If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Kvadrat tenglamalarni kvadrat ildizni hisoblash orqali yechish

x^2=36 yoki (x-2)^2=49 kabi kvadrat tenglamalarni qanday qilib yechishini oʻrganing.

Bu darsni boshlashdan oldin quyidagilardan xabardor boʻlishingiz kerak:

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Siz hozirgacha chiziqli tenglamalarni, yaʼni oʻzgarmas hadlarni, oddiy raqamlar va birinchi darajadagi oʻzgaruvchilardan iborat (x1=x) tenglamalarni yechdingiz.
Siz hozir kvadrat tenglamalarni, yaʼni ikkinchi darajaga koʻtarilgan oʻzgaruvchilardan iborat x2 tenglamalarni hisoblaysiz.
Bu yerda oʻrganishingiz uchun bir nechta kvadrat tenglamaga doir mashqlar berilgan:
x2=36
(x2)2=49
2x2+3=131
Endi hisoblashga oʻtamiz.

x2=36 ni va boshqa oʻxshash tenglamalarni ishlash

Faraz qiling, biz x2=36 tenglamani hisoblamoqchimiz. Keling, birinchi savol bizdan nimani soʻrayotganini aniqlashtirib olaylik. Tenglama bizdan qaysi raqamni oʻziga koʻpaytirsa 36 ga teng boʻladi deb soʻrayapti.
Bu savol tanish tuyulayotgan boʻlishi mumkin, chunki bu 36 ning kvadrat ildizi taʼrifidir, bu yerda ifoda matematik koʻrinishda 36 boʻladi.
Bu esa biz tenglamani qanday hisoblaganimiz:
x2=36x2=36Kvadrat ildiz oling.x=±36x=±6
Keling, bu hisoblashda nimalar qilganimizni qaytadan koʻrib chiqamiz.

± ishorasi nimani anglatadi?

Har qanday musbat sonning ikkita kvadrat ildizi boʻladi: musbat kvadrat ildiz va manfiy kvadrat ildiz. Misol uchun, 6 va 6 ning har ikkalasi 36 ning kvadrat ildizlaridir. Shuning uchun tenglamaning ikkita yechimi bor.
± bu matematik tushunchani ifodalashning samarali usulidir. Misol uchun, ±6 "6 yoki 6" ni ifodalaydi.

Teskari amallar haqida eslatma

Chiziqli tenglamalarni hisoblaganimizda biz oʻzgaruvchini ajratib olganmiz: agar oʻzgaruvchiga 3 qoʻshilgan boʻlsa, tenglamaning har ikkala tarafidan 3 ni ayirganmiz. Agar oʻzgaruvchi 4 ga koʻpaytirilgan boʻlsa, tenglamaning har ikkala tarafini 4 ga boʻlganmiz.
Kvadratga oshirishning teskari amali bu kvadrat ildiz olishdir. Bundan tashqari, kvadrat ildiz olganimizda, yechimlarning har musbat va manfiysini olishimiz kerak.
Endi shunga oʻxshash baʼzi tenglamalarni oʻzingiz yechib koʻring.
1-masala
Hisoblang: x2=16
x=±
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3/5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7/4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1 3/4 kabi aralash son
  • 0.75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12 pi yoki 2/3 pi kabi pi ning karralisi

2-masala
Hisoblang: x2=81
x=±
  • Javobingiz quyidagicha boʻlishi kerak:
  • 6 kabi butun son
  • 3/5 kabi soddalashtirilga toʻgʻri kasr
  • 7/4 kabi soddalashtirilgan notoʻgʻri kasr
  • 1 3/4 kabi aralash son
  • 0.75 kabi aniq oʻnli kasr
  • 12 pi yoki 2/3 pi kabi pi ning karralisi

3-misol
Hisoblang: x2=5
Bitta javobni tanlang:

(x2)2=49 ni va boshqa oʻxshash tenglamalarni yechish

Bu yerda (x2)2=49 tenglamaning yechimini hisoblash berilgan:
(x2)2=49(x2)2=49Kvadrat ildiz oling.x2=±7x=±7+22 ni qoʻshing.
Shuning uchun tenglamaning yechimi x=9 va x=5 ga teng.
Keling, bu hisoblashda nimalar qilganimizni qaytadan koʻrib chiqamiz.

x ni ajratib olish

Har ikkala tomondan ildiz olganimizda qavs belgisini olib tashladik. Bu esa x ni ajratib olish uchun muhim edi, lekin biz oxirgi bosqichda x ni rostdan ham ajratib olish uchun 2 ni qoʻshishimiz kerak edi.

Yechimlarni tushunish

Bizning hisoblashimiz x=±7+2 bilan tugadi. Bu ifodani qanday tushunishimiz mumkin? ±7 esa "+7 yoki 7 dan birini" anglatishini unutmang. Shuning uchun javobimizni quyidagi holatlarga koʻra ikki qismga ajratishimiz kerak: x=7+2 yoki x=7+2.
Bu esa bizga x=9 va x=5 yechimlarini beradi.
Endi shunga oʻxshash baʼzi tenglamalarni oʻzingiz yechib koʻring.
4-masala
Hisoblang: (x+3)2=25
Bitta javobni tanlang:

5-masala
Hisoblang: (2x1)2=9
Bitta javobni tanlang:

6-masala
Hisoblang: (x5)2=7
Bitta javobni tanlang:

Nega qavsni ochmaymiz

Keling, tenglamaga qaytamiz, (x2)2=49. Faraz qiling, bu yerda qavsni ochib chiqmoqchi edik.
Qavslarni ochib chiqish quyidagi tenglamaga olib keladi:
x24x+4=49
Agar, bu tenglamadan kvadrat ildiz olmoqchi boʻlsak, x dan kvadrat ildiz olishimiz kerak. Ammo bu bizga hech qanday foydasi yoʻq x ifodani beradi.
Aksincha, x2 yoki (x2)2 kabi ifodalardan kvadrat ildiz olish bizga x va (x2) kabi yaxshiroq ifodalarni beradi.
Shuning uchun kvadrat tenglamalarda ifodalarni koʻpaytuvchi shaklida saqlab qolish yaxshiroq, chunki bu bizga kvadrat ildiz olish imkonini beradi.

2x2+3=131 ni va boshqa oʻxshash tenglamalarni ishlash

Hamma kvadrat tenglamalar ham kvadrat ildiz olish orqali hisoblanmaydi. Baʼzida, kvadrat shaklida boʻlgan ifodalarni ildiz olishdan oldin ajratib olishimiz kerak.
Misol uchun, 2x2+3=131 tenglamani hisoblash uchun oldin x2 ni ajratib olishimiz kerak. Buni xuddi chiziqli tenglamada x ni ajratib olgandagidek bajaramiz.
2x2+3=1312x2=1283 ni ayiring.x2=642 ga boʻling.x2=64Kvadrat ildiz oling.x=±8
Endi shunga oʻxshash baʼzi tenglamalarni oʻzingiz yechib koʻring.
7-masala
Hisoblang: 3x27=5
Bitta javobni tanlang:

8-masala
Hisoblang: 4(x1)2+2=38
Bitta javobni tanlang:

Murakkab masala
Hisoblang: x2+8x+16=9
Bitta javobni tanlang: