Agar siz ushbu xabarni oʻqiyotgan boʻlsangiz, demak, saytimizga tashqi resurslarni yuklashda muammolarga duch kelmoqdamiz.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Asosiy kontent

Kvadrat ifodalarni koʻpaytuvchilarga ajratish: koeffitsiyent = 1

Kvadrat ifodalarni ikkita ikkihadning koʻpaytmasi shaklida koʻpaytuvchilarga ajratishni oʻrganing. Misol uchun,  x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Bu dars uchun nimalarni bilishingiz kerak?

Koʻphadni koʻpaytuvchilarga ajratish uni ikki yoki undan ortiq koʻphadlar koʻpaytmasi koʻrinishida yozishdir. U koʻphadlarni koʻpaytirish jarayonining teskari koʻrinishi boʻladi. Bu haqda koʻproq maʼlumot olish uchun bizning umumiy koʻpaytuvchilarni ajratish toʻgʻrisidagi maqolamizni koʻrib chiqing.

Bu darsda nimalarni oʻrganamiz?

Bu darsda x2+bx+c shaklidagi koʻphadni ikkita ikkihadning koʻpaytmasi koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajratishni oʻrganasiz.

Sharh: Ikkihadlarni koʻpaytirish

Keling, (x+2)(x+4) ifodasini koʻrib chiqamiz.
Taqsimot qonunidan bir necha marta foydalanib, koʻpaytmani topa olamiz.
Shunday qilib, (x+2)(x+4)=x2+6x+8.
Bunda x+2 va x+4 koʻphad x2+6x+8 ning koʻpaytuvchilari ekanliklari maʼlum, lekin, agar ular bilan boshlamaganimizda buni qanday aniqlardik?

Uchhadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish

Uchhadni (3 ta hadi bor koʻphad) koʻpaytuvchilarga ajratish uchun yuqorida koʻrsatilgan ikkihadlar koʻpaytmasini orqaga qaytara olamiz.
Yaʼni, koʻphad x2+6x+8 bilan boshlasak, uni ikkihadlar koʻpaytmasi (x+2)(x+4) koʻrinishida yozish uchun koʻpaytuvchilarga ajratishdan foydalana olamiz.
Keling, bu qanday bajarilishini bir necha misollarda koʻrib chiqaylik.

1-misol: x2+5x+6 ni koʻpaytuvchilarga ajratish

x2+5x+6 ni koʻpaytuvchilarga ajratish uchun biz, dastlab koʻpaytmasi 6 (oʻzgarmas son) ga, yigʻindisi esa 5 (x ning koeffitsiyenti) ga teng boʻladigan ikkita sonni topishimiz kerak.
Bu ikkita son 2 va 3 dir, chunki 23=6 va 2+3=5.
Bundan soʻng, ikkita ikkihad koʻpaytuvchilarni hosil qilish uchun bu sonlarning har birini x ga qoʻshamiz: (x+2) va (x+3).
Natijada uchhadni quyidagicha koʻpaytuvchilarga ajratdik:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Koʻpaytuvchilarga ajralishni tekshirish uchun ikkita ikkihadni koʻpaytirishimiz mumkin:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
x+2 va x+3 ning koʻpaytmasi, darhaqiqat, x2+5x+6 ga teng. Koʻpaytuvchilarga toʻgʻri ajratibmiz!

Tushunganingizni tekshiring

1) x2+7x+10 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.
Bitta javobni tanlang:

2) x2+9x+20 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.

Keling, yaxshiroq oʻrganish uchun koʻproq misollarni koʻrib chiqaylik.

2-misol: x25x+6 ni koʻpaytuvchilarga ajratish

x25x+6 ni koʻpaytuvchilarga ajratish uchun biz, dastlab koʻpaytmasi 6 (oʻzgarmas son) ga, yigʻindisi esa 5 (x ning koeffitsiyenti) ga teng boʻladigan ikki sonni topishimiz kerak.
Bu ikki son 2 va 3 dir, chunki (2)(3)=6 va (2)+(3)=5.
Undan soʻng ikkita ikkihad koʻpaytuvchilarni hosil qilish uchun bu sonlarning har birini x ga qoʻshamiz: (x+(2)) va (x+(3)).
Koʻpaytuvchilarga ajratish quyida koʻrsatilgan:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)
Koʻpaytuvchilarga ajratish xossasi: x25x+6 ni koʻpaytuvchilarga ajratish uchun kerak boʻladigan sonlarning har ikkisi manfiy ekaniga eʼtibor bering (2 va 3). Buning sababi - ularning koʻpaytmasi musbat (6), yigʻindisi esa manfiy (5) dir.
Umuman olganda, x2+bx+c ni koʻpaytuvchilarga ajratganda c musbat, b esa manfiy boʻlsa, har ikki koʻpaytuvchi (son) manfiy boʻladi!

3-misol: x2x6 ni koʻpaytuvchilarga ajratish

x2x6 ni x21x6 qilib yoza olamiz.
x21x6 ni koʻpaytuvchilarga ajratish uchun biz, dastlab koʻpaytmasi 6 (oʻzgarmas son) ga, yigʻindisi esa 1 (x ning koeffitsiyenti) ga teng boʻladigan ikki sonni topishimiz kerak.
Bu ikki son 2 va 3 dir, chunki (2)(3)=6 va 2+(3)=1.
Undan soʻng ikkita ikkihad koʻpaytuvchilarni hosil qilish uchun bu sonlarning har birini x ga qoʻshamiz: (x+2) va (x+(3)).
Koʻpaytuvchilarga ajratish quyida koʻrsatilgan:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)
Koʻpaytuvchilarga ajratish xossalari: x2x6 ni koʻpaytuvchilarga ajratish uchun bir musbat son (2) va bir manfiy son (3) kerak boʻlishiga eʼtibor bering. Buning sababi – ularning koʻpaytmasi manfiy (6) boʻlishi kerakligidir.
Umuman olganda, x2+bx+c ni koʻpaytuvchilarga ajratganda c manfiy boʻlsa, bir koʻpaytuvchi (son) musbat, yana bir koʻpaytuvchi (son) esa manfiy boʻladi!

Xulosa

Umuman olganda, x2+bx+c shaklidagi uchhadni koʻpaytuvchilarga ajratish uchun koʻpaytmasi c ga, yigʻindisi esa b ga teng boʻladigan koʻpaytuvchilarni topish kerak boʻladi.
Bu koʻpaytuvchilar (sonlar) c=mn va b=m+n boʻlishi uchun m va n ga teng deb tasavvur qiling, bunda x2+bx+c=(x+m)(x+n).

Tushunganingizni tekshiring

3) x28x9 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.

4) x210x+24 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.

5) x2+7x30 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.

Nega bu usul samarali?

Koʻpaytuvchilarga ajratishning bu usuli nega samarali ekanini tushunish uchun dastlab berilgan x2+5x+6 ni (x+2)(x+3) koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajratgan misolimizni koʻrib chiqaylik.
Biz ortga qaytib, ikkita ikkihad koʻpaytuvchilarni koʻpaytirsak, koʻpaytma x2+5x+6 ning hosil boʻlishidagi 2 va 3 ning oʻrnini koʻrishimiz mumkin.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23
x hadning koeffitsiyenti 2 va 3 ning yigʻindisi, oʻzgarmas had esa 2 va 3 ning koʻpaytmasiga tengligini koʻramiz.

Yigʻindi-koʻpaytma xossasi

Keling, (x+2)(x+3) uchun qilgan ishimizni (x+m)(x+n) uchun ham bajaraylik:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn
Bu jarayon natijasida quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn
Bu yigʻindi-koʻpaytma xossasi deb ataladi.
Bu xossa uchhad x2+bx+c ni x2+(m+n)x+mn ( b=m+n va c=mn ni hosil qiladigan ikki son (m va n ni topish) orqali uchhadni (x+m)(x+n) koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajrata olishimizni koʻrsatadi.

Sinov savoli

6) Bu koʻpaytuvchilarga ajratish usulidan 2x2+3x+1 ni koʻpaytuvchilarga ajratish uchun foydalansa boʻladimi?
Bitta javobni tanlang:

Koʻpaytuvchilarga ajratishning bu usulidan qachon foydalana olamiz?

Umuman olganda, yigʻindi-koʻpaytma usuli faqatgina uchhadni m va n butun sonlari uchun (x+m)(x+n) koʻrinishida yoza olganimizda samaralidir.
Yaʼni bu usuldan foydalanishni oʻylab koʻrish uchun ham uchhadni dastlabki hadi x2 (misol uchun 2x2 emas) boʻlishi kerak, chunki (x+m) va (x+n) larning koʻpaytmasi doim dastlabki hadi x2 ga teng boʻlgan koʻphadga teng boʻladi.
Ammo dastlabki hadi x2 boʻlgan hamma uchhadlar ham koʻpaytuvchilarga ajralmaydi. Misol uchun, x2+2x+2 ni koʻpaytuvchilarga ajratib boʻlmaydi, chunki yigʻindisi 2 ga, koʻpaytmasi ham 2 ga teng boʻladigan ikki butun son mavjud emas.
Kelasi darslarda boshqa turdagi koʻphadlarning koʻpaytuvchilarga ajralishi boʻyicha koʻproq usullarni oʻrganamiz.

Murakkab masalalar

7*) x2+5xy+6y2 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.

8*) x45x2+6 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.