If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Algebra I

Course: Algebra I > Unit 16

Lesson 1: Kvadrat tenglamalarni kvadrat ildizni hisoblash orqali yechish
Matematika
Algebra I
Kvadrat tenglamalar
Kvadrat tenglamalarni kvadrat ildizni hisoblash orqali yechish
© 2023 Khan AcademyFoydalanish shartlariMaxfiylik siyosatiCookie Notice

Kvadrat tenglamalarni kvadrat ildizni hisoblash orqali yechish

Google sinfxona
x^2=36 yoki (x-2)^2=49 kabi kvadrat tenglamalarni qanday qilib yechishini oʻrganing.

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Siz hozirgacha chiziqli tenglamalarni, yaʼni oʻzgarmas hadlarni, oddiy raqamlar va birinchi darajadagi oʻzgaruvchilardan iborat (x, start superscript, 1, end superscript, equals, x) tenglamalarni yechdingiz.
Siz hozir kvadrat tenglamalarni, yaʼni ikkinchi darajaga koʻtarilgan oʻzgaruvchilardan iborat x, squared tenglamalarni hisoblaysiz.
Bu yerda oʻrganishingiz uchun bir nechta kvadrat tenglamaga doir mashqlar berilgan:
x, squared, equals, 36
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49
2, x, squared, plus, 3, equals, 131
Endi hisoblashga oʻtamiz.

x, squared, equals, 36 ni va boshqa oʻxshash tenglamalarni ishlash

Faraz qiling, biz x, squared, equals, 36 tenglamani hisoblamoqchimiz. Keling, birinchi savol bizdan nimani soʻrayotganini aniqlashtirib olaylik. Tenglama bizdan qaysi raqamni oʻziga koʻpaytirsa 36 ga teng boʻladi deb soʻrayapti.
Bu savol tanish tuyulayotgan boʻlishi mumkin, chunki bu 36 ning kvadrat ildizi taʼrifidir, bu yerda ifoda matematik koʻrinishda square root of, 36, end square root boʻladi.
Bu esa biz tenglamani qanday hisoblaganimiz:
x2=36x2=36Kvadrat ildiz oling.x=±36x=±6\begin{aligned}x^2&=36\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{36}&&\text{Kvadrat ildiz oling.}\\\\ x&=\pm\sqrt{36}\\\\ x&=\pm 6\end{aligned}
Keling, bu hisoblashda nimalar qilganimizni qaytadan koʻrib chiqamiz.

plus minus ishorasi nimani anglatadi?

Har qanday musbat sonning ikkita kvadrat ildizi boʻladi: musbat kvadrat ildiz va manfiy kvadrat ildiz. Misol uchun, 6 va minus, 6 ning har ikkalasi 36 ning kvadrat ildizlaridir. Shuning uchun tenglamaning ikkita yechimi bor.
plus minus bu matematik tushunchani ifodalashning samarali usulidir. Misol uchun, plus minus, 6 "6 yoki minus, 6" ni ifodalaydi.

Teskari amallar haqida eslatma

Chiziqli tenglamalarni hisoblaganimizda biz oʻzgaruvchini ajratib olganmiz: agar oʻzgaruvchiga 3 qoʻshilgan boʻlsa, tenglamaning har ikkala tarafidan 3 ni ayirganmiz. Agar oʻzgaruvchi 4 ga koʻpaytirilgan boʻlsa, tenglamaning har ikkala tarafini 4 ga boʻlganmiz.
Kvadratga oshirishning teskari amali bu kvadrat ildiz olishdir. Bundan tashqari, kvadrat ildiz olganimizda, yechimlarning har musbat va manfiysini olishimiz kerak.
Endi shunga oʻxshash baʼzi tenglamalarni oʻzingiz yechib koʻring.
1-masala
Hisoblang: x, squared, equals, 16
x, equals, plus minus
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

2-masala
Hisoblang: x, squared, equals, 81
x, equals, plus minus
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3, slash, 5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7, slash, 4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1, space, 3, slash, 4 kabi aralash son
  • 0, point, 75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12, space, start text, p, i, end text yoki 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text kabi pi ning karralisi

3-misol
Hisoblang: x, squared, equals, 5
Bitta javobni tanlang:

left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 ni va boshqa oʻxshash tenglamalarni yechish

Bu yerda left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 tenglamaning yechimini hisoblash berilgan:
(x−2)2=49(x−2)2=49Kvadrat ildiz oling.x−2=±7x=±7+22 ni qoʻshing.\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ \sqrt{(x-2)^2}&=\sqrt{49}&&\text{Kvadrat ildiz oling.}\\\\ x-2&=\pm 7\\\\ x&=\pm 7+2&&\text{2 ni qoʻshing.}\end{aligned}
Shuning uchun tenglamaning yechimi x, equals, 9 va x, equals, minus, 5 ga teng.
Keling, bu hisoblashda nimalar qilganimizni qaytadan koʻrib chiqamiz.

x ni ajratib olish

Har ikkala tomondan ildiz olganimizda qavs belgisini olib tashladik. Bu esa x ni ajratib olish uchun muhim edi, lekin biz oxirgi bosqichda x ni rostdan ham ajratib olish uchun 2 ni qoʻshishimiz kerak edi.

Yechimlarni tushunish

Bizning hisoblashimiz x, equals, plus minus, 7, plus, 2 bilan tugadi. Bu ifodani qanday tushunishimiz mumkin? plus minus, 7 esa "plus, 7 yoki minus, 7 dan birini" anglatishini unutmang. Shuning uchun javobimizni quyidagi holatlarga koʻra ikki qismga ajratishimiz kerak: x, equals, 7, plus, 2 yoki x, equals, minus, 7, plus, 2.
Bu esa bizga x, equals, 9 va x, equals, minus, 5 yechimlarini beradi.
Endi shunga oʻxshash baʼzi tenglamalarni oʻzingiz yechib koʻring.
4-masala
Hisoblang: left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, equals, 25
Bitta javobni tanlang:

5-masala
Hisoblang: left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 9
Bitta javobni tanlang:

6-masala
Hisoblang: left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, squared, equals, 7
Bitta javobni tanlang:

Nega qavsni ochmaymiz

Keling, tenglamaga qaytamiz, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49. Faraz qiling, bu yerda qavsni ochib chiqmoqchi edik.
Qavslarni ochib chiqish quyidagi tenglamaga olib keladi:
x, squared, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49
Agar, bu tenglamadan kvadrat ildiz olmoqchi boʻlsak, x dan kvadrat ildiz olishimiz kerak. Ammo bu bizga hech qanday foydasi yoʻq square root of, x, end square root ifodani beradi.
Aksincha, x, squared yoki left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared kabi ifodalardan kvadrat ildiz olish bizga x va left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis kabi yaxshiroq ifodalarni beradi.
Shuning uchun kvadrat tenglamalarda ifodalarni koʻpaytuvchi shaklida saqlab qolish yaxshiroq, chunki bu bizga kvadrat ildiz olish imkonini beradi.

2, x, squared, plus, 3, equals, 131 ni va boshqa oʻxshash tenglamalarni ishlash

Hamma kvadrat tenglamalar ham kvadrat ildiz olish orqali hisoblanmaydi. Baʼzida, kvadrat shaklida boʻlgan ifodalarni ildiz olishdan oldin ajratib olishimiz kerak.
Misol uchun, 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 tenglamani hisoblash uchun oldin x, squared ni ajratib olishimiz kerak. Buni xuddi chiziqli tenglamada x ni ajratib olgandagidek bajaramiz.
2x2+3=1312x2=1283 ni ayiring.x2=642 ga boʻling.x2=64Kvadrat ildiz oling.x=±8\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{3 ni ayiring.}\\\\ x^2&=64&&\text{2 ga boʻling.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{64}&&\text{Kvadrat ildiz oling.}\\\\ x&=\pm 8\end{aligned}
Endi shunga oʻxshash baʼzi tenglamalarni oʻzingiz yechib koʻring.
7-masala
Hisoblang: 3, x, squared, minus, 7, equals, 5
Bitta javobni tanlang:

8-masala
Hisoblang: 4, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2, equals, 38
Bitta javobni tanlang:

Murakkab masala
Hisoblang: x, squared, plus, 8, x, plus, 16, equals, 9
Bitta javobni tanlang:

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish
Hozircha izohlar yoʻq.
Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.