Asosiy kontent

Algebra I

Course: Algebra I > Unit 8

Lesson 1: Arifmetik progressiya mavzusiga kirish

Arifmetik progressiya formulalari mavzusiga kirish

Arifmetik progressiya uchun aniq va rekurrent formulalardan foydalanishni oʻrganing.

Bu mavzuni boshlashdan oldin arifmetik progressiyaga oid tushunchalarni egallaganingizga va funksiyalarni hisoblash, funksiyaning aniqlanish sohasi haqida boshlang‘ich koʻnikmalarga ega ekaningizga amin boʻling.

Qanday formula?

Biz arifmetik progressiyani, odatda, quyidagicha tasavvur qilamiz:

3, 5, 7, …

Ammo, buning boshqa usullari ham bor. Bu darsda biz arifmetik progressiyani ifodalashning yana ikki usulini oʻrganamiz: rekursiv formula va oshkor formula. Formulalar bizga progressiyaning istalgan hadini topishga yordam beradi.

Umuman olganda, formulalarda

n

ixtiyoriy had raqamini ifodalasa,

a (n)

esa progressiyaning

n -

hadini bildiradi. Masalan, quyida 3, 5, 7, ... progressiyaning bir nechta hadi keltirilgan:

$n$ ‍	$a (n)$ ‍
(Had raqami)	( $n -$ ‍had)
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

Yuqorida formulalar progressiyaning istalgan hadini topish imkonini berishini aytgan edik. Buni boshqa koʻrinishda yozishimiz mumkin: formula ixtiyoriy $n$ ‍ uchun $a (n)$ ‍ ni topish imkonini beradi.

Tushunganingizni tekshiring

1) 3, 5, 7, ... progreessiyada $a (4)$ ‍ ni toping.

a (4) =

[Yordam kerak!]

2) Ixtiyoriy $n$ ‍ had raqami uchun $a (n - 1)$ ‍ nimani ifodalaydi?

[Yordam kerak!]

Arifmetik progressiyaning rekursiv formulasi

Rekursiv formula bizga ikkita qism haqida maʼlumot beradi:

Progressiyaning birinchi hadi
Oldingi haddan foydalanib progressiyaning ixtiyoriy hadini topish uchun namuna

Quyida 3, 5, 7, ... progressiya uchun rekursiv formula keltirilgan.

{\begin{cases} a (1) = 3 & \leftarrow Birinchi had - uch. \\ a (n) = a (n - 1) + 2 & \leftarrow Oldingi hadga ikkini qoʻshing. \end{cases}

Masalan, beshinchi hadni topish uchun biz progressiyani had bo‘yicha kengaytiramiz:

$a (n)$ ‍	$= a (n - 1) + 2$ ‍
$a (1)$ ‍			$= 3$ ‍
$a (2)$ ‍	$= a (1) + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a (3)$ ‍	$= a (2) + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a (4)$ ‍	$= a (3) + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a (5)$ ‍	$= a (4) + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

Qoyil! Bu formula bizga 3, 5, 7, ... progressiya kabi progressiyani berdi.

Tushunganingizni tekshiring

Endi rekursiv formuladan foydalanib, progressiya hadlarini toping.

a (n)

dan 3, 5, 7, ... progressiyaning

n -

hadini ifodalashda foydalangan boʻlsak, boshqa harflardan qolgan progressiyalarni ifodalashda foydalanishimiz mumkin. Masalan,

b (n)

c (n)

yoki

d (n)

3) Progressiya haqida berilganlar yordamida $b (4)$ ‍ ni toping.

{\begin{cases} b (1) = - 5 \\ b (n) = b (n - 1) + 9 \end{cases}

b (4) =

[Yordam kerak!]

4) Progressiya haqida berilganlar yordamida $c (3)$ ‍ ni toping.

{\begin{cases} c (1) = 20 \\ c (n) = c (n - 1) - 17 \end{cases}

c (3) =

[Yordam kerak!]

5) Progressiya haqida berilganlar yordamida $d (4)$ ‍ ni toping.

{\begin{cases} d (1) = 2 \\ d (n) = d (n - 1) + 0.4 \end{cases}

d (5) =

[Yordam kerak!]

Arifmetik progressiyaning oshkor formulasi

Quyida 3, 5, 7, ... uchun oshkor formula berilgan:

a (n) = 3 + 2 (n - 1)

Bu formula yordamida biz shunchaki had raqamini formulaga qoʻyib, kerakli hadni topishimiz mumkin.

Masalan, beshinchi hadni topish uchun oshkor formulaga

n = 5

ni qoʻyishimiz kerak.

\begin{aligned} a (5) & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

Ajoyib! Biz xuddi oʻsha javobni oldik!

Tushunganingizni tekshiring

6) Berilgan $b (n) = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍ yordamida $b (10)$ ‍ ni toping.

b (10) =

[Yordam kerak!]

7) Berilgan $c (n) = 20 - 17 (n - 1)$ ‍ yordamida $c (8)$ ‍ ni toping.

c (8) =

[Yordam kerak!]

8) Berilgan $d (n) = 2 + 0.4 (n - 1)$ ‍ yordamida $d (21)$ ‍ ni toping.

d (21) =

[Yordam kerak!]

Progressiyalar funksiyadir.

Eʼtibor bergan boʻlsangiz, bu darsda ishlatgan formulalarimiz funksiya kabi ishlamoqda: biz formulaga

n

ni joylaymiz va

a (n)

ning qiymati hosil boʻladi.

Progressiyalar, oʻz oʻrnida, funksiya hisoblanadi. Ammo

n

istalgan haqiqiy son boʻla olmaydi. Chunki progressiyaning manfiy beshinchi hadi yoki 0,4-hadi mavjud emas.

Yaʼni progressiyaning aniqlanish sohasi funksiya qabul qiladigan yechimlar oralig‘i musbat sonlardir.

Yozuv haqida eslatma!

Misol uchun, toʻrtinchi hadni

a (4)

orqali ifodalaymiz, ammo buni

a_{4}

koʻrinishida ham yozish mumkin.

Ikkala yozuvdan ham foydalanish mumkin. Biz progressiya funksiya boʻlganligi uchun, asosan,

a (4)

dan foydalanamiz.

Sinov savoli

9) Arifmetik progressiyaning 100-hadini oson topish uchun qaysi formuladan foydalangan qulay?

[Yordam kerak!]

Murakkab masala

10) Arifmetik progressiyaning oshkor formulasi:

f (n) = 3 - 4 (n - 1)

Progressiyaning nechanchi hadi -65 ga teng?

Had raqami:

[Yordam kerak!]

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.