If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Agar veb-filtrlardan foydalanayotgan boʻlsangiz *.kastatic.org va *.kasandbox.org domenlariga ruxsat berilganligini tekshirib koʻring.

Asosiy kontent

Koʻpaytuvchilarga ajratish: kvadrat uchhad

“Toʻla kvadrat” shaklidagi kvadrat ifodalarni koʻpaytuvchilarga ajratishni oʻrganing. Misol uchun, x²+6x+9 ifoda (x+3)² shaklida koʻpaytuvchilarga ajraladi.
Koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish ikki yoki undan ortiq koʻphadlarning yigʻindisini yozishni taqozo qiladi. Bu koʻphadlar koʻpaytmasining teskari holatini koʻrsatadi.
Bu yerda biz kvadrat uchhadni maxsus formulalar orqali birhad shakliga olib kelishni oʻrganamiz. Bu yigʻindi va ayirmaning kvadrati usulini koʻrsatadi, demak, siz ishga kirishishdan oldin buni bilishingiz kerak.

Kirish: Qisqa koʻpaytirish formulalari bilan koʻpaytuvchilarga ajratish

Kvadratga koʻtarish uchun biz quyidagi formulalarni ishlatishimiz mumkin.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2
  • (ab)2=a22ab+b2
Eʼtibor bering, formuladagi a va b istalgan algebraik ifoda boʻlishi mumkin. Misol uchun, biz (x+5)2 ni koʻpaytuvchilarga ajratmoqchimiz. Bunda a=x va b=5 boʻlib, quyidagi natija hosil boʻladi:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25
Siz bu formulani (x+5)2 ni koʻpaytuvchilarga ajratib tekshirishingiz mumkin.
Bu kengaytmani ortiga qaytarish formulaga solishdir. Agar biz ifodani ortiga qaytarsak, koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish formulasini hosil qilamiz: a2±2ab+b2.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2
  • a22ab+b2 =(ab)2
Biz birinchi formulani mana bu x2+10x+25 koʻphad uchun ishlatsak boʻladi. Bizga a=x va b=5 berilgan.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2
Bunday koʻrinishda yozish qisqa koʻpaytirish formulalari deyiladi. Bu koʻrinishdagi koʻphadlarni birhadning kvadrati shaklida yozish mumkin!
Endi bir nechta qisqa koʻpaytirish formulalari qoʻllangan misollarni koʻrib chiqamiz.

1-misol: x2+8x+16 ni koʻpaytuvchilarga ajratish

Eʼtibor bering, birinchi va soʻnggi hadlar kvadrat shaklda: x2=(x)2 va 16=(4)2. Oʻrtadagi had esa birinchi va soʻnggi hadlar koʻpaytmasining ikkilangan shaklida: 2(x)(4)=8x.
Bundan kelib chiqadiki, koʻphad qisqa koʻpaytirish formulasiga tushadi va biz uni quyidagi formula orqali ifodalashimiz mumkin.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
a=x va b=4 berilgan. Biz bu koʻphadni quyidagi tarzda koʻpaytuvchilarga ajratishimiz mumkin:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2
Biz misolni (x+4)2 ni ochib chiqib tekshirishimiz mumkin:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16

Mavzu boʻyicha bilimingizni tekshiring

1) x2+6x+9 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.
Bitta javobni tanlang:

2) x26x+9 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.
Bitta javobni tanlang:

3) x2+14x+49 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.

2-misol: 4x2+12x+9 ni koʻpaytuvchilarga ajratish

Qisqa koʻpaytirish formulalarida birinchi hadning koeffitsiyenti 1 ga teng boʻlishi shart emas.
Misol uchun, 4x2+12x+9 da birinchi va soʻnggi hadlar kvadrat shaklda: 4x2=(2x)2 va 9=(3)2. Oʻrtadagi had esa birinchi va soʻnggi hadlar koʻpaytmasining ikkilangan shaklida: 2(2x)(3)=12x.
Chunki, 4x2+12x+9 ifoda ham qisqa koʻpaytirish formulalariga tushadi. Biz yana quyidagi formulani ishlatishimiz mumkin.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
Bu holda, a=2x va b=3. Koʻphad quyidagi shaklga keladi:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
Biz misolni (2x+3)2 ifodani koʻpaytuvchilarga ajratib tekshirishimiz mumkin.

Tushunganingizni tekshiring.

4) 9x2+30x+25 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.
Bitta javobni tanlang:

5) 4x220x+25 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.

Murakkab masalalar

6*) x4+2x2+1 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.

7*) 9x2+24xy+16y2 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.