If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Algebra I

Course: Algebra I > Unit 16

Lesson 3: Toʻla kvadratni ajratish
Matematika
Algebra I
Kvadrat tenglamalar
Toʻla kvadratni ajratish
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Kvadrat tenglamalarni toʻla kvadrat hosil qilish orqali yechish

Google sinfxona
Misol uchun, x²+6x=-2 ni (x+3)²=7 shakliga keltirish va kvadrat ildiz olish orqali yeching.

Bu dars uchun nimalarni bilishingiz kerak

Bu darsda oʻrganadigan narsalaringiz

Hozircha siz kvadrat tenglamani kvadrat ildiz yordamida yoki koʻpaytuvchilarga ajratgan holda yechdingiz. Agar bu usullardan foydalanish imkoni boʻlsa, ular oson va qulaydir. Ammo har doim ham ulardan foydalanish imkoniyati yoʻq.
Bu darsda kvadrat tenglamaning har qanday turini yechish usullarini oʻrganasiz.

Kvadrat tenglamalarni toʻla kvadratga keltirish orqali hisoblash

x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2 tenglamaga eʼtibor bering. Kvadrat ildiz va koʻpaytuvchilarga ajratish usullarini bu yerda ishlatib boʻlmaydi.
Ammo tenglamani yechish mumkin! Biz foydalanadigan usul toʻla kvadratga keltirish deyiladi. Keling, bu usulni mukammalroq koʻrib chiqamiz.
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=79 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.(3)(x+3)2=7Chap tarafdagi ifodani koʻpaytuvchilarga ajrating.(4)(x+3)2=±7Kvadrat ildiz oling.(5)x+3=±7(6)x=±7−33 ni ayiring.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{9 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{Chap tarafdagi ifodani koʻpaytuvchilarga ajrating.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{Kvadrat ildiz oling.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&&x &=\pm\sqrt{7}-3&&\text{3 ni ayiring.}\end{aligned}
Natijada, yechim x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 va x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3 dir.

Bu yerda nima boʻldi?

start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd qatordagi x, squared, plus, 6, x ga 9 ni qoʻshganimiz uchun toʻla kvadrat shaklidagi ifoda left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajraldi. Bu esa bizga tenglamadan kvadrat ildiz olib hisoblash imkonini berdi.
Bu tasodif emas. 9 raqami ifodani toʻla kvadratga ajrata olishi uchun sinchkovlik bilan tanlangan.

Toʻla kvadratga keltirish

Qanday qilib 9 tanlanganini tushunish uchun biz oʻzimizga quyidagi savolni berishimiz kerak: Agar tenglama boshida x, squared, plus, 6, x shakli toʻla kvadratning boshi boʻlganida oʻzgarmas had nima boʻlgan boʻlardi?
Faraz qiling, ifoda left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared shaklida koʻpaytuvchilarga ajratildi va bu yerda oʻzgarmas had hisoblangan a nomaʼlum. Mazkur ifodani x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared shaklida ochib chiqish mumkin boʻlib, bu bizga ikkita narsa haqida xabar beradi:
  1. 6 ga teng x ning koeffitsiyenti bizda 2, a ga teng boʻlishi kerak. Bu a, equals, 3 ekanini anglatadi.
  2. Biz qoʻshishimiz kerak boʻlgan oʻzgarmas son a, squared ga teng, bu esa 3, squared, equals, 9.
Toʻla kvadratga keltirishga oid mashqlarni oʻzingiz bajarib koʻring.
1-masala
x, squared, plus, 10, x bilan boshlanuvchi toʻla kvadratning oʻzgaruvchi hadi nimaga teng?
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

2-masala
x, squared, minus, 2, x bilan boshlanuvchi toʻla kvadratning oʻzgaruvchi hadi nimaga teng?
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

3-misol
x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x bilan boshlanuvchi toʻla kvadratning oʻzgaruvchi hadi nimaga teng?
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr

Murakkab masala
x, squared, plus, b, dot, x bilan boshlanuvchi toʻla kvadratning oʻzgarmas hadi nimaga teng?
Bitta javobni tanlang:

x, squared, plus, b, x ni toʻla kvadratga keltirish uchun bu yerda b har qanday son, biz unga left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared ni qoʻshishimiz kerak.
Misol uchun, x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x ni toʻla kvadratga keltirish uchun unga left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9 ni qoʻshdik.

Tenglamalarni yana bir bor hisoblash

Endi siz kvadrat tenglamalarni yecha olasiz. Keling, bu usuldan foydalangan holda tenglamalarni hisoblash jarayoniga qaytamiz.
Ushbu x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12 tenglamaga qaraylik.
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=1325 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.(3)(x−5)2=13Tenglamaning chap tarafidagi ifodani koʻpaytuvchilarga ajrating.(4)(x−5)2=±13Kvadrat ildiz oling.(5)x−5=±13(6)x=±13+55 ni qoʻshing.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{25 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{Tenglamaning chap tarafidagi ifodani koʻpaytuvchilarga ajrating.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{Kvadrat ildiz oling.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&&x &=\pm\sqrt{13}+5&&\text{5 ni qoʻshing.}\end{aligned}
x, squared, minus, 10, x ni toʻliq kvadrat tenglama shakliga olib kelish uchun biz start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd qatorga 25 ni qoʻshdik. Oʻng tarafda nima amal bajargan boʻlsak, chap tarafda ham shuni qildik va bu tarafminus, 12 dan 13 ga oshdi.
Umuman olganda, toʻla kvadratga keltirish uchun tanlaydigan sonimiz faqat oʻng tomonga tegishli boʻlishi kerak emas, biz maʼlum sonni tenglamaning ikkala tarafiga ham qoʻshishimiz kerak.
Endi tenglamalarni yechish sizning navbatingiz.
4-masala
x, squared, minus, 8, x, equals, 5 ni hisoblang.
Bitta javobni tanlang:

5-masala
x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction ni hisoblang.
Bitta javobni tanlang:

Toʻla kvadratga keltirishdan oldin tenglamani tuzish

Qoida 1: Oʻzgaruvchi hadlardan oʻzgarmas hadlarni ajratib olish

Bu yerda x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1 tenglamaning yechimini hisoblash berilgan:
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1x ni ayiring .(3)x2+4x=76 ni qoʻshing.(4)x2+4x+4=114 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.(5)(x+2)2=11Koʻpaytuvchilarga ajrating.(6)(x+2)2=±11Kvadrat ildiz oling.(7)x+2=±11(8)x=±11−22 ni ayiring.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{x ni ayiring }.}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{6 ni qoʻshing.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{4 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{Koʻpaytuvchilarga ajrating.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{Kvadrat ildiz oling.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&&x &=\pm\sqrt{11}-2&&\text{2 ni ayiring.}\end{aligned}
Agar x had boshqa tarafda boʻlsa, tenglamaning qaysidir tomonini toʻla kvadrat shakliga keltirishning foydasi yoʻq. Shu sababli biz barcha oʻzgaruvchilarni chap tarafga toʻplash uchun start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995 qatordan x ni ayirdik.
Bundan tashqari, x, squared, plus, 4, x ni toʻla kvadratga keltirish uchun unga 4 ni qoʻshishimiz kerak edi. Lekin buni qilishdan oldin barcha oʻzgarmas hadlar tenglamaning bir tarafida ekanini tekshirishimiz kerak. Shu sababli x, squared, plus, 4, x ning oʻzini qoldirish uchun start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff qatorga 6 ni qoʻshdik.

Qoida 2: x, squared ning koeffitsiyenti 1 ga tengligini tekshiring.

Bu yerda 3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42 tenglamaning yechimini hisoblash berilgan:
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−143 ga boʻling.(3)x2−12x+36=2236 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.(4)(x−6)2=22Koʻpayuvchilarga ajrating.(5)(x−6)2=±22Kvadrat ildiz oling.(6)x−6=±22(7)x=±22+66 ni qoʻshing.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{3 ga boʻling.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{36 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{Koʻpayuvchilarga ajrating.}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{Kvadrat ildiz oling.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&&x &=\pm\sqrt{22}+6&&\text{6 ni qoʻshing.}\end{aligned}
Toʻla kvadrat usulidan faqatgina x, squared ning koeffitsiyenti 1 ga teng boʻlgandagina foydalanish mumkin.
Shuning uchun start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c qatorda x, squared ning koeffitsiyentini 3 ga boʻldik.
Baʼzida x, squared ning koeffitsiyentiga boʻlish boshqa koeffitsiyentning kasr koʻrinishiga olib keladi. Bu misolni notoʻgʻri yechyapsiz degani emas, bu shunchaki hisoblash uchun kasrlardan ham foydalanishingizni anglatadi.
Endi tenglamalarni yechish navbati sizga.
6-masala
4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0 ni hisoblang.
Bitta javobni tanlang:

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.