Asosiy kontent

Algebra I

Course: Algebra I > Unit 16

Lesson 2: Koʻpaytuvchilarga ajratish orqali kvadrat ifodalarni yechish

Koʻpaytuvchilarga ajratish orqali kvadrat ifodalarni yechish

(x-1)(x+3)=0 kabi kvadrat tenglamalarni qanday qilib yechishni va boshqa shakldagi tenglamalarni yechish uchun qanday koʻpaytuvchilarga ajratishni oʻrganing.

Bu dars uchun nimalarni bilishingiz kerak

Bu darsda oʻrganadigan narsalaringiz

Siz hozirgacha chiziqli tenglamalarni, yaʼni oʻzgarmas hadlarni, oddiy raqamlar va birinchi darajadagi oʻzgaruvchilardan iborat (

x^{1} = x

) tenglamalarni yechdingiz.

Ikkinchi darajaga koʻtarilgan oʻzgaruvchidan iborat ayrim kvadrat tenglamalarni ham yechgan boʻlishingiz mumkin.

Bu darsda kvadrat tenglamalarni hisoblashning yangi usullarini oʻrganasiz.

$(x - 1) (x + 3) = 0$ ‍ kabi koʻpaytuvchilarga ajratilgan tenglamalarni qanday hisoblashni va
$($ ‍ $x^{2} - 3 x - 10 = 0)$ ‍ kabi tenglamalarni koʻpaytuvchilarga ajratilgan shaklga olib kelishni oʻrganasiz.

Koʻpaytuvchilarga ajratilgan kvadrat tenglamalarni hisoblash

Faraz qiling, bizdan

(x - 1) (x + 3) = 0

kvadrat tenglamani yechish soʻralgan.

[Nega bu kvadrat tenglama?]

Bu ikkita ifodaning koʻpaytmasi nolga teng.

(x - 1)

(x + 3)

ni nolga tenglashtira oladigan

x

ning har qanday qiymati koʻpaytmani nolga teng qiladi.

\begin{aligned} (x - 1) & (x + 3) = 0 \\ ↙ & ↘ \\ x - 1 = 0 & x + 3 = 0 \\ x = 1 & x = - 3 \end{aligned}

x = 1

yoki

x = - 3

ni tenglamaga kiritish

0 = 0

boʻlishini koʻrsatadi, demak, bu tenglama toʻgʻri hisoblangan. Shuning uchun bularning ikkalasi tenglamaning yechimidir.

Endi shunga oʻxshash baʼzi tenglamalarni oʻzingiz yechib koʻring.

$(x + 5) (x + 7) = 0$ ‍ ni hisoblang.

[Yordam kerak!]

$(2 x - 1) (4 x - 3) = 0$ ‍ ni hisoblang.

[Yordam kerak!]

Sinov savoli

Xuddi shu usul bilan $(x - 1) (x + 3) = 6$ ‍ tengamani yechsa boʻladimi?

[Yordam kerak!]

Nolga teng koʻpaytma xossasi haqida qisqacha maʼlumot

Bu usul orqali topgan ikkita yechimimizdan boshqa yechimlar yoʻqligini qanday bilamiz?

Buning uchun oddiy, ammo juda foydali xossadan, yaʼni nolga teng koʻpaytma xossasidan foydalanamiz:

Agar ikkita qiymatning koʻpaytmasi nolga teng boʻlsa, kamida bitta qiymat nolga teng boʻlishi kerak.
[Nega bunday?]

Yechimlarimiz oʻrniga har qanday

x

ning qiymatini kiritish ikkita nolga teng boʻlmagan sonlar koʻpaytmasini beradi, bu esa koʻpaytma nolga teng emasligini anglatadi. Bundan esa javobimiz bittaligi maʼlum boʻladi.

Koʻpaytuvchilarga ajratish orqali tenglamani yechish

Faraz qiling,

x^{2} - 3 x - 10 = 0

tenglamani yechishimiz kerak, avvalo

x^{2} - 3 x - 10

ni koʻpaytuvchilarga ajratamiz va yuqoridagidek yechamiz!

x^{2} - 3 x - 10

ifoda

(x + 2) (x - 5)

shaklida koʻpaytuvchilarga ajraladi.

[Koʻpaytuvchilarga ajratishni koʻrsating.]

Tenglama yechimi quyidagicha topiladi:

$\begin{aligned} x^{2} - 3 x - 10 & = 0 \\ (x + 2) (x - 5) & = 0 & Koʻpaytuvchilarga ajratish \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 2 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 2 & x & = 5 \end{aligned}$ ‍

Endi tenglamalarni yechish navbati sizga. Yodda tuting! Turli xil tenglamalar uchun koʻpaytuvchilarga ajratishning turli xil usullari qoʻllanadi.

$x^{2} + 5 x = 0$ ‍ ni yeching.

1-bosqich. $x^{2} + 5 x$ ‍ ni ikkita chiziqli ifodaning koʻpaytmasi koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajrating.

[Yordam kerak!]

2-bosqich. Tenglamani yeching.

[Yordam kerak!]

$x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍ ni yeching.

1-bosqich. $x^{2} - 11 x + 28$ ‍ ni ikkita chiziqli ifodaning koʻpaytmasi koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajrating.

[Yordam kerak!]

2-bosqich. Tenglamani yeching.

[Yordam kerak!]

$4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍ ni yeching.

1-bosqich. $4 x^{2} + 4 x + 1$ ‍ ni ikkita chiziqli ifodaning koʻpaytmasi koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajrating.

[Yordam kerak!]

2-bosqich. Tenglamani yeching.

[Yordam kerak!]

$3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍ ni yeching.

1-bosqich. $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ ni ikkita chiziqli ifodaning koʻpaytmasi koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajrating.

[Yordam kerak!]

2-bosqich. Tenglamani yeching.

[Yordam kerak!]

Tenglamani koʻpaytuvchilarga ajratishdan oldin tartibga solish

Tomonlarning biri nolga teng boʻlishi kerak.

Bu yerda

x^{2} + 2 x = 40 - x

tenglamaning yechimi qanday topilishi koʻrsatiladi:

$\begin{aligned} x^{2} + 2 x & = 40 - x \\ x^{2} + 2 x - 40 + x & = 0 & 40 ni ayiring va x ni qoʻshing. \\ x^{2} + 3 x - 40 & = 0 & Oʻxshash hadlarni guruhlang. \\ (x + 8) (x - 5) & = 0 & Koʻpaytuvchilarga ajrating. \end{aligned}$ ‍

\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 8 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 8 & x & = 5 \end{aligned}

Koʻpaytuvchilarga ajratishdan oldin tenglamani osonlashtirib oldik va bir tarafni nolga tengladik. Shundan keyingina koʻpaytuvchilarga ajratdik va yechish usulidan foydalandik.

Umumiy boʻluvchilarni olib tashlash

Bu yerda

2 x^{2} - 12 x + 18 = 0

tenglamaning yechimi qanday topilishi koʻrsatiladi:

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 12 x + 18 & = 0 \\ x^{2} - 6 x + 9 & = 0 & 2 ga boʻling. \\ (x - 3)^{2} & = 0 & Koʻpaytuvchilarga ajrating. \\ ↓ \\ x - 3 & = 0 \\ x & = 3 \end{aligned}$ ‍

Barcha hadlarning

2

ga teng umumiy boʻluvchisi bor edi, keyin biz ikkala tarafni

2

ga boʻldik va nol nolligicha qoldi, bu esa koʻpaytuvchilarga ajratishni osonlashtirdi.

Endi shunga oʻxshash baʼzi tenglamalarni oʻzingiz yechib koʻring.

Tenglamaning yechimini toping.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = x^{2} + 34$ ‍

[Yordam kerak!]

Tenglamaning yechimini toping.

$3 x^{2} + 33 x + 30 = 0$ ‍

[Yordam kerak!]

Tenglamaning yechimini toping.

$3 x^{2} - 9 x - 20 = x^{2} + 5 x + 16$ ‍

[Yordam kerak!]

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.

Algebra I

Course: Algebra I > Unit 16

Bu dars uchun nimalarni bilishingiz kerak

Bu darsda oʻrganadigan narsalaringiz

Koʻpaytuvchilarga ajratilgan kvadrat tenglamalarni hisoblash

Sinov savoli

Nolga teng koʻpaytma xossasi haqida qisqacha maʼlumot

Koʻpaytuvchilarga ajratish orqali tenglamani yechish

x2+5x=0‍ ni yeching.

x2−11x+28=0‍ ni yeching.

4x2+4x+1=0‍ ni yeching.

3x2+11x−4=0‍ ni yeching.

Tenglamani koʻpaytuvchilarga ajratishdan oldin tartibga solish

Tomonlarning biri nolga teng boʻlishi kerak.

Umumiy boʻluvchilarni olib tashlash

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

$x^{2} + 5 x = 0$ ‍ ni yeching.

$x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍ ni yeching.

$4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍ ni yeching.

$3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍ ni yeching.