If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Kvadrat tenglamalarni toʻla kvadrat hosil qilish orqali yechish

Misol uchun, x²+6x=-2 ni (x+3)²=7 shakliga keltirish va kvadrat ildiz olish orqali yeching.

Bu dars uchun nimalarni bilishingiz kerak

Bu darsda oʻrganadigan narsalaringiz

Hozircha siz kvadrat tenglamani kvadrat ildiz yordamida yoki koʻpaytuvchilarga ajratgan holda yechdingiz. Agar bu usullardan foydalanish imkoni boʻlsa, ular oson va qulaydir. Ammo har doim ham ulardan foydalanish imkoniyati yoʻq.
Bu darsda kvadrat tenglamaning har qanday turini yechish usullarini oʻrganasiz.

Kvadrat tenglamalarni toʻla kvadratga keltirish orqali hisoblash

x2+6x=2 tenglamaga eʼtibor bering. Kvadrat ildiz va koʻpaytuvchilarga ajratish usullarini bu yerda ishlatib boʻlmaydi.
Ammo tenglamani yechish mumkin! Biz foydalanadigan usul toʻla kvadratga keltirish deyiladi. Keling, bu usulni mukammalroq koʻrib chiqamiz.
(1)x2+6x=2(2)x2+6x+9=79 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.(3)(x+3)2=7Chap tarafdagi ifodani koʻpaytuvchilarga ajrating.(4)(x+3)2=±7Kvadrat ildiz oling.(5)x+3=±7(6)x=±733 ni ayiring.
Natijada, yechim x=73 va x=73 dir.

Bu yerda nima boʻldi?

(2) qatordagi x2+6x ga 9 ni qoʻshganimiz uchun toʻla kvadrat shaklidagi ifoda (x+3)2 koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajraldi. Bu esa bizga tenglamadan kvadrat ildiz olib hisoblash imkonini berdi.
Bu tasodif emas. 9 raqami ifodani toʻla kvadratga ajrata olishi uchun sinchkovlik bilan tanlangan.

Toʻla kvadratga keltirish

Qanday qilib 9 tanlanganini tushunish uchun biz oʻzimizga quyidagi savolni berishimiz kerak: Agar tenglama boshida x2+6x shakli toʻla kvadratning boshi boʻlganida oʻzgarmas had nima boʻlgan boʻlardi?
Faraz qiling, ifoda (x+a)2 shaklida koʻpaytuvchilarga ajratildi va bu yerda oʻzgarmas had hisoblangan a nomaʼlum. Mazkur ifodani x2+2ax+a2 shaklida ochib chiqish mumkin boʻlib, bu bizga ikkita narsa haqida xabar beradi:
  1. 6 ga teng x ning koeffitsiyenti bizda 2a ga teng boʻlishi kerak. Bu a=3 ekanini anglatadi.
  2. Biz qoʻshishimiz kerak boʻlgan oʻzgarmas son a2 ga teng, bu esa 32=9.
Toʻla kvadratga keltirishga oid mashqlarni oʻzingiz bajarib koʻring.
1-masala
x2+10x bilan boshlanuvchi toʻla kvadratning oʻzgaruvchi hadi nimaga teng?
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3/5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7/4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1 3/4 kabi aralash son
  • 0.75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12 pi yoki 2/3 pi kabi pi ning karralisi

2-masala
x22x bilan boshlanuvchi toʻla kvadratning oʻzgaruvchi hadi nimaga teng?
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3/5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7/4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1 3/4 kabi aralash son
  • 0.75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12 pi yoki 2/3 pi kabi pi ning karralisi

3-misol
x2+12x bilan boshlanuvchi toʻla kvadratning oʻzgaruvchi hadi nimaga teng?
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 3/5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr

Murakkab masala
x2+bx bilan boshlanuvchi toʻla kvadratning oʻzgarmas hadi nimaga teng?
Bitta javobni tanlang:

x2+bx ni toʻla kvadratga keltirish uchun bu yerda b har qanday son, biz unga (b2)2 ni qoʻshishimiz kerak.
Misol uchun, x2+6x ni toʻla kvadratga keltirish uchun unga (62)2=9 ni qoʻshdik.

Tenglamalarni yana bir bor hisoblash

Endi siz kvadrat tenglamalarni yecha olasiz. Keling, bu usuldan foydalangan holda tenglamalarni hisoblash jarayoniga qaytamiz.
Ushbu x210x=12 tenglamaga qaraylik.
(1)x210x=12(2)x210x+25=1325 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.(3)(x5)2=13Tenglamaning chap tarafidagi ifodani koʻpaytuvchilarga ajrating.(4)(x5)2=±13Kvadrat ildiz oling.(5)x5=±13(6)x=±13+55 ni qoʻshing.
x210x ni toʻliq kvadrat tenglama shakliga olib kelish uchun biz (2) qatorga 25 ni qoʻshdik. Oʻng tarafda nima amal bajargan boʻlsak, chap tarafda ham shuni qildik va bu taraf12 dan 13 ga oshdi.
Umuman olganda, toʻla kvadratga keltirish uchun tanlaydigan sonimiz faqat oʻng tomonga tegishli boʻlishi kerak emas, biz maʼlum sonni tenglamaning ikkala tarafiga ham qoʻshishimiz kerak.
Endi tenglamalarni yechish sizning navbatingiz.
4-masala
x28x=5 ni hisoblang.
Bitta javobni tanlang:

5-masala
x2+3x=14 ni hisoblang.
Bitta javobni tanlang:

Toʻla kvadratga keltirishdan oldin tenglamani tuzish

Qoida 1: Oʻzgaruvchi hadlardan oʻzgarmas hadlarni ajratib olish

Bu yerda x2+5x6=x+1 tenglamaning yechimini hisoblash berilgan:
(1)x2+5x6=x+1(2)x2+4x6=1x ni ayiring .(3)x2+4x=76 ni qoʻshing.(4)x2+4x+4=114 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.(5)(x+2)2=11Koʻpaytuvchilarga ajrating.(6)(x+2)2=±11Kvadrat ildiz oling.(7)x+2=±11(8)x=±1122 ni ayiring.
Agar x had boshqa tarafda boʻlsa, tenglamaning qaysidir tomonini toʻla kvadrat shakliga keltirishning foydasi yoʻq. Shu sababli biz barcha oʻzgaruvchilarni chap tarafga toʻplash uchun (2) qatordan x ni ayirdik.
Bundan tashqari, x2+4x ni toʻla kvadratga keltirish uchun unga 4 ni qoʻshishimiz kerak edi. Lekin buni qilishdan oldin barcha oʻzgarmas hadlar tenglamaning bir tarafida ekanini tekshirishimiz kerak. Shu sababli x2+4x ning oʻzini qoldirish uchun (3) qatorga 6 ni qoʻshdik.

Qoida 2: x2 ning koeffitsiyenti 1 ga tengligini tekshiring.

Bu yerda 3x236x=42 tenglamaning yechimini hisoblash berilgan:
(1)3x236x=42(2)x212x=143 ga boʻling.(3)x212x+36=2236 ni qoʻshing, toʻla kvadrat hosil qiling.(4)(x6)2=22Koʻpayuvchilarga ajrating.(5)(x6)2=±22Kvadrat ildiz oling.(6)x6=±22(7)x=±22+66 ni qoʻshing.
Toʻla kvadrat usulidan faqatgina x2 ning koeffitsiyenti 1 ga teng boʻlgandagina foydalanish mumkin.
Shuning uchun (2) qatorda x2 ning koeffitsiyentini 3 ga boʻldik.
Baʼzida x2 ning koeffitsiyentiga boʻlish boshqa koeffitsiyentning kasr koʻrinishiga olib keladi. Bu misolni notoʻgʻri yechyapsiz degani emas, bu shunchaki hisoblash uchun kasrlardan ham foydalanishingizni anglatadi.
Endi tenglamalarni yechish navbati sizga.
6-masala
4x2+20x3=0 ni hisoblang.
Bitta javobni tanlang: