Asosiy kontent

Course: Algebra I > Unit 16

Lesson 4: Kvadrat tenglama ildizlari formulasi

Kvadrat tenglama ildizlari formulasini tushunish

Kvadrat tenglama ildizlari formulasi haqida koʻproq tushunchaga ega boʻling va buni kvadrat tenglamalarda qanday ishlatishni oʻrganing.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi kvadrat tenglamalarni hisoblash uchun yordam beradi va bu matematikadagi eng muhim beshta formulalardan biri. Biz formulalarni yodlab olishga unchalik ham qiziqmaymiz, ammo bu formula juda ham foydali (va buni siz yoddan bilishingiz kerak!).
Agar sizda quyidagidek kvadrat tenglama bor boʻlsa:

a x^{2} + b x + c = 0

Bu formula kvadrat tenglamaning ildizlarini, boshqacha qilib aytganda, tenglamani yechimi boʻladigan

x

ning qiymatini topishga yordam beradi.

Kvadrat tenglama ildizlari formulasi

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Formula ozgina vahimali koʻrinishi mumkin, lekin tez oʻrganib olasiz!
Formuladan foydalangan holda mashqlar bajaring.

Hisoblangan misol

Birinchi boʻlib, a, b, va c (koeffitsiyent) larni aniqlab olishimiz kerak. Birinchi bosqichda, tenglama

a x^{2} + b x + c = 0

shaklda ekaniga ishonch hosil qiling:

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$x^{2}$ ‍ ning yonidagi koeffitsiyent $a$ ‍, demak, bu yerda $a = 1$ ‍ boʻladi ( $a$ ‍ $0$ ‍ ga teng boʻlmasligini yodda tuting -- $x^{2}$ ‍ uni kvadratga aylantiradi);
$x$ ‍ ning yonidagi koeffitsiyent $b$ ‍ ga teng, demak, bu yerda $b = 4$ ‍;
$c$ ‍ oʻzgarmas son yoki $x$ ‍ siz yakka holda keladigan har qanday had, shuning uchun bu yerda $c = - 21$ ‍ ga teng.

Keyin

a

b

c

ni formulaga kiritamiz:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2}

hisoblash quyidagi koʻrinishda boʻladi:

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

Shuning uchun

x = 3

x = - 7

Yechim bizga nimani anglatadi?

Ikkala yechim tenglamaning x-kesishish nuqtalaridir, boshqacha qilib aytganda, egri chiziq x-oʻqini kesib oʻtgandagi yechimlar.

x^{2} + 3 x - 4 = 0

tenglamaning parabolasi quyidagidek boʻladi:

bu yerda kvadrat tenglamaning yechimlari va kesishish nuqtalari

x = - 4

x = 1

da ekani koʻrsatilgan.

Endi kvadrat tenglamani koʻpaytuvchilarga ajrata olasiz, toʻla kvadratga keltira olasiz yoki grafik orqali ham hisoblay olasiz, shunday ekan, nega bizga tepadagi formula kerak?

Chunki baʼzida kvadrat tenglamalar birinchi misolimizdan qiyinroq boʻladi.

Ikkinchi hisoblangan misol

Keling, koʻpaytuvchilarga ajratish qiyin boʻlgan kvadrat tenglamani hisoblab koʻramiz:

3 x^{2} + 6 x = - 10

Keling, ifodadagi barcha hadlardan kerakli joylarini formulaga kiritamiz:

\underset{a}{\underset{⏟}{(3)}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(6)}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(10)}} = 0

Formula bizga quyidagi ifodani beradi:

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

Qavsda manfiy boʻlgan sondan kvadrat ildiz olib boʻlmasligini bilamiz, demak, bu bizga tenglamaning haqiqiy ildizlari mavjud emasligini anglatadi. Bu esa yana

y = 0

boʻlganda funksiya x-oʻqini kesib oʻtmasligini bildiradi. Buni kalkulyatorda chizilgan grafikdan ham koʻrish mumkin:

Endi sizda kvadrat tenglama ildizlari formulasi haqida bilim paydo boʻldi!
Videolarda bir qancha ishlab koʻrsatilgan misollar mavjud.

Kvadrat tenglama ildizlari formulasidan foydalanganda maslahatlar

Tenglama $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍ shaklda ekaniga eʼtibor bering, aks holda misolni hisoblay olmaysiz!
$(b^{2} - 4 a c)$ ‍ dan kvadrat ildiz olayotganingizga ishonch hosil qiling va formulaning maxrajida $2 a$ ‍ ni yozishni unutmang.
Manfiy sonlarga eʼtibor bering: $b^{2}$ ‍ manfiy son boʻlishi mumkin emas, demak, $b$ ‍ manfiy son bilan boshlansa, kvadratga oshirganda musbat boʻlishi kerakligini yodda tuting.
IKKITA javobingizdagi $+ / -$ ‍ ishoralariga ehtiyot boʻling.
Agar kalkulyatordan foydalanayotgan boʻlsangiz, javob oʻnlik kasr koʻrinishida boʻlishi mumkin. Agar aniq javob soʻralgan (doimgiday), va kvadrat ildizdan qiyin son chiqsa, javobni kvadrat ildiz shaklida qoldiring, misol uchun $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ ‍ va $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ ‍

Keyingi bosqich:

Kvadrat tenglamadan foydalanib mashq yeching.
Sobirning mashq yechayotganini tomosha qiling:

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

Kvadrat tenglama ildizlari formulasini isbotlang:

Khan Academy video muqovasi

Video taglavhalariga qarang

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.