Asosiy kontent

Algebra I

Course: Algebra I > Unit 15

Lesson 1: Koʻpaytuvchilarga ajratish mavzusiga kirish

Koʻpaytuvchilarga ajratish & boʻlinish mavzusiga kirish

Bir koʻphad boshqa bir koʻphadning koʻpaytuvchisi yoki boshqa bir koʻphadga boʻlinishi nimani anglatishini oʻrganing.

Bu dars uchun nimalarni bilishimiz kerak

Birhad oʻzgarmas miqdorlar va nomanfiy darajali

x

ning koʻpaytmasi boʻlgan ifodadir, masalan,

3 x^{2}

. Koʻphad esa birhadlarning yigʻindisidan iborat boʻlgan ifodadir, masalan,

3 x^{2} + 6 x - 1

Bu darsda oʻrganadigan narsalarimiz

Bu darsda biz koʻphadlardagi koʻpaytuvchilar va boʻlinish qonuni oʻrtasidagi bogʻliqlikni va bir koʻphad boshqasining koʻpaytuvchisi boʻlishi yo boʻlmasligini aniqlashni oʻrganamiz.

Butun sonlarda koʻpaytuvchilar va boʻlinish qonuni

Umuman olganda, oʻzaro koʻpaytirilib bir sonni hosil qiluvchi ikkita butun son oʻsha sonning koʻpaytuvchilari hisoblanadi.

Misol uchun, $14 = 2 \cdot 7$ ‍ ligidan, $2$ ‍ va $7$ ‍ sonlari $14$ ‍ ning koʻpaytuvchilari ekani maʼlum boʻladi.

Agar boʻlinish natijasi butun son boʻlsa, bir son boshqasiga boʻlinadi.

Misol uchun, $\frac{15}{3} = 5$ ‍ va $\frac{15}{5} = 3$ ‍ ligidan, $15$ ‍ soni $3$ ‍ va $5$ ‍ ga boʻlinadi. Biroq $\frac{9}{4} = 2, 25$ ‍ ligidan, $9$ ‍ soni $4$ ‍ ga boʻlinmaydi.

Koʻpaytuvchilar va boʻlinish qonuni oʻrtasidagi munosabatga eʼtibor bering:

14 = 2 \cdot 7

(yaʼni

2

soni

14

ning boʻluvchisi) ligidan,

\frac{14}{2} = 7

( yaʼni

14

soni

2

ga boʻlinishi) ligini aniqlaymiz.

Boshqa tarafdan,

\frac{15}{3} = 5

(yaʼni

15

soni

3

ga boʻlinishi) ligidan,

15 = 3 \cdot 5

(yaʼni

3

soni

15

ning koʻpaytuvchisi) ligini aniqlaymiz.

Umuman olganda, bu toʻgʻri:

a

soni

b

sonining koʻpaytuvchisi boʻlsa,

b

soni

a

soniga boʻlinadi va aksincha.

Koʻphadlarda koʻpaytuvchilar va boʻlinish qonuni

Bu ilmni koʻphadlarda ham qoʻllasa boʻladi.

Ikki yoki undan ortiq koʻphadlar koʻpaytirilsa, bu koʻphadlarning har biri koʻpaytmaning koʻpaytuvchisi deb ataladi.

Misol uchun, $2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x$ ‍ ligini bilamiz. Bu $2 x$ ‍ va $x + 3$ ‍ $2 x^{2} + 6 x$ ‍ ning koʻpaytuvchilari ekanini bildiradi.

Shuningdek, agar boʻlinma ham koʻphad boʻlsa, bir koʻphad boshqasiga boʻlinadi.

Misol uchun, $\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x$ ‍ va $\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x$ ‍ ligidan, $6 x^{2}$ ‍ $3 x$ ‍ va $2 x$ ‍ ga boʻlinadi. Lekin $\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}$ ‍ ligidan, $4 x$ ‍ $2 x^{2}$ ‍ ga boʻlinmasligini aniqlaymiz.

Butun sonlardagi koʻpaytuvchilar va boʻlinish qonuni oʻrtasidagi munosabat bu yerda ham topilishi mumkin:

Umuman olganda,

p

q

r

uchun

p = q \cdot r

boʻlsa, quyidagini aniqlash mumkin:

$q$ ‍ va $r$ ‍ $p$ ‍ ning koʻpaytuvchilaridir.
$p$ ‍ esa $q$ ‍ va $r$ ‍ ga boʻlinadi.

Mavzu boʻyicha bilimingizni tekshiring

1) $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍ da ifodalangan munosabat toʻgʻrisidagi gapni toʻldiring.

x + 2

3 x^{2} + 6 x

, and

3 x^{2} + 6 x

x + 2

[Yordam kerak!]

2) Oʻqituvchi doskaga quyidagi koʻpaytmani yozdi:

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

Madina

3 x^{2}

12 x^{3}

ning koʻpaytuvchisi boʻladi deb xulosa qildi.

Jamila esa

12 x^{3}

4 x

ga boʻlinadi deb xulosa qildi.

Kimning fikri toʻgʻri?

[Yordam kerak!]

Koʻpaytuvchilar va boʻlinish qonunini aniqlash

Misol 1: $24 x^{4}$ ‍ soni $8 x^{3}$ ‍ga boʻlinadimi?

Bu savolga javob berish uchun biz

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

ni soddalashtirsak boʻladi. Natija birhad boʻlsa, demak,

24 x^{4}

soni

8 x^{3}

ga boʻlinadi. Natija birhad boʻlmasa, unda

24 x^{4}

soni

8 x^{3}

ga boʻlinmaydi.

$\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \cdot \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \cdot x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}$ ‍

Natija birhadga tengligidan,

24 x^{4}

ning

8 x^{3}

ga boʻlinishi maʼlum. (Bu, shuningdek,

8 x^{3}

soni

24 x^{4}

ning koʻpaytuvchisi ekanini anglatadi.)

Misol 2: $4 x^{6}$ ‍ soni $32 x^{3}$ ‍ ning koʻpaytuvchisimi?

4 x^{6}

soni

32 x^{3}

ning koʻpaytuvchisi boʻlsa,

32 x^{3}

soni

4 x^{6}

ga boʻlinishi kerak. Shunday ekan, keling,

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

ni hisoblab, soddalashtiraylik.

$\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \cdot \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \cdot x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \cdot \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}$ ‍

\frac{8}{x^{3}}

hadi birhad emasligiga eʼtibor bering, chunki u boʻlinma, koʻpaytma emas. Demak, biz

4 x^{6}

soni

32 x^{3}

ning koʻpaytuvchisi emasligini xulosa qila olamiz.

Xulosa

Umuman olganda, bir koʻphad

p

ning boshqa koʻphad

q

ga boʻlinishini yoki ekvivalent ravishda,

q

p

ning boʻluvchisi boʻla olishi yoki olmasligini tekshirish uchun

\frac{p (x)}{q (x)}

ni hisoblab, soddalashtirish kerak.

Soddalashtirilgan javob koʻphad boʻlsa,

p

q

ga boʻlinadi va

q

p

ning koʻpaytuvchisi boʻladi.

Tushunganingizni tekshiring

3) $30 x^{4}$ ‍ soni $2 x^{2}$ ‍ ga boʻlinadimi?

[Yordam kerak!]

4) $12 x^{2}$ ‍ soni $6 x$ ‍ ning koʻpaytuvchisi boʻla oladimi?

[Yordam kerak!]

Murakkab masalalar

5*) Quyidagi birhadlardan qaysilari $15 x^{2} y^{6}$ ‍ ning koʻpaytuvchisi boʻladi?

	Boʻluvchi	Koʻpaytuvchi emas
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

[Yordam kerak!]

6*) Kengligi

x + 1

birlik, uzunligi esa

x + 4

birlikka teng boʻlgan toʻgʻri toʻrtburchakning yuzasi

x^{2} + 5 x + 4

kvadrat birlikka teng.

Quyidagilarning qaysilari $x^{2} + 5 x + 4$ ‍ ning koʻpaytuvchisi boʻladi?

[Yordam kerak!]

Koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish nima uchun kerak?

Butun sonlarni koʻpaytuvchilarga ajratish koʻplab joylarda foyda keltirgani kabi, koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish ham juda foydali!

Koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish, ayniqsa, kvadrat tenglamalarni ishlashda va ratsional ifodalarni soddalashtirishda katta yordam beradi.

Buni koʻrishni istasangiz, quyidagi maqolalarni koʻrib chiqing:

Keyingisi nima?

Koʻpaytuvchilarga ajratishning keyingi bosqichi birhadlarni koʻpaytuvchilarga ajratishni oʻrganish boʻladi. Bu haqda bizning keyingi maqolamiz da bilib olishingiz mumkin.

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Kirish

Saralash:

Hozircha izohlar yoʻq.

Ingliz tilini tushunasizmi? Khan Academyʼning inglizcha saytida boʻlayotgan muhokamalarni koʻrish uchun shu yerga bosing.

Algebra I

Course: Algebra I > Unit 15

Bu dars uchun nimalarni bilishimiz kerak

Bu darsda oʻrganadigan narsalarimiz

Butun sonlarda koʻpaytuvchilar va boʻlinish qonuni

Koʻphadlarda koʻpaytuvchilar va boʻlinish qonuni

Mavzu boʻyicha bilimingizni tekshiring

Koʻpaytuvchilar va boʻlinish qonunini aniqlash

Misol 1: 24x4‍ soni 8x3‍ ga boʻlinadimi?

Misol 2: 4x6‍ soni 32x3‍ ning koʻpaytuvchisimi?

Xulosa

Tushunganingizni tekshiring

Murakkab masalalar

Koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish nima uchun kerak?

Keyingisi nima?

Muhokamaga qoʻshilmoqchimisiz?

Misol 1: $24 x^{4}$ ‍ soni $8 x^{3}$ ‍ga boʻlinadimi?

Misol 2: $4 x^{6}$ ‍ soni $32 x^{3}$ ‍ ning koʻpaytuvchisimi?