzgarishi}$‍ni $1\text{ kilogram kam oʻtin }$‍ yoqish natijasi $1\text{ kilogram koʻp oʻtin }$‍ yoqish natijasiga teskari ekanini anglatadi.

Endi umumiy $w$‍ uchun simmetriya taʼrifini umumlashtirib, sharhlashga tayyormiz.

Boshqacha aytganda: Oʻtinni maʼlum miqdorda koʻpaytirish va kamaytirishga uyning mos haroratlari bir-biriga qarama-qarshi.

Umumiy hollarda simmetriya mohiyatini funksiya grafigida aks ettirish uchun quyidagini amalga oshirish foydali:

$1$‍-qadam: Funksiya juft yoki toqligini aniqlang va buning algebraik jihatdan mohiyatini aniqlang.

$2$‍-qadam: Har bir oʻzgaruvchi berilgan vaziyatda nimani ifodalashini tushuning.

$3$‍-bosqich: Oʻzgaruvchilar maʼnosi qoʻllangan va teskari erkli qiymatlar uchun erksiz qiymatlarni taqqoslaydigan taʼrifni ishlab chiqing.

Tohir yangi turdagi avtoulovni haydashni oʻrganyapti. Avtotransportning tezligi burish tutqichining holatiga qarab belgilanadi. Avtotransport tezligi, $V(x)$‍, (soatiga milda) burish tutqichi, $x$‍, funksiyasidir. Ahamiyat bering, $x>0$‍ bu tutqich soat yoʻnalishi boʻylab $x$‍ birlik burilganini va $x<0$‍ esa tutqichning soat yoʻnalishiga qarshi $x$‍ birlik burilganini anglatadi.

$y=V(x)$‍ ning grafigi quyida koʻrsatilgan: